曲面的曲率形式的几何意义与嘉当结构方程（续）
好的，我们已经探讨了“曲率形式的几何意义”，现在让我们深入其核心的微分关系——嘉当（Cartan）结构方程。这是理解曲面乃至高维流形局部与整体性质的关键工具。
我们将循序渐进地理解它：
步骤一：从回顾到准备——活动标架法
之前我们介绍了“曲率形式”是衡量一个向量场沿无穷小环路平行移动后方向变化的微分2-形式。为了精确描述这种“变化”，我们需要一个好的“坐标系”来追踪几何对象的演化。在曲面上，这自然引出了活动标架法。
- 活动标架的选择：在曲面 \(S\) 上每一点 \(p\)，我们选取一个右手正交标架 \(\{e_1, e_2, e_3\}\)，其中 \(e_1, e_2\) 是切平面 \(T_pS\) 的一组正交基（单位切向量），\(e_3\) 是单位法向量。这个标架是“活动”的，意味着它随着点 \(p\) 在曲面上的移动而变化。
- 标架的运动方程：当点 \(p\) 在曲面上沿某个方向发生一个无穷小位移时，标架本身会经历一个无穷小的旋转。这个旋转可以用一组微分1-形式——联络1-形式（或旋转系数）来描述。具体来说：
- 联络1-形式 \(\omega_i^j\)：它衡量了标架向量 \(e_j\) 的变化在 \(e_i\) 方向上的分量。更准确地说，标架向量 \(e_j\) 的微分可以表示为：
\[ de_j = \sum_{i=1}^{3} \omega_j^i e_i \]
由于标架是正交的（\(e_i \cdot e_j = \delta_{ij}\)），矩阵 \((\omega_j^i)\) 是反对称的，即 \(\omega_j^i = -\omega_i^j\)。这是我们建立方程的基础。
步骤二：建立第一对结构方程——嘉当第一结构方程
第一结构方程描述了曲面度量（或称为“标架移动”）的内在约束，它本质上是“无挠”条件的体现。
- 用标架表示位置向量微分：曲面上点的位置向量 \(r\) 的微分 \(dr\) 位于切平面内，因此可以用切标架 \(\{e_1, e_2\}\) 展开。我们引入另一组1-形式 \(\theta^i\)，使得：
\[ dr = \theta^1 e_1 + \theta^2 e_2 \]
\(\theta^1\) 和 \(\theta^2\) 称为对偶1-形式。它们是曲面第一基本形式 \(I = (dr)\cdot(dr) = (\theta^1)^2 + (\theta^2)^2\) 的平方根展开。
2. 第一结构方程的形式：嘉当第一结构方程表述为：
\[ d\theta^i = \sum_{j=1}^{2} \theta^j \wedge \omega_j^i, \quad i = 1, 2 \]
这里 \(d\) 是外微分，\(\wedge\) 是外积。这个方程看起来抽象，但其几何意义是：位置向量 \(r\) 的二阶微分 \(d(dr)\) 在展开时，其系数（即外微分 \(d\theta^i\)）必须满足由标架旋转（\(\omega_j^i\)）和位移（\(\theta^j\)）所决定的约束。在黎曼几何中，这等价于挠率张量为零的条件，对于（伪）黎曼流形成立。
步骤三：建立第二对结构方程——嘉当第二结构方程
这是核心，它将曲率形式与联络形式直接联系起来。
- 曲率形式 \(\Omega_j^i\) 的定义：在活动标架下，曲率形式是一个2-形式，其分量定义为：
\[ \Omega_j^i = d\omega_j^i - \sum_{k=1}^{3} \omega_j^k \wedge \omega_k^i \]
这个公式是嘉当第二结构方程的紧凑表述。注意求和下标 \(k\) 从1到3，但在二维曲面上，由于反对称性和标架选择，许多项为零。
2. 方程的几何解读：
- \(d\omega_j^i\)：是联络形式 \(\omega_j^i\) 的外微分，它衡量了联络形式自身的变化。
- \(\sum \omega_j^k \wedge \omega_k^i\)：是一个二次项，它衡量了由于标架在不同方向上的旋转相互“干涉”或“耦合”而产生的贡献。
- 两者之差 \(\Omega_j^i\) 才是内蕴的曲率。外微分项 \(d\omega\) 依赖于标架选择的“坐标”，而二次耦合项 \(\omega \wedge \omega\) 正好抵消掉这个依赖性，使得 \(\Omega\) 成为一个几何不变量，其分量与所选的局部活动标架无关（在正交变换下按张量规则变换）。
- 具体到二维曲面：对于曲面，最重要的曲率形式是切平面内的旋转。利用反对称性 (\(\omega_1^2 = -\omega_2^1\)，记作 \(\omega\)；\(\omega_i^3\) 与第二基本形式相关)，第二结构方程简化为一个关键方程：
\[ \Omega_1^2 = d\omega \]
这个 \(\omega = \omega_1^2\) 正是联络1-形式，它描述了切标架 \(\{e_1, e_2\}\) 自身的旋转。而 \(\Omega_1^2\) 就是与之对应的曲率2-形式。
步骤四：建立与高斯曲率的直接联系
嘉当结构方程最漂亮的结果之一，是将曲率形式与高斯曲率 \(K\) 直接联系起来。
- 高斯绝妙定理的微分形式版本：可以证明，上述曲率2-形式 \(\Omega_1^2\) 与曲面的面积2-形式 \(dA = \theta^1 \wedge \theta^2\) 之间，满足一个极其简洁的关系：
\[ \Omega_1^2 = K \, dA \]
其中 \(K\) 是高斯曲率。
2. 意义的升华：这个等式 \(\Omega_1^2 = K \, dA\) 是高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的现代表述。它告诉我们：
- 左端 \(\Omega_1^2\) 完全由度量（第一基本形式）决定，因为联络形式 \(\omega\) 可以从度量导出（通过第一结构方程和无挠条件）。
- 右端的 \(dA\) 也由度量决定。
- 因此，等式本身强制要求 \(K\) 也必须完全由度量决定，这正是高斯曲率的内蕴性。
- 从计算角度看，如果我们知道了曲面的度量（即对偶1-形式 \(\theta^1, \theta^2\)），我们可以通过解第一结构方程求出联络形式 \(\omega\)，然后外微分得到 \(\Omega_1^2 = d\omega\)，最后除以面积元 \(dA\) 就得到了高斯曲率 \(K\)。这是计算曲率的一个非常有效的现代方法。
总结
嘉当结构方程提供了一个用微分形式语言描述曲面（及高维流形）几何的优雅而强大的框架：
- 第一结构方程 \((d\theta^i = \sum \theta^j \wedge \omega_j^i)\) 编码了流形的“无挠”性质，建立了位移形式与联络形式之间的关系。
- 第二结构方程 \((\Omega_j^i = d\omega_j^i - \sum \omega_j^k \wedge \omega_k^i)\) 定义了曲率形式，并揭示了它如何由联络形式及其变化构成。
- 在二维曲面上，这套方程的核心产出是等式 \(\Omega_1^2 = K \, dA\)，它不仅是计算高斯曲率的利器，更是高斯绝妙定理的微分形式证明，深刻揭示了曲率的内蕴几何本质。
通过这套方程，局部微分几何（标架的无穷小运动）与整体拓扑性质（如高斯-博内定理）得以无缝连接，是现代微分几何研究的基石语言之一。