整函数

整函数是在整个复平面C上解析的函数。由于复平面是最大的连通开集，整函数可以视为解析函数的全局版本。

1. 定义与基本性质
   若函数f(z)在复平面C上每一点都解析，则称f(z)为整函数。例如，多项式函数、指数函数e^z、正弦函数sin z等都是整函数。根据柯西积分定理，整函数沿任意闭曲线的积分为零，且在其定义域内具有任意阶导数。

2. 整函数的分类（刘维尔定理）
   刘维尔定理指出：有界的整函数必为常数。这一结论揭示了整函数与多项式的深刻联系：

   • 若整函数f(z)不是常数，则其模|f(z)|在无穷远处必然无界。
   • 推广到增长性控制：若存在常数C和正整数n，使得|f(z)| ≤ C|z|^n对所有充分大的|z|成立，则f(z)必为次数不超过n的多项式（称为多项式增长整函数）。

3. 整函数与多项式的关系
   整函数可以视为多项式的无限次推广：

   • 若整函数f(z)在无穷远处有极点（即极限为无穷大），则f(z)必为多项式。
   • 更一般地，整函数在无穷远处的行为决定了其结构：若无穷远点是整函数的可去奇点，则f(z)为常数；若为极点，则f(z)为多项式；若为本性奇点，则f(z)为超越整函数（如e^z）。

4. 超越整函数的特性
   超越整函数（非多项式的整函数）具有丰富的性质：

   • 皮卡小定理：超越整函数的值域覆盖整个复平面，最多可能排除一个复数例外值（例如e^z永不取0，但可取其他所有值）。
   • 增长阶：通过最大模M(r) = max_{|z|=r} |f(z)|研究其随半径r的增长速度，定义为ρ = lim sup_{r→∞} (ln ln M(r))/ln r，用于分类整函数的复杂度。

5. 应用与推广
   整函数在复动力系统（如多项式迭代）、值分布理论（研究方程f(z)=a的解的分布）及解析数论中均有重要应用。例如，黎曼ζ函数经解析延拓后虽非整函数，但其初等对称函数组合构成的ξ函数是整函数，这一性质对素数分布研究至关重要。