代数整数（Algebraic Integer）
字数 2939 2025-12-24 23:21:53

好的，我注意到“狄利克雷单位定理”在列表中已被标记为已讲过。现在，我将为您讲解一个全新的、非常重要的数论概念：

代数整数（Algebraic Integer）

  1. 从整数到代数数
    我们知道，整数（如 -2, 0, 1, 5）是数学的基石。它们满足一个简单性质：它们是某个一次多项式（形如 \(x - a\)）的根。例如，5 是多项式 \(x - 5 = 0\) 的根。
    现在，我们考虑更广的数，称为代数数。一个复数 \(\alpha\) 被称为代数数，如果它是某个非零的、系数为有理数的多项式 \(f(x)\) 的根。例如，\(\sqrt{2}\) 是代数数，因为它是 \(x^2 - 2 = 0\) 的根。有理数本身（如 2/3 是 \(3x - 2 = 0\) 的根）也是代数数。但像 \(\pi\) 和 \(e\) 这样的数就不是代数数，它们被称为超越数。

  2. 代数整数的定义
    代数整数 是代数数中非常重要的一类。它的定义比代数数更严格：
    一个复数 \(\alpha\) 被称为代数整数，如果存在一个首一的（即最高次项系数为 1）、系数为整数的多项式 \(f(x)\)，使得 \(f(\alpha) = 0\)。
    用公式表示就是：存在整数 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，使得

\[ \alpha^n + a_1 \alpha^{n-1} + a_2 \alpha^{n-2} + ... + a_{n-1} \alpha + a_n = 0 \]

这个多项式被称为 \(\alpha\) 的极小多项式（在所有满足条件的多项式中，次数最低、且为首一的多项式）。

  1. 例子与辨析
  • 普通整数：显然，任何普通整数 \(m\) 是 \(x - m = 0\) 的根，它满足定义，所以是代数整数。
  • 单位根：\(n\) 次单位根，如 \(i = \sqrt{-1}\)（满足 \(x^2 + 1 = 0\)）和 \(\omega = e^{2\pi i / 3}\)（满足 \(x^2 + x + 1 = 0\)），都是代数整数。
  • 二次无理数：数 \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) （黄金比例）是代数整数，因为它满足 \(x^2 - x - 1 = 0\)。
    • 重要辨析：
  • \(\sqrt{2}\) 是代数整数（\(x^2 - 2 = 0\)）。
  • \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 是代数数吗？是的，因为它是 \(2x^2 - 1 = 0\) 的根。但它是代数整数吗？不是，因为要让它成为一个首一多项式的根，这个多项式必须是 \(x^2 - \frac{1}{2} = 0\) 或 \(2x^2 - 1 = 0\) 乘以某个因子。但无论如何调整，你都无法得到一个所有系数都是整数、且首项系数为 1 的多项式。它的极小多项式是 \(2x^2 - 1 = 0\)，不是首一的。
  1. 代数整数的封闭性与环结构
    代数整数最重要的性质之一是它们构成一个环。这意味着：
  • 如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 都是代数整数，那么它们的和 \(\alpha + \beta\)、差 \(\alpha - \beta\)、积 \(\alpha \beta\) 也都是代数整数。
  • 这个性质并不显然。证明通常需要线性代数技巧：构造一个矩阵，其特征多项式就是以 \(\alpha + \beta\) 或 \(\alpha\beta\) 为根的首一、整系数多项式。
  • 这个环记作 \(\overline{\mathbb{Z}}\)。它包含了所有普通整数 \(\mathbb{Z}\)，但比它大得多。
  1. 在数域中的应用：整数环
    在代数数论中，我们研究数域 \(K\)（即有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的有限次扩域，例如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 或 \(\mathbb{Q}(i)\)）。数域 \(K\) 中的代数整数全体，记作 \(\mathcal{O}_K\)，称为 \(K\) 的整数环。
  • \(\mathcal{O}_K\) 是 \(\overline{\mathbb{Z}}\) 与 \(K\) 的交集。
  • 例如，\(\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})} = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。注意，这里 \(b\) 的系数是整数，而不是有理数。\(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\) 不在其中。
  • 对于虚二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)（其中 \(d<0\) 且无平方因子），其整数环是：
  • 若 \(d \equiv 2, 3 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。
  • 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_K = \{ a + b \cdot \frac{1+\sqrt{d}}{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。（例如，高斯整数环对应 \(d=-1 \equiv 3 \pmod{4}\)，而 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\) 的整数环包含 \(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) 这个三次单位根）。
  1. 为什么重要？
    整数环 \(\mathcal{O}_K\) 是数域 \(K\) 的算术研究对象，扮演着类似普通整数环 \(\mathbb{Z}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中的角色。它是研究以下问题的舞台：
  • 理想分解：在 \(\mathcal{O}_K\) 中，唯一分解因子 的性质通常不成立（如 \(6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 中）。这导致了理想概念的引入，而理想在 \(\mathcal{O}_K\) 中有唯一分解定理（戴德金整环）。
  • 类群与类数：理想类群 \(\text{Cl}(K)\) 测量了 \(\mathcal{O}_K\) 中理想唯一分解性质失效的程度，其阶数称为类数。这是代数数论的核心研究对象之一。
  • 单位群：\(\mathcal{O}_K\) 中可逆元素（即满足 \(\alpha \beta = 1\) 的代数整数 \(\alpha, \beta\)）构成的群，称为单位群 \(\mathcal{O}_K^\times\)。狄利克雷单位定理 描述了它的结构。

总结：代数整数是普通整数在代数数论中的自然推广。它由一个更强的、要求首一和整系数的多项式方程定义。一个数域中所有代数整数构成的整数环，是该数域算术研究的基石，理想分解、类群、单位等核心概念都建立在这个环的结构之上。它是连接代数与算术的桥梁。

好的，我注意到“狄利克雷单位定理”在列表中已被标记为已讲过。现在，我将为您讲解一个全新的、非常重要的数论概念： 代数整数（Algebraic Integer） 从整数到代数数 我们知道，整数（如 -2, 0, 1, 5）是数学的基石。它们满足一个简单性质：它们是某个 一次 多项式（形如 \(x - a\)）的根。例如，5 是多项式 \(x - 5 = 0\) 的根。 现在，我们考虑更广的数，称为 代数数 。一个复数 \(\alpha\) 被称为代数数，如果它是某个 非零 的、系数为 有理数 的多项式 \(f(x)\) 的根。例如，\(\sqrt{2}\) 是代数数，因为它是 \(x^2 - 2 = 0\) 的根。有理数本身（如 2/3 是 \(3x - 2 = 0\) 的根）也是代数数。但像 \(\pi\) 和 \(e\) 这样的数就不是代数数，它们被称为超越数。 代数整数的定义 代数整数 是代数数中非常重要的一类。它的定义比代数数更严格： 一个复数 \(\alpha\) 被称为 代数整数 ，如果存在一个 首一的 （即最高次项系数为 1）、系数为 整数 的多项式 \(f(x)\)，使得 \(f(\alpha) = 0\)。 用公式表示就是：存在整数 \(a_ 1, a_ 2, ..., a_ n\)，使得 \[ \alpha^n + a_ 1 \alpha^{n-1} + a_ 2 \alpha^{n-2} + ... + a_ {n-1} \alpha + a_ n = 0 \] 这个多项式被称为 \(\alpha\) 的 极小多项式 （在所有满足条件的多项式中，次数最低、且为首一的多项式）。 例子与辨析 普通整数 ：显然，任何普通整数 \(m\) 是 \(x - m = 0\) 的根，它满足定义，所以是代数整数。 单位根 ：\(n\) 次单位根，如 \(i = \sqrt{-1}\)（满足 \(x^2 + 1 = 0\)）和 \(\omega = e^{2\pi i / 3}\)（满足 \(x^2 + x + 1 = 0\)），都是代数整数。 二次无理数 ：数 \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) （黄金比例）是代数整数，因为它满足 \(x^2 - x - 1 = 0\)。 重要辨析 ： \(\sqrt{2}\) 是代数整数（\(x^2 - 2 = 0\)）。 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) 是代数数吗？是的，因为它是 \(2x^2 - 1 = 0\) 的根。但它是代数整数吗？ 不是 ，因为要让它成为一个首一多项式的根，这个多项式必须是 \(x^2 - \frac{1}{2} = 0\) 或 \(2x^2 - 1 = 0\) 乘以某个因子。但无论如何调整，你都无法得到一个所有系数都是整数、且首项系数为 1 的多项式。它的极小多项式是 \(2x^2 - 1 = 0\)，不是首一的。 代数整数的封闭性与环结构 代数整数最重要的性质之一是它们构成一个 环 。这意味着： 如果 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 都是代数整数，那么它们的和 \(\alpha + \beta\)、差 \(\alpha - \beta\)、积 \(\alpha \beta\) 也都是代数整数。 这个性质并不显然。证明通常需要线性代数技巧：构造一个矩阵，其特征多项式就是以 \(\alpha + \beta\) 或 \(\alpha\beta\) 为根的首一、整系数多项式。 这个环记作 \(\overline{\mathbb{Z}}\)。它包含了所有普通整数 \(\mathbb{Z}\)，但比它大得多。 在数域中的应用：整数环 在代数数论中，我们研究 数域 \(K\)（即有理数域 \(\mathbb{Q}\) 的有限次扩域，例如 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\) 或 \(\mathbb{Q}(i)\)）。数域 \(K\) 中的代数整数全体，记作 \(\mathcal{O}_ K\)，称为 \(K\) 的 整数环 。 \(\mathcal{O}_ K\) 是 \(\overline{\mathbb{Z}}\) 与 \(K\) 的交集。 例如，\(\mathcal{O}_ {\mathbb{Q}(\sqrt{2})} = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。注意，这里 \(b\) 的系数是整数，而不是有理数。\(\frac{1+\sqrt{2}}{2}\) 不在其中。 对于虚二次域 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\)（其中 \(d <0\) 且无平方因子），其整数环是： 若 \(d \equiv 2, 3 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_ K = \{ a + b\sqrt{d} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。 若 \(d \equiv 1 \pmod{4}\)，则 \(\mathcal{O}_ K = \{ a + b \cdot \frac{1+\sqrt{d}}{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}\)。（例如，高斯整数环对应 \(d=-1 \equiv 3 \pmod{4}\)，而 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\) 的整数环包含 \(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) 这个三次单位根）。 为什么重要？ 整数环 \(\mathcal{O}_ K\) 是数域 \(K\) 的算术研究对象，扮演着类似普通整数环 \(\mathbb{Z}\) 在 \(\mathbb{Q}\) 中的角色。它是研究以下问题的舞台： 理想分解 ：在 \(\mathcal{O}_ K\) 中， 唯一分解因子 的性质通常不成立（如 \(6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 在 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 中）。这导致了 理想 概念的引入，而理想在 \(\mathcal{O}_ K\) 中有唯一分解定理（戴德金整环）。 类群与类数 ：理想类群 \(\text{Cl}(K)\) 测量了 \(\mathcal{O}_ K\) 中理想唯一分解性质失效的程度，其阶数称为 类数 。这是代数数论的核心研究对象之一。 单位群 ：\(\mathcal{O}_ K\) 中可逆元素（即满足 \(\alpha \beta = 1\) 的代数整数 \(\alpha, \beta\)）构成的群，称为单位群 \(\mathcal{O}_ K^\times\)。 狄利克雷单位定理 描述了它的结构。 总结 ：代数整数是普通整数在代数数论中的自然推广。它由一个更强的、要求首一和整系数的多项式方程定义。一个数域中所有代数整数构成的 整数环 ，是该数域算术研究的基石，理想分解、类群、单位等核心概念都建立在这个环的结构之上。它是连接代数与算术的桥梁。