佩尔方程
佩尔方程是指形如 \(x^2 - ny^2 = 1\) 的二元二次不定方程，其中 \(n\) 是一个正整数且不是完全平方数。该方程有无穷多组整数解，其理论涉及连分数、二次域和代数数论等多个领域。
1. 基本形式与背景
佩尔方程的标准形式为：
\[x^2 - ny^2 = 1, \quad n \in \mathbb{Z}^+,\ \text{n 不是平方数}. \]
若 \(n\) 为平方数，则方程可化为 \((x - \sqrt{n}y)(x + \sqrt{n}y) = 1\)，此时只有有限组解（如 \(n=1\) 时对应 \(x^2 - y^2 = 1\)）。非平方数的 \(n\) 会使得方程具有无穷多组整数解，这一性质由拉格朗日于 18 世纪严格证明。
2. 解的结构与基本解
设 \((x_1, y_1)\) 是满足 \(x_1 > 0, y_1 > 0\) 且使 \(x + y\sqrt{n}\) 最小的解（称为基本解），则所有解可由以下公式生成：
\[x_k + y_k \sqrt{n} = (x_1 + y_1 \sqrt{n})^k, \quad k \in \mathbb{Z}^+. \]
例如，对 \(n=2\)（方程 \(x^2 - 2y^2 = 1\)），基本解为 \((3, 2)\)，第二组解为：
\[(3 + 2\sqrt{2})^2 = 17 + 12\sqrt{2} \Rightarrow (17, 12). \]
负整数指数对应 \((x_k, -y_k)\)，因此通常只考虑 \(k \geq 1\)。
3. 与连分数的关系
基本解可通过 \(\sqrt{n}\) 的连分数展开得到。设 \(\sqrt{n} = [a_0; \overline{a_1, a_2, \dots, a_m}]\)（周期连分数），则周期长度 \(m\) 与解的奇偶性相关：
- 若 \(m\) 为奇数，基本解对应第 \(m\) 个渐近分数；
- 若 \(m\) 为偶数，基本解对应第 \(2m\) 个渐近分数。
例如 \(n=7\)：
\[\sqrt{7} = [2; \overline{1, 1, 1, 4}], \quad m=4 \ (\text{偶数}) \Rightarrow \text{基本解为第 8 个渐近分数}. \]
计算得渐近分数序列中 \(\frac{8}{3}\) 对应 \((8, 3)\)：
\[8^2 - 7 \cdot 3^2 = 64 - 63 = 1. \]
4. 佩尔方程的一般化
考虑方程 \(x^2 - ny^2 = k\)（\(k \neq 1\)）：
- 若有一组解，可能有无穷多组解，但其结构需结合理想类群或模形式理论分析；
- 当 \(k = -1\)（负佩尔方程），解的存在性取决于 \(\sqrt{n}\) 的连分数周期是否为奇数。
5. 应用与扩展
佩尔方程在数学中应用广泛：
- 二次域单位元：\(\mathbb{Q}(\sqrt{n})\) 的整数环中，范数为 1 的单位对应佩尔方程的解；
- 代数数论：与类数公式、狄利克雷单位定理关联；
- 组合数学：用于构造近似的整数平方根比值。
总结
佩尔方程是数论中连接离散结构与连续逼近的典型例子，其解法融合了初等技巧与深层的代数工具。理解其基本解的存在性和生成机制是掌握二次域理论的重要一步。