伽罗瓦扩张

字数 3505 2025-12-24 20:25:10

伽罗瓦扩张

我们来循序渐进地学习伽罗瓦扩张这个概念。这是伽罗瓦理论的核心，连接了域扩张与群论。

第一步：回顾必要的预备知识

为了理解伽罗瓦扩张，我们需要先明确几个基础概念：

域扩张：给定一个域（比如有理数域 ℚ），我们可以在其中加入一些新元素（比如 √2），形成一个新的、更大的域（ℚ(√2)）。这个大域包含小域，我们记作 \(L/K\)，表示 \(K\) 是 \(L\) 的子域，\(L\) 是 \(K\) 的扩域。
代数扩张：如果扩张 \(L/K\) 中，\(L\) 的每个元素都是 \(K\) 上某个非零多项式的根，那么这个扩张就是代数的。例如，√2 是 \(x^2 - 2 = 0\) 的根，所以 ℚ(√2)/ℚ 是代数扩张。
域的K-自同构：对于一个域扩张 \(L/K\)，一个K-自同构 σ 是一个从 \(L\) 到自身的双射（即自同构），并且满足：

保持运算：对任意 \(a, b \in L\)，有 \(σ(a+b) = σ(a) + σ(b)\) 和 \(σ(ab) = σ(a)σ(b)\)。
固定基域K：对任意 \(k \in K\)，有 \(σ(k) = k\)。
所有这样的K-自同构构成一个群，称为伽罗瓦群，记作 \(\text{Gal}(L/K)\)。

第二步：伽罗瓦扩张的经典定义

有了上面的准备，我们可以给出伽罗瓦扩张的第一个也是最常见的定义：

定义1：设 \(L/K\) 是一个有限的代数扩张。如果 \(K\) 恰好是伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 的固定域，即：

\[ K = \{ a \in L \mid \forall \sigma \in \text{Gal}(L/K), \sigma(a) = a \} \]

那么，我们称 \(L/K\) 为一个伽罗瓦扩张。

理解这个定义：

“固定域”是指那些在伽罗瓦群所有作用下都保持不变的元素的集合。显然，基域 \(K\) 中的元素都被固定，所以 \(K\) 总是包含于这个固定域中。
伽罗瓦扩张要求除了 \(K\) 本身的元素，再也没有其他元素能被所有自同构固定。换句话说，伽罗瓦群的作用足够“丰富”，能把 \(K\) 和更大的子域区分开。

例子1（是伽罗瓦扩张）：考虑扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q}\)。

它的伽罗瓦群有两个元素：恒等映射 \(id\) 和共轭映射 \(\sigma: a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}\)。
哪个元素被这两个映射都固定呢？必须满足 \(a+b\sqrt{2} = a-b\sqrt{2}\)，这推出 \(b=0\)。所以固定域是 \(\{ a \mid a \in \mathbb{Q} \} = \mathbb{Q}\)。
符合定义，所以这是一个伽罗瓦扩张。

例子2（不是伽罗瓦扩张）：考虑扩张 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}\)，其中 \(\sqrt[3]{2}\) 是实数。

\(\sqrt[3]{2}\) 的极小多项式是 \(x^3 - 2\)。
另外两个根是 \(\omega\sqrt[3]{2}\) 和 \(\omega^2\sqrt[3]{2}\)，其中 \(\omega = e^{2\pi i/3}\) 是复三次单位根。
由于 \(L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\) 是实数域的子域，它不包含复数 \(\omega\sqrt[3]{2}\)。
任何K-自同构 \(σ\) 必须将 \(\sqrt[3]{2}\) 映射到它的某个共轭根上，但其他两个根不在 \(L\) 中。因此，唯一的可能性是 \(σ(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}\)。
所以，伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 只有恒等映射这一个元素，其固定域就是整个 \(L\)，它严格大于 \(\mathbb{Q}\)。
因此，\(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) / \mathbb{Q}\) 不是伽罗瓦扩张。

第三步：伽罗瓦扩张的等价刻画

上面“固定域等于基域”的定义在判断时有时不便操作。以下是几个更实用的等价条件，适用于有限扩张 \(L/K\)：

正规且可分：\(L/K\) 是伽罗瓦扩张，当且仅当它同时是正规扩张和可分扩张。

正规扩张：\(K\) 上每个不可约多项式，只要在 \(L\) 中有一个根，那么它的所有根都在 \(L\) 中，并且能在 \(L\) 上分解成一次因式的乘积。这保证了自同构的“原材料”（共轭根）足够多。
可分扩张：\(L\) 中每个元素在 \(K\) 上的极小多项式都是可分多项式（即在其分裂域中没有重根）。这保证了自同构可以自由地、互不冲突地将一个根映射到其他根上。

这正是例子1和例子2的关键区别。\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\) 是可分（\(x^2-2\) 无重根）且正规（其两个根 ±√2 都在该域内）。而 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}\) 是可分的（\(x^3-2\) 无重根），但不正规（因为复根不在该实数域内）。

自同构个数等于扩张次数：设 \([L:K]\) 表示扩张的维数（次数）。\(L/K\) 是伽罗瓦扩张，当且仅当 \(|\text{Gal}(L/K)| = [L:K]\)。

在例子1中，\([\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}] = 2\)，\(|\text{Gal}| = 2\)，相等。
在例子2中，\([\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}] = 3\)，但 \(|\text{Gal}| = 1\)，不相等。

第四步：无限伽罗瓦扩张

上述定义和等价刻画通常针对有限扩张。对于无限代数扩张 \(L/K\)，我们将其定义为伽罗瓦扩张，如果它是可分且正规的。此时，伽罗瓦群 \(\text{Gal}(L/K)\) 被赋予一个拓扑（Krull拓扑），使其成为一个拓扑群，伽罗瓦理论的基本定理在拓扑意义下依然成立。

第五步：伽罗瓦扩张的意义与基本定理

伽罗瓦扩张是整个伽罗瓦理论的舞台。其核心结果是伽罗瓦对应：

对于一个伽罗瓦扩张 \(L/K\)，其伽罗瓦群 \(G = \text{Gal}(L/K)\) 的子群（在无限情形下是闭子群）集合，与中间域 \(K \subseteq E \subseteq L\) 的集合之间，存在一个一一反序的对应关系：

\(H \mapsto L^H = \{ x \in L \mid \forall \sigma \in H, \sigma(x)=x \}\) （子群 \(H\) 对应其固定域）
\(E \mapsto \text{Gal}(L/E)\) （中间域 \(E\) 对应固定 \(E\) 的自同构子群）

这个对应是双射，并且保持包含关系的反向：\(H_1 \subseteq H_2\) 当且仅当 \(L^{H_1} \supseteq L^{H_2}\)。同时，子群 \(H\) 是正规子群当且仅当对应的中间域 \(L^H\) 是 \(K\) 的伽罗瓦扩张，且此时 \(\text{Gal}(L^H/K) \cong G/H\)。

正是伽罗瓦扩张所满足的“正规且可分”条件，保证了这套完美对应关系的成立，从而将复杂的域中间结构问题，转化为相对更易于处理的群论问题。

总结：
伽罗瓦扩张 \(L/K\) 是一个“对称性完美”的域扩张：它的自同构群（伽罗瓦群）足够大，以至于只有基域 \(K\) 中的元素才不受任何对称变换的影响。等价地，它是正规且可分的扩张。这种完美的对称性建立了域的中介结构与群的子结构之间深刻的对应关系，即伽罗瓦基本定理。

伽罗瓦扩张我们来循序渐进地学习伽罗瓦扩张这个概念。这是伽罗瓦理论的核心，连接了域扩张与群论。第一步：回顾必要的预备知识为了理解伽罗瓦扩张，我们需要先明确几个基础概念：域扩张：给定一个域（比如有理数域 ℚ），我们可以在其中加入一些新元素（比如 √2），形成一个新的、更大的域（ℚ(√2)）。这个大域包含小域，我们记作 \( L/K \)，表示 \( K \) 是 \( L \) 的子域，\( L \) 是 \( K \) 的扩域。代数扩张：如果扩张 \( L/K \) 中，\( L \) 的每个元素都是 \( K \) 上某个非零多项式的根，那么这个扩张就是代数的。例如，√2 是 \( x^2 - 2 = 0 \) 的根，所以 ℚ(√2)/ℚ 是代数扩张。域的K-自同构：对于一个域扩张 \( L/K \)，一个 K-自同构 σ 是一个从 \( L \) 到自身的双射（即自同构），并且满足：保持运算：对任意 \( a, b \in L \)，有 \( σ(a+b) = σ(a) + σ(b) \) 和 \( σ(ab) = σ(a)σ(b) \)。固定基域K ：对任意 \( k \in K \)，有 \( σ(k) = k \)。所有这样的K-自同构构成一个群，称为伽罗瓦群，记作 \( \text{Gal}(L/K) \)。第二步：伽罗瓦扩张的经典定义有了上面的准备，我们可以给出伽罗瓦扩张的第一个也是最常见的定义：定义1 ：设 \( L/K \) 是一个有限的代数扩张。如果 \( K \) 恰好是伽罗瓦群 \( \text{Gal}(L/K) \) 的固定域，即： \[ K = \{ a \in L \mid \forall \sigma \in \text{Gal}(L/K), \sigma(a) = a \} \] 那么，我们称 \( L/K \) 为一个伽罗瓦扩张。理解这个定义： “固定域”是指那些在伽罗瓦群所有作用下都保持不变的元素的集合。显然，基域 \( K \) 中的元素都被固定，所以 \( K \) 总是包含于这个固定域中。伽罗瓦扩张要求除了 \( K \) 本身的元素，再也没有其他元素能被所有自同构固定。换句话说，伽罗瓦群的作用足够“丰富”，能把 \( K \) 和更大的子域区分开。例子1（是伽罗瓦扩张）：考虑扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q} \)。它的伽罗瓦群有两个元素：恒等映射 \( id \) 和共轭映射 \( \sigma: a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2} \)。哪个元素被这两个映射都固定呢？必须满足 \( a+b\sqrt{2} = a-b\sqrt{2} \)，这推出 \( b=0 \)。所以固定域是 \( \{ a \mid a \in \mathbb{Q} \} = \mathbb{Q} \)。符合定义，所以这是一个伽罗瓦扩张。例子2（不是伽罗瓦扩张）：考虑扩张 \( \mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{2}) / \mathbb{Q} \)，其中 \( \sqrt[ 3 ]{2} \) 是实数。 \( \sqrt[ 3 ]{2} \) 的极小多项式是 \( x^3 - 2 \)。另外两个根是 \( \omega\sqrt[ 3]{2} \) 和 \( \omega^2\sqrt[ 3 ]{2} \)，其中 \( \omega = e^{2\pi i/3} \) 是复三次单位根。由于 \( L = \mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{2}) \) 是实数域的子域，它不包含复数 \( \omega\sqrt[ 3 ]{2} \)。任何K-自同构 \( σ \) 必须将 \( \sqrt[ 3]{2} \) 映射到它的某个共轭根上，但其他两个根不在 \( L \) 中。因此，唯一的可能性是 \( σ(\sqrt[ 3]{2}) = \sqrt[ 3 ]{2} \)。所以，伽罗瓦群 \( \text{Gal}(L/K) \) 只有恒等映射这一个元素，其固定域就是整个 \( L \)，它严格大于 \( \mathbb{Q} \)。因此，\( \mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{2}) / \mathbb{Q} \) 不是伽罗瓦扩张。第三步：伽罗瓦扩张的等价刻画上面“固定域等于基域”的定义在判断时有时不便操作。以下是几个更实用的等价条件，适用于有限扩张 \( L/K \)：正规且可分：\( L/K \) 是伽罗瓦扩张，当且仅当它同时是正规扩张和可分扩张。正规扩张：\( K \) 上每个不可约多项式，只要在 \( L \) 中有一个根，那么它的所有根都在 \( L \) 中，并且能在 \( L \) 上分解成一次因式的乘积。这保证了自同构的“原材料”（共轭根）足够多。可分扩张：\( L \) 中每个元素在 \( K \) 上的极小多项式都是可分多项式（即在其分裂域中没有重根）。这保证了自同构可以自由地、互不冲突地将一个根映射到其他根上。这正是例子1和例子2的关键区别。\( \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q} \) 是可分（\( x^2-2 \) 无重根）且正规（其两个根 ±√2 都在该域内）。而 \( \mathbb{Q}(\sqrt[ 3 ]{2})/\mathbb{Q} \) 是可分的（\( x^3-2 \) 无重根），但不正规（因为复根不在该实数域内）。自同构个数等于扩张次数：设 \( [ L:K] \) 表示扩张的维数（次数）。\( L/K \) 是伽罗瓦扩张，当且仅当 \( |\text{Gal}(L/K)| = [ L:K ] \)。在例子1中，\( [ \mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q} ] = 2 \)，\( |\text{Gal}| = 2 \)，相等。在例子2中，\( [ \mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{2}):\mathbb{Q} ] = 3 \)，但 \( |\text{Gal}| = 1 \)，不相等。第四步：无限伽罗瓦扩张上述定义和等价刻画通常针对有限扩张。对于无限代数扩张 \( L/K \)，我们将其定义为伽罗瓦扩张，如果它是可分且正规的。此时，伽罗瓦群 \( \text{Gal}(L/K) \) 被赋予一个拓扑（Krull拓扑），使其成为一个拓扑群，伽罗瓦理论的基本定理在拓扑意义下依然成立。第五步：伽罗瓦扩张的意义与基本定理伽罗瓦扩张是整个伽罗瓦理论的舞台。其核心结果是伽罗瓦对应：对于一个伽罗瓦扩张 \( L/K \)，其伽罗瓦群 \( G = \text{Gal}(L/K) \) 的子群（在无限情形下是闭子群）集合，与中间域 \( K \subseteq E \subseteq L \) 的集合之间，存在一个一一反序的对应关系： \( H \mapsto L^H = \{ x \in L \mid \forall \sigma \in H, \sigma(x)=x \} \) （子群 \( H \) 对应其固定域） \( E \mapsto \text{Gal}(L/E) \) （中间域 \( E \) 对应固定 \( E \) 的自同构子群）这个对应是双射，并且保持包含关系的反向：\( H_ 1 \subseteq H_ 2 \) 当且仅当 \( L^{H_ 1} \supseteq L^{H_ 2} \)。同时，子群 \( H \) 是正规子群当且仅当对应的中间域 \( L^H \) 是 \( K \) 的伽罗瓦扩张，且此时 \( \text{Gal}(L^H/K) \cong G/H \)。正是伽罗瓦扩张所满足的“正规且可分”条件，保证了这套完美对应关系的成立，从而将复杂的域中间结构问题，转化为相对更易于处理的群论问题。总结：伽罗瓦扩张 \( L/K \) 是一个“对称性完美”的域扩张：它的自同构群（伽罗瓦群）足够大，以至于只有基域 \( K \) 中的元素才不受任何对称变换的影响。等价地，它是正规且可分的扩张。这种完美的对称性建立了域的中介结构与群的子结构之间深刻的对应关系，即伽罗瓦基本定理。