量子力学中的Wigner-Seitz原胞
字数 1894 2025-12-24 19:02:57

量子力学中的Wigner-Seitz原胞

  1. 概念引入：固体量子理论的基本几何单元
    在量子力学中，特别是处理周期性晶体结构时，我们需要一个能代表晶格对称性的最小几何单元。Wigner-Seitz原胞是一种定义在倒易空间（动量空间）或实空间中的原胞，其构造方式直接反映了晶格的平移对称性。具体来说，它是以某个格点为起点，连接该格点与所有邻近格点，并作这些连线的垂直平分面（或垂直平分线），这些面围成的闭合区域即为该格点的Wigner-Seitz原胞。它是第一布里渊区（Brillouin zone）在实空间的对应物，但注意：布里渊区通常特指倒易空间中的Wigner-Seitz原胞。

  2. 数学构造与定义
    设实空间中有布拉维晶格，格点位置由平移矢量 \(\mathbf{R} = n_1\mathbf{a}_1 + n_2\mathbf{a}_2 + n_3\mathbf{a}_3\) 给出（\(\mathbf{a}_i\) 是基矢，\(n_i\) 为整数）。对于选定的一个格点（常取原点 \(\mathbf{R}=0\)），其Wigner-Seitz原胞是所有满足以下条件的点的集合：

\[ \left\{ \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3 : |\mathbf{r}| \le |\mathbf{r} - \mathbf{R}'| \quad \text{对所有} \ \mathbf{R}' \ne 0 \ \text{的格点} \right\}. \]

换言之，原胞内的点距离该格点比距离其他任何格点都更近。这等价于作所有 \(\mathbf{R}' \ne 0\) 的垂直平分面（方程：\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{R}' = \frac{1}{2}|\mathbf{R}'|^2\)），取包含原点的半空间的交集。

  1. 在量子力学中的核心作用
    Wigner-Seitz原胞在能带理论中起到关键作用：

    • 实空间原胞：作为晶体体积的最小重复单元，可用于计算晶体的电子密度、布洛赫波函数的周期性部分 \(u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 通常定义在一个原胞上。
    • 倒易空间中的对应——布里渊区：将上述构造方法应用于倒易格点 \(\mathbf{G}\)，得到的就是第一布里渊区。波矢 \(\mathbf{k}\) 只需在布里渊区内取值即可唯一标记布洛赫态，因为 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}+\mathbf{G}\) 物理等价。布里渊区的形状直接影响能带 \(E_n(\mathbf{k})\) 的计算和对称性分析。

  2. 与布里渊区的联系与区别

    • 联系：两者构造方法相同，但所处空间不同。Wigner-Seitz原胞一般指实空间的单元；若特别说明“倒易空间的Wigner-Seitz原胞”，则就是第一布里渊区。
    • 区别：实空间原胞用于坐标空间积分（如电荷密度），而布里渊区用于动量空间积分（如态密度、费米面计算）。在量子力学中，布里渊区更常直接出现于薛定谔方程的傅里叶变换形式中。

  3. 物理应用示例

    • 能带计算：在紧束缚模型或平面波展开中，哈密顿量的矩阵元需要在布里渊区内对角化。布里渊区的边界（垂直平分面）对应布拉格反射条件，能带在此处往往出现带隙。
    • 对称性分析：Wigner-Seitz原胞继承了晶格的点群对称性，这帮助简化计算（如将积分限定在不可约布里渊区部分）。
    • 拓扑量子态：在拓扑绝缘体或拓扑半金属中，拓扑不变量（如陈数）的定义依赖于对整个布里渊区的积分。

  4. 数学深化：与Voronoi图的关系
    Wigner-Seitz原胞是数学中Voronoi图（或Dirichlet剖分）在晶体学中的应用。在更一般的点集 \(\{\mathbf{R}_i\}\) 中，点 \(\mathbf{R}_i\) 的Voronoi单元定义为距离该点最近的所有点构成的区域。晶体格点的平移对称性使得所有Wigner-Seitz原胞全等且无重叠地填满空间。

  5. 扩展讨论：高维与广义情况
    上述定义可直接推广到任意维度的周期性格子。在低维系统（如二维石墨烯）中，Wigner-Seitz原胞为多边形；在一维链中，即线段。对于非布拉维晶格（如复式晶格），通常仍以布拉维格点构造原胞，原胞内包含多个原子基元。

通过以上步骤，你应当理解了Wigner-Seitz原胞作为晶体周期结构的基本几何单元，如何从定义、构造过渡到其在量子力学能带理论中的核心作用，并区分了实空间与倒易空间中的对应概念。

量子力学中的Wigner-Seitz原胞 概念引入：固体量子理论的基本几何单元 在量子力学中，特别是处理周期性晶体结构时，我们需要一个能代表晶格对称性的最小几何单元。Wigner-Seitz原胞是一种定义在倒易空间（动量空间）或实空间中的原胞，其构造方式直接反映了晶格的平移对称性。具体来说，它是以某个格点为起点，连接该格点与所有邻近格点，并作这些连线的垂直平分面（或垂直平分线），这些面围成的闭合区域即为该格点的Wigner-Seitz原胞。它是第一布里渊区（Brillouin zone）在实空间的对应物，但注意：布里渊区通常特指倒易空间中的Wigner-Seitz原胞。 数学构造与定义 设实空间中有布拉维晶格，格点位置由平移矢量 \(\mathbf{R} = n_ 1\mathbf{a}_ 1 + n_ 2\mathbf{a}_ 2 + n_ 3\mathbf{a}_ 3\) 给出（\(\mathbf{a}_ i\) 是基矢，\(n_ i\) 为整数）。对于选定的一个格点（常取原点 \(\mathbf{R}=0\)），其Wigner-Seitz原胞是所有满足以下条件的点的集合： \[ \left\{ \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3 : |\mathbf{r}| \le |\mathbf{r} - \mathbf{R}'| \quad \text{对所有} \ \mathbf{R}' \ne 0 \ \text{的格点} \right\}. \] 换言之，原胞内的点距离该格点比距离其他任何格点都更近。这等价于作所有 \(\mathbf{R}' \ne 0\) 的垂直平分面（方程：\(\mathbf{r} \cdot \mathbf{R}' = \frac{1}{2}|\mathbf{R}'|^2\)），取包含原点的半空间的交集。 在量子力学中的核心作用 Wigner-Seitz原胞在能带理论中起到关键作用： 实空间原胞 ：作为晶体体积的最小重复单元，可用于计算晶体的电子密度、布洛赫波函数的周期性部分 \(u_ {n\mathbf{k}}(\mathbf{r})\) 通常定义在一个原胞上。 倒易空间中的对应——布里渊区 ：将上述构造方法应用于倒易格点 \(\mathbf{G}\)，得到的就是第一布里渊区。波矢 \(\mathbf{k}\) 只需在布里渊区内取值即可唯一标记布洛赫态，因为 \(\mathbf{k}\) 和 \(\mathbf{k}+\mathbf{G}\) 物理等价。布里渊区的形状直接影响能带 \(E_ n(\mathbf{k})\) 的计算和对称性分析。 与布里渊区的联系与区别 联系 ：两者构造方法相同，但所处空间不同。Wigner-Seitz原胞一般指实空间的单元；若特别说明“倒易空间的Wigner-Seitz原胞”，则就是第一布里渊区。 区别 ：实空间原胞用于坐标空间积分（如电荷密度），而布里渊区用于动量空间积分（如态密度、费米面计算）。在量子力学中，布里渊区更常直接出现于薛定谔方程的傅里叶变换形式中。 物理应用示例 能带计算 ：在紧束缚模型或平面波展开中，哈密顿量的矩阵元需要在布里渊区内对角化。布里渊区的边界（垂直平分面）对应布拉格反射条件，能带在此处往往出现带隙。 对称性分析 ：Wigner-Seitz原胞继承了晶格的点群对称性，这帮助简化计算（如将积分限定在不可约布里渊区部分）。 拓扑量子态 ：在拓扑绝缘体或拓扑半金属中，拓扑不变量（如陈数）的定义依赖于对整个布里渊区的积分。 数学深化：与Voronoi图的关系 Wigner-Seitz原胞是数学中Voronoi图（或Dirichlet剖分）在晶体学中的应用。在更一般的点集 \(\{\mathbf{R}_ i\}\) 中，点 \(\mathbf{R}_ i\) 的Voronoi单元定义为距离该点最近的所有点构成的区域。晶体格点的平移对称性使得所有Wigner-Seitz原胞全等且无重叠地填满空间。 扩展讨论：高维与广义情况 上述定义可直接推广到任意维度的周期性格子。在低维系统（如二维石墨烯）中，Wigner-Seitz原胞为多边形；在一维链中，即线段。对于非布拉维晶格（如复式晶格），通常仍以布拉维格点构造原胞，原胞内包含多个原子基元。 通过以上步骤，你应当理解了Wigner-Seitz原胞作为晶体周期结构的基本几何单元，如何从定义、构造过渡到其在量子力学能带理论中的核心作用，并区分了实空间与倒易空间中的对应概念。