遍历理论中的非一致双曲系统的可加与乘性遍历定理 我们先从最核心的概念“非一致双曲系统”开始。在遍历理论和动力系统中，一个系统称为“双曲”的，粗略地说，是指在相空间的每个点附近，动力学都有指数性的拉伸（不稳定）方向和指数性的收缩（稳定）方向。而“非一致”意味着这种指数性拉伸/收缩的“速率”（即李雅普诺夫指数）可能随着点的变化而变化，甚至在某些点上为零，但系统整体在某种平均意义下（相对于一个不变测度）仍是双曲的。这是一种比一致双曲性（所有点处拉伸/收缩速率一致有下界）更广泛、更符合许多实际物理系统的模型。 在这个基础上，遍历定理研究的是长时间平均行为的收敛性。经典的 伯克霍夫平均遍历定理 和 乘性遍历定理 （又称Oseledets定理）是两大基石。 可加遍历定理 （伯克霍夫定理）：它处理可观测函数的“和”或“平均”。给定一个保测变换 \(T\) 和一个可积函数 \(f\)，它断言时间平均 \( \frac{1}{n} \sum_ {k=0}^{n-1} f(T^k x) \) 几乎处处收敛于一个函数 \(f^ \)，且 \(f^ \) 是条件期望（关于不变σ-代数的）。在遍历（不可约）情形下，这个极限就是空间平均 \( \int f \, d\mu \)。 乘性遍历定理 （Oseledets定理）：它处理线性化动力学（即导数或雅可比矩阵）的“乘积”。考虑一个动力系统及相伴的线性斜积（如微分同胚的切映射），该定理断言，对于几乎所有的初始点，随机矩阵乘积 \( D_ x T^n \) 在长时间下的渐近行为由一组李雅普诺夫指数 \(\lambda_ 1 \ge \lambda_ 2 \ge \dots\) 和对应的过滤子空间（Oseledets分解）来描述。这本质上是矩阵乘积的“几何平均”的收敛定理。 现在，我们来看“非一致双曲系统”与这两个定理的深刻关联。在非一致双曲系统中，我们没有一个全局一致的双曲常数，但乘性遍历定理保证了李雅普诺夫指数几乎处处存在。一个非零的李雅普诺夫指数（正或负）正是局部指数速率行为的体现。因此， 乘性遍历定理是非一致双曲性定义和研究的理论基础 ——系统是“非一致双曲的”，当且仅当相对于某个不变测度，几乎所有点的李雅普诺夫指数都非零（且至少有一个正和一个负），并且稳定/不稳定子空间是横截的。 那么，在非一致双曲的设定下，可加遍历定理有什么新的内涵和推论呢？关键在于，我们可以利用系统的双曲结构（由乘性遍历定理给出）来研究可观测函数的更精细的平均行为。例如： 收敛速度 ：在一致双曲系统中，有中心极限定理、大偏差原理等，描述时间平均围绕其极限的波动。在非一致双曲系统中，虽然情况复杂得多，但可加遍历定理的成立（几乎是免费的，因为它只要求可积性）是研究这些更精细统计性质的第一步。研究者需要结合由乘性遍历定理给出的、依赖于点的双曲结构，来证明诸如中心极限定理、局部极限定理等。 可观测函数的选择 ：特别重要的可观测函数是那些与系统几何、动力学密切相关的，比如 沿着不稳定方向的偏导数 ，或者与 叶状结构 （稳定/不稳定流形叶层）有关的函数。对这些函数应用可加遍历定理，并结合非一致双曲的几何，可以导出关于系统刚性和分类的深刻结果。 不变测度的刻画 ：可加遍历定理保证了时间平均的收敛。在非一致双曲系统中，人们常常关心的是物理测度（SBR测度），它可以通过时间平均对一大片初始点（正勒贝格测度集）来定义。这需要将可加遍历定理与系统的不稳定叶层的绝对连续性结合起来。 总结来说，在遍历理论中， “非一致双曲系统的可加与乘性遍历定理” 这个主题，描述的是这两个基本定理在此类系统中的角色与互动： 乘性遍历定理 提供了系统的 几何骨骼 ，它定义了“非一致双曲性”本身，给出了李雅普诺夫指数和Oseledets分解，从而在几乎每个点处提供了稳定和不稳定方向的渐近信息。 可加遍历定理 则是在这个骨骼上研究 功能行为 的基本工具。它保证了任意可积观测量的时间平均收敛，而这种收敛，当结合由乘性定理给出的精细几何信息时，可以用于推导系统更深入的统计、遍历和刚性质。 二者相辅相成，乘性定理为“非一致”动力系统提供了可用的结构，而可加定理则是在此结构上进行分析的出发点，共同构成了研究非一致双曲系统遍历性理论的基石。