调和函数 调和函数是定义在区域上的实值函数 \( u(x, y) \)，满足拉普拉斯方程： \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \] 在复变函数中，调和函数与解析函数密切相关：若 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 解析，则实部 \( u \) 和虚部 \( v \) 均为调和函数，且互为共轭调和函数（即满足柯西-黎曼方程 \( u_ x = v_ y, u_ y = -v_ x \)）。 调和函数的性质 均值性质 ：若 \( u \) 在圆盘 \( |z - z_ 0| \leq R \) 上调和，则 \[ u(z_ 0) = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} u(z_ 0 + Re^{i\theta}) d\theta, \] 即函数在圆心的值等于圆周上的积分平均值。 极值原理 ：非常值的调和函数在区域内部不能取得最大值或最小值，极值仅可能出现在边界上。 光滑性 ：调和函数无穷次可微，且可通过泊松积分公式由边界值唯一确定。 调和函数与解析函数的关系 给定调和函数 \( u \)，可通过柯西-黎曼方程构造共轭调和函数 \( v \)，使 \( f = u + iv \) 解析。例如，若 \( u(x, y) = x^2 - y^2 \)，则 \( v(x, y) = 2xy + C \)（\( C \) 为常数），对应解析函数 \( f(z) = z^2 + iC \)。 泊松积分公式的应用 若 \( u \) 在单位圆盘 \( |z| \leq 1 \) 上调和，且连续到边界，则 \[ u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\theta - \phi) + r^2} u(e^{i\phi}) d\phi. \] 此公式将调和函数内部的值通过边界值完全表示，是边值问题的核心工具。 调和函数的扩展概念 次调和函数 ：若函数 \( v \) 满足 \( \Delta v \geq 0 \)，则称 \( v \) 为次调和函数，其性质与调和函数类似（如极值原理）。 多复变调和函数 ：定义在高维复空间 \( \mathbb{C}^n \) 上，满足拉普拉斯方程的推广形式，但性质更复杂（如缺乏唯一的边界值确定性质）。 调和函数在物理（如电磁学、流体力学）和概率论（布朗运动）中有广泛应用，是连接实分析与复分析的重要桥梁。