复变函数的积分
字数 1956 2025-10-27 08:14:12

复变函数的积分

复变函数的积分是复分析中的核心概念之一，它扩展了实函数积分的定义，并引入了路径积分的思想。下面从基础定义到核心性质逐步讲解。

1. 积分的定义

设复变函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内定义，\(C\) 是 \(D\) 内一条可求长的曲线，参数方程为 \(z(t) = x(t) + i y(t)\), \(t \in [a, b]\)。将区间 \([a, b]\) 分割为 \(a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\)，在每一段上取点 \(\zeta_k \in [t_{k-1}, t_k]\)，并令 \(\Delta z_k = z(t_k) - z(t_{k-1})\)。则复积分定义为黎曼和极限：

\[\int_C f(z) \, dz = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(\zeta_k) \Delta z_k, \]

只要极限存在且与分割方式无关。

2. 化为实积分计算

由于 \(f(z) = u(x, y) + i v(x, y)\)，\(dz = dx + i dy\)，积分可写为：

\[\int_C f(z) \, dz = \int_C (u \, dx - v \, dy) + i \int_C (v \, dx + u \, dy). \]

这表明复积分等价于两个实向量场的线积分（对 \(\mathbf{F}_1 = (u, -v)\) 和 \(\mathbf{F}_2 = (v, u)\)）。

3. 参数化直接计算

若曲线 \(C\) 由 \(z(t)\) 参数化，则：

\[\int_C f(z) \, dz = \int_a^b f(z(t)) \, z'(t) \, dt. \]

例如，计算 \(\int_C z^2 \, dz\)，其中 \(C\) 为从 \(0\) 到 \(1+i\) 的直线段：
参数化 \(z(t) = t + i t\), \(t \in [0, 1]\)，则 \(z'(t) = 1 + i\)，

\[\int_C z^2 \, dz = \int_0^1 (t + i t)^2 (1 + i) \, dt = (1+i)^3 \int_0^1 t^2 \, dt = \frac{(1+i)^3}{3}. \]

4. 积分的基本性质

  • 线性性：\(\int_C [a f(z) + b g(z)] \, dz = a \int_C f(z) \, dz + b \int_C g(z) \, dz\)。
  • 路径可加性：若 \(C = C_1 + C_2\)，则 \(\int_C f \, dz = \int_{C_1} f \, dz + \int_{C_2} f \, dz\)。
  • 反向路径：\(\int_{-C} f \, dz = -\int_C f \, dz\)。
  • 积分估计：若 \(|f(z)| \leq M\) 在 \(C\) 上成立，且 \(L\) 为曲线长度，则

\[ \left| \int_C f(z) \, dz \right| \leq M \cdot L. \]

5. 与路径无关的条件

若 \(f(z)\) 在单连通区域 \(D\) 内解析，则柯西积分定理表明：
积分值只与起点和终点有关，与路径无关。此时，若存在原函数 \(F(z)\) 使得 \(F'(z) = f(z)\)，则

\[\int_C f(z) \, dz = F(z_1) - F(z_0), \]

其中 \(z_0, z_1\) 是路径的起点和终点。

6. 闭路积分与柯西定理

若 \(C\) 是简单闭曲线，且 \(f(z)\) 在 \(C\) 及其内部解析，则柯西积分定理给出：

\[\oint_C f(z) \, dz = 0. \]

若有奇点，则需结合留数定理计算（见已讲词条“留数定理”）。

7. 应用示例

  • 计算实积分：通过复积分计算 \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} \, dx\) 等。
  • 研究解析函数性质：如柯西积分公式、泰勒展开等均以复积分为基础。

总结

复变函数的积分不仅推广了实积分，还通过路径依赖性和解析性揭示了复函数的深刻性质，是理解解析函数全局行为的关键工具。

复变函数的积分 复变函数的积分是复分析中的核心概念之一，它扩展了实函数积分的定义，并引入了路径积分的思想。下面从基础定义到核心性质逐步讲解。 1. 积分的定义 设复变函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内定义，\( C \) 是 \( D \) 内一条可求长的曲线，参数方程为 \( z(t) = x(t) + i y(t) \), \( t \in [ a, b] \)。将区间 \([ a, b]\) 分割为 \( a = t_ 0 < t_ 1 < \cdots < t_ n = b \)，在每一段上取点 \( \zeta_ k \in [ t_ {k-1}, t_ k] \)，并令 \( \Delta z_ k = z(t_ k) - z(t_ {k-1}) \)。则复积分定义为黎曼和极限： \[ \int_ C f(z) \, dz = \lim_ {n \to \infty} \sum_ {k=1}^n f(\zeta_ k) \Delta z_ k, \] 只要极限存在且与分割方式无关。 2. 化为实积分计算 由于 \( f(z) = u(x, y) + i v(x, y) \)，\( dz = dx + i dy \)，积分可写为： \[ \int_ C f(z) \, dz = \int_ C (u \, dx - v \, dy) + i \int_ C (v \, dx + u \, dy). \] 这表明复积分等价于两个实向量场的线积分（对 \( \mathbf{F}_ 1 = (u, -v) \) 和 \( \mathbf{F}_ 2 = (v, u) \)）。 3. 参数化直接计算 若曲线 \( C \) 由 \( z(t) \) 参数化，则： \[ \int_ C f(z) \, dz = \int_ a^b f(z(t)) \, z'(t) \, dt. \] 例如，计算 \( \int_ C z^2 \, dz \)，其中 \( C \) 为从 \( 0 \) 到 \( 1+i \) 的直线段： 参数化 \( z(t) = t + i t \), \( t \in [ 0, 1 ] \)，则 \( z'(t) = 1 + i \)， \[ \int_ C z^2 \, dz = \int_ 0^1 (t + i t)^2 (1 + i) \, dt = (1+i)^3 \int_ 0^1 t^2 \, dt = \frac{(1+i)^3}{3}. \] 4. 积分的基本性质 线性性 ：\( \int_ C [ a f(z) + b g(z)] \, dz = a \int_ C f(z) \, dz + b \int_ C g(z) \, dz \)。 路径可加性 ：若 \( C = C_ 1 + C_ 2 \)，则 \( \int_ C f \, dz = \int_ {C_ 1} f \, dz + \int_ {C_ 2} f \, dz \)。 反向路径 ：\( \int_ {-C} f \, dz = -\int_ C f \, dz \)。 积分估计 ：若 \( |f(z)| \leq M \) 在 \( C \) 上成立，且 \( L \) 为曲线长度，则 \[ \left| \int_ C f(z) \, dz \right| \leq M \cdot L. \] 5. 与路径无关的条件 若 \( f(z) \) 在单连通区域 \( D \) 内解析，则柯西积分定理表明： 积分值只与起点和终点有关，与路径无关 。此时，若存在原函数 \( F(z) \) 使得 \( F'(z) = f(z) \)，则 \[ \int_ C f(z) \, dz = F(z_ 1) - F(z_ 0), \] 其中 \( z_ 0, z_ 1 \) 是路径的起点和终点。 6. 闭路积分与柯西定理 若 \( C \) 是简单闭曲线，且 \( f(z) \) 在 \( C \) 及其内部解析，则柯西积分定理给出： \[ \oint_ C f(z) \, dz = 0. \] 若有奇点，则需结合留数定理计算（见已讲词条“留数定理”）。 7. 应用示例 计算实积分 ：通过复积分计算 \( \int_ {-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} \, dx \) 等。 研究解析函数性质 ：如柯西积分公式、泰勒展开等均以复积分为基础。 总结 复变函数的积分不仅推广了实积分，还通过路径依赖性和解析性揭示了复函数的深刻性质，是理解解析函数全局行为的关键工具。