柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是复分析中的核心概念，描述了复函数可微的必要条件。下面从复数的基本定义开始，逐步解释其来源、几何意义和应用。
1. 复函数与可微性
复数可表示为 \(z = x + iy\)，其中 \(x, y \in \mathbb{R}\)，\(i^2 = -1\)。
复函数 \(f(z)\) 可写为实部与虚部之和：
\[f(z) = u(x, y) + i v(x, y), \]
其中 \(u, v\) 是实值函数。
复函数的导数定义与实函数类似：
\[f'(z) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z+h) - f(z)}{h}. \]
但关键区别在于：\(h\) 是复数，可沿任意方向趋近于 0。若该极限存在且与 \(h\) 的趋近方向无关，则称 \(f(z)\) 在 \(z\) 点复可微（全纯）。
2. 柯西-黎曼方程的推导
设 \(h = \Delta x + i \Delta y\)，计算 \(f(z+h) - f(z)\)：
\[\Delta f = u(x+\Delta x, y+\Delta y) - u(x, y) + i \left[ v(x+\Delta x, y+\Delta y) - v(x, y) \right]. \]
若 \(f\) 可微，增量应满足线性近似：
\[\Delta f \approx f'(z) \cdot h. \]
将 \(f'(z)\) 写为 \(a + ib\)，\(h = \Delta x + i \Delta y\)，则：
\[f'(z) h = (a + ib)(\Delta x + i \Delta y) = a\Delta x - b\Delta y + i(b\Delta x + a\Delta y). \]
同时，由实函数的多变量微积分，\(u, v\) 的增量近似为：
\[\Delta u \approx \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial u}{\partial y} \Delta y, \quad \Delta v \approx \frac{\partial v}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta y. \]
因此，
\[\Delta f \approx \left( \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial u}{\partial y} \Delta y \right) + i \left( \frac{\partial v}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta y \right). \]
比较实部与虚部，得到：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = a, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -b, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = b, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = a. \]
消去 \(a, b\)，即得柯西-黎曼方程：
\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \]
3. 几何意义：共形映射
若复函数满足柯西-黎曼方程且偏导数连续，则它是共形映射（保持角度和局部形状）。
- 角度保持：柯西-黎曼条件等价于 \(f\) 的微分 \(Df\) 为旋转与缩放变换（即复乘法）。
- 实例：\(f(z) = z^2\) 满足柯西-黎曼方程，将网格线映射为正交曲线族。
4. 调和函数关系
对柯西-黎曼方程两边再求偏导：
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}. \]
假设 \(u, v\) 二阶连续可微，混合偏导相等，相加得：
\[\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \]
同理，\(\nabla^2 v = 0\)。即 \(u, v\) 均为调和函数，且互为共轭调和函数。
5. 应用：构造解析函数
若已知调和函数 \(u\)，可通过柯西-黎曼方程求 \(v\)：
\[dv = \frac{\partial v}{\partial x} dx + \frac{\partial v}{\partial y} dy = -\frac{\partial u}{\partial y} dx + \frac{\partial u}{\partial x} dy. \]
积分此全微分即可得 \(v\)（需满足积分路径无关性）。
例：设 \(u(x,y) = x^2 - y^2\)，则
\[\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = 2y. \]
积分得 \(v = 2xy + C\)，故 \(f(z) = (x^2 - y^2) + i(2xy) + iC = z^2 + iC\)。
6. 推广：广义柯西-黎曼方程
在四元数或克利福德代数中，柯西-黎曼方程可推广为狄拉克算符的零解条件，用于高维复分析。
总结：柯西-黎曼方程是复可微性的核心，联系了复分析、调和函数与几何变换，是研究解析函数性质的基础工具。