C*-代数中的近似单位元（Approximate Identity in C*-Algebras）
字数 4280 2025-12-24 16:55:04

C*-代数中的近似单位元（Approximate Identity in C*-Algebras）

好的，我们开始讲解这个在算子代数理论中非常基本且重要的概念。

第一步：动机与直观想法

想象一下，你在一个可能“没有单位元”的代数中工作。例如，考虑所有在无穷远处趋于零的连续复值函数构成的代数 \(C_0(\mathbb{R})\)，它没有乘法单位元（因为常值函数1不在其中）。许多自然出现的C*-代数，特别是那些与非紧空间或非幺正群相关的代数，常常没有单位元。然而，许多分析论证（比如处理谱、构造可逆元、进行逼近）都依赖于单位元的存在。近似单位元就是为了克服这个困难而引入的一个工具：它是一族“越来越像”单位元的元素，使得在极限意义下，它们能起到单位元的作用。

第二步：在具体例子中建立图像

让我们在刚才提到的 \(C_0(\mathbb{R})\) 中构造一个近似单位元。

  1. 取一系列函数 \(\{ e_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset C_0(\mathbb{R})\)，其中每个 \(e_n\) 满足：\(0 \le e_n(x) \le 1\) 对所有 \(x\) 成立。
  2. 定义 \(e_n(x) = \exp(-x^2/n^2)\)。注意当 \(n \to \infty\) 时，\(e_n(x) \to 1\) 对每个固定的 \(x\) 成立，但它本身不是常数1，且仍属于 \(C_0(\mathbb{R})\)。
  3. 对于任意固定的 \(f \in C_0(\mathbb{R})\)，我们看 \(e_n f\) 会发生什么？因为 \(e_n\) 在紧集外迅速衰减，我们需要更仔细地定义。更标准的做法是取一列紧支撑函数。例如，令 \(e_n(x) = 1\) 当 \(|x| \le n\)，在 \(n < |x| < n+1\) 时光滑下降到0，在 \(|x| \ge n+1\) 时为0。
  4. 对于任意固定的 \(f \in C_0(\mathbb{R})\)，由于 \(f\) 在无穷远处为0，当 \(n\) 足够大时，\(e_n(x) f(x)\) 在 \(|x| \le n\) 上等于 \(f(x)\)，而在 \(|x| > n\) 时两者都很小。由一致范数 \(\| \cdot \|_\infty\) 可以证明 \(\| e_n f - f \|_\infty \to 0\)。同样地，\(\| f e_n - f \|_\infty \to 0\)。这族 \(\{ e_n \}\) 就起到了“近似单位”的作用：它左乘或右乘任何元素，都会在极限下收敛到该元素本身。

这个例子揭示了核心思想：用一列有“良好性质”的元素去逼近单位元的行为。

第三步：C*-代数中近似单位元的严格定义

设 \(\mathcal{A}\) 是一个C*-代数（不一定有单位元）。\(\mathcal{A}\) 中的一个 近似单位元 是指一个网（或序列，如果 \(\mathcal{A}\) 是 separable 的） \(\{ e_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{A} \)，满足以下两个条件：

  1. 单调递增性：对所有 \(\lambda \le \mu\)，有 \(0 \le e_\lambda \le e_\mu\)（这里 \(\le\) 是C*-代数中的正元序关系）。
  2. 逼近性质：对任意 \(a \in \mathcal{A}\)，有

\[ \lim_{\lambda} \| e_\lambda a - a \| = 0 \quad \text{和} \quad \lim_{\lambda} \| a e_\lambda - a \| = 0. \]

即，\(e_\lambda a\) 和 \(a e_\lambda\) 在范数拓扑下分别收敛于 \(a\)。

重要注解：

  • “网” vs “序列”：在不可分的代数中，我们通常需要使用有向集上的网来确保存在性。但在许多具体应用中，序列足够。
  • 正性：定义中要求每个 \(e_\lambda\) 是 正元（即 \(e_\lambda = e_\lambda^*\) 且谱在非负实轴上），并且网是单调递增的。这保证了近似单位元有很好的分析和序结构性质。
  • 范数有界性：可以证明，任何一个近似单位元都满足 \(\| e_\lambda \| \le 1\)。实际上，通常可以构造出满足 \(\| e_\lambda \| < 1\) 的近似单位元。

第四步：近似单位元的存在性定理及其证明思路

一个基本而重要的定理是：每一个C*-代数都包含一个近似单位元。

证明思路概要：

  1. 构造候选集：令集合 \(\Lambda\) 由 \(\mathcal{A}\) 中所有有限个正元的凸组合构成，这些正元的范数小于1。按集合包含关系偏序化 \(\Lambda\)。
  2. 利用C*-代数的内部结构：对任意 \(a \in \mathcal{A}\)，考虑元素 \((a^*a)^{1/2}\)。在由 \(a^*a\) 生成的交换C*-子代数中，可以构造一列多项式 \(p_n(t)\)，使得 \(t p_n(t)\) 在谱上一致收敛于 \(t\)。这给出了 \((a^*a) p_n(a^*a) \to a^*a\)。
  3. 组合与逼近：将上述对每个有限多个 \(a_i\) 生成的结论组合起来，利用有向集的性质，可以构造出一个网 \(\{ e_\lambda \}\)，使得对任意给定的有限集合 \(F \subset \mathcal{A}\) 和 \(\epsilon > 0\)，总存在某个 \(e_\lambda\) 使得对所有 \(a \in F\) 有 \(\| e_\lambda a - a \| < \epsilon\) 和 \(\| a e_\lambda - a \| < \epsilon\)。
  4. 验证定义：最后需要验证这个网是递增的、由正元构成，并且满足全局的逼近性质。这需要用到C*-代数的演算和范数估计。

这个证明的核心在于巧妙地利用C*-代数的正元锥结构和连续函数演算，将局部逼近“粘合”成一个全局的近似单位元网。

第五步：近似单位元的关键性质与应用

近似单位元在C*-代数理论中扮演着核心角色，其主要应用包括：

  1. 单位化（Adjoining a Unit）：任何无单位C*-代数 \(\mathcal{A}\)，可以通过添加一个单位元 \(\mathbf{1}\) 的方式，唯一地扩张成一个有单位元的C*-代数 \(\tilde{\mathcal{A}} = \mathcal{A} \oplus \mathbb{C} \mathbf{1}\)，并使 \(\mathcal{A}\) 成为 \(\tilde{\mathcal{A}}\) 的一个理想。近似单位元在证明 \(\mathcal{A}\) 在 \(\tilde{\mathcal{A}}\) 中的某些理想性质时起到关键作用。
  2. 正泛函的延拓：设 \(\phi: \mathcal{A} \to \mathbb{C}\) 是一个正线性泛函（即保持正性）。可以利用近似单位元 \(\{ e_\lambda \}\) 证明 \(\phi\) 是有界的，且其范数等于 \(\lim_\lambda \phi(e_\lambda)\)。这是将正泛函从子代数延拓到整个代数的基础。
  3. 非退化表示：在C*-代数的表示理论中，一个表示 \((\pi, H)\) 称为非退化的，如果 \(\pi(\mathcal{A})H\) 在 \(H\) 中稠密。等价条件是：存在近似单位元 \(\{ e_\lambda \}\) 使得 \(\pi(e_\lambda) \xi \to \xi\) 对所有 \(\xi \in H\) 成立。这建立了近似单位元与表示的循环向量、循环子空间之间的深刻联系。
  4. 理想与商代数：如果一个C*-代数 \(\mathcal{A}\) 有一个闭理想 \(I\)，那么 \(I\) 本身也是一个C*-代数（无单位元），因此有自己的近似单位元。这个理想的近似单位元可以用来证明商代数 \(\mathcal{A}/I\) 仍然是C*-代数，并且在研究扩张问题时至关重要。
  5. 乘子代数（Multiplier Algebra）：无单位C*-代数 \(\mathcal{A}\) 的乘子代数 \(M(\mathcal{A})\) 可以看作 \(\mathcal{A}\) 在某种意义下的“最大”单位化。\(\mathcal{A}\) 在 \(M(\mathcal{A})\) 中是“本质理想”，这意味着对任意 \(m \in M(\mathcal{A})\)，有 \(m = \lim_\lambda e_\lambda m = \lim_\lambda m e_\lambda\)。这表明 \(\mathcal{A}\) 的近似单位元在 \(M(\mathcal{A})\) 中收敛于单位元 \(1_{M(\mathcal{A})}\)（在严格拓扑下）。

第六步：与已学概念的联系与升华

近似单位元是连接C*-代数代数结构、序结构和拓扑结构的一个纽带。

  • 从代数角度看，它弥补了没有单位元的缺陷。
  • 从序结构（正锥）看，它的构造依赖于正元。
  • 从拓扑（范数收敛、严格拓扑）看，它提供了关键的逼近工具。

它使得许多在有单位元代数中成立的结论（如Gelfand-Naimark表示定理、正泛函的构造、谱理论等）可以推广到无单位元的情形。因此，近似单位元是深入研究更广泛的C*-代数（如与局部紧群相关的群C*-代数、与动力学相关的交叉积C*-代数）不可或缺的基本工具。它的存在性和性质深刻反映了C*-代数作为一种“非交换拓扑空间”的良好行为。

C* -代数中的近似单位元（Approximate Identity in C* -Algebras） 好的，我们开始讲解这个在算子代数理论中非常基本且重要的概念。 第一步：动机与直观想法 想象一下，你在一个可能“没有单位元”的代数中工作。例如，考虑所有在无穷远处趋于零的连续复值函数构成的代数 \( C_ 0(\mathbb{R}) \)，它没有乘法单位元（因为常值函数1不在其中）。许多自然出现的C* -代数，特别是那些与非紧空间或非幺正群相关的代数，常常没有单位元。然而，许多分析论证（比如处理谱、构造可逆元、进行逼近）都依赖于单位元的存在。 近似单位元 就是为了克服这个困难而引入的一个工具：它是一族“越来越像”单位元的元素，使得在极限意义下，它们能起到单位元的作用。 第二步：在具体例子中建立图像 让我们在刚才提到的 \( C_ 0(\mathbb{R}) \) 中构造一个近似单位元。 取一系列函数 \(\{ e_ n \}_ {n \in \mathbb{N}} \subset C_ 0(\mathbb{R})\)，其中每个 \( e_ n \) 满足：\( 0 \le e_ n(x) \le 1 \) 对所有 \(x\) 成立。 定义 \( e_ n(x) = \exp(-x^2/n^2) \)。注意当 \(n \to \infty\) 时，\( e_ n(x) \to 1 \) 对每个固定的 \(x\) 成立，但它本身不是常数1，且仍属于 \( C_ 0(\mathbb{R}) \)。 对于任意固定的 \( f \in C_ 0(\mathbb{R}) \)，我们看 \( e_ n f \) 会发生什么？因为 \( e_ n \) 在紧集外迅速衰减，我们需要更仔细地定义。更标准的做法是取一列紧支撑函数。例如，令 \( e_ n(x) = 1 \) 当 \( |x| \le n \)，在 \( n < |x| < n+1 \) 时光滑下降到0，在 \( |x| \ge n+1 \) 时为0。 对于任意固定的 \( f \in C_ 0(\mathbb{R}) \)，由于 \( f \) 在无穷远处为0，当 \(n\) 足够大时，\( e_ n(x) f(x) \) 在 \( |x| \le n \) 上等于 \( f(x) \)，而在 \( |x| > n \) 时两者都很小。由一致范数 \(\| \cdot \| \infty\) 可以证明 \(\| e_ n f - f \| \infty \to 0\)。同样地，\(\| f e_ n - f \|_ \infty \to 0\)。这族 \(\{ e_ n \}\) 就起到了“近似单位”的作用：它左乘或右乘任何元素，都会在极限下收敛到该元素本身。 这个例子揭示了核心思想： 用一列有“良好性质”的元素去逼近单位元的行为 。 第三步：C* -代数中近似单位元的严格定义 设 \( \mathcal{A} \) 是一个C* -代数（不一定有单位元）。\( \mathcal{A} \) 中的一个 近似单位元 是指一个网（或序列，如果 \( \mathcal{A} \) 是 separable 的） \(\{ e_ \lambda \}_ {\lambda \in \Lambda} \subset \mathcal{A} \)，满足以下两个条件： 单调递增性 ：对所有 \( \lambda \le \mu \)，有 \( 0 \le e_ \lambda \le e_ \mu \)（这里 \(\le\) 是C* -代数中的正元序关系）。 逼近性质 ：对任意 \( a \in \mathcal{A} \)，有 \[ \lim_ {\lambda} \| e_ \lambda a - a \| = 0 \quad \text{和} \quad \lim_ {\lambda} \| a e_ \lambda - a \| = 0. \] 即，\( e_ \lambda a \) 和 \( a e_ \lambda \) 在范数拓扑下分别收敛于 \(a\)。 重要注解 ： “网” vs “序列” ：在不可分的代数中，我们通常需要使用有向集上的网来确保存在性。但在许多具体应用中，序列足够。 正性 ：定义中要求每个 \( e_ \lambda \) 是 正元 （即 \( e_ \lambda = e_ \lambda^* \) 且谱在非负实轴上），并且网是单调递增的。这保证了近似单位元有很好的分析和序结构性质。 范数有界性 ：可以证明，任何一个近似单位元都满足 \(\| e_ \lambda \| \le 1\)。实际上，通常可以构造出满足 \(\| e_ \lambda \| < 1\) 的近似单位元。 第四步：近似单位元的存在性定理及其证明思路 一个基本而重要的定理是： 每一个C* -代数都包含一个近似单位元 。 证明思路概要 ： 构造候选集 ：令集合 \(\Lambda\) 由 \(\mathcal{A}\) 中所有有限个正元的凸组合构成，这些正元的范数小于1。按集合包含关系偏序化 \(\Lambda\)。 利用C* -代数的内部结构 ：对任意 \( a \in \mathcal{A} \)，考虑元素 \( (a^ a)^{1/2} \)。在由 \( a^ a \) 生成的交换C* -子代数中，可以构造一列多项式 \( p_ n(t) \)，使得 \( t p_ n(t) \) 在谱上一致收敛于 \( t \)。这给出了 \( (a^ a) p_ n(a^ a) \to a^* a \)。 组合与逼近 ：将上述对每个有限多个 \( a_ i \) 生成的结论组合起来，利用有向集的性质，可以构造出一个网 \(\{ e_ \lambda \}\)，使得对任意给定的有限集合 \( F \subset \mathcal{A} \) 和 \(\epsilon > 0\)，总存在某个 \( e_ \lambda \) 使得对所有 \( a \in F \) 有 \(\| e_ \lambda a - a \| < \epsilon\) 和 \(\| a e_ \lambda - a \| < \epsilon\)。 验证定义 ：最后需要验证这个网是递增的、由正元构成，并且满足全局的逼近性质。这需要用到C* -代数的演算和范数估计。 这个证明的核心在于 巧妙地利用C* -代数的正元锥结构和连续函数演算，将局部逼近“粘合”成一个全局的近似单位元网 。 第五步：近似单位元的关键性质与应用 近似单位元在C* -代数理论中扮演着核心角色，其主要应用包括： 单位化（Adjoining a Unit） ：任何无单位C* -代数 \(\mathcal{A}\)，可以通过添加一个单位元 \(\mathbf{1}\) 的方式，唯一地扩张成一个有单位元的C* -代数 \(\tilde{\mathcal{A}} = \mathcal{A} \oplus \mathbb{C} \mathbf{1}\)，并使 \(\mathcal{A}\) 成为 \(\tilde{\mathcal{A}}\) 的一个理想。近似单位元在证明 \(\mathcal{A}\) 在 \(\tilde{\mathcal{A}}\) 中的某些理想性质时起到关键作用。 正泛函的延拓 ：设 \(\phi: \mathcal{A} \to \mathbb{C}\) 是一个正线性泛函（即保持正性）。可以利用近似单位元 \(\{ e_ \lambda \}\) 证明 \(\phi\) 是有界的，且其范数等于 \(\lim_ \lambda \phi(e_ \lambda)\)。这是将正泛函从子代数延拓到整个代数的基础。 非退化表示 ：在C* -代数的表示理论中，一个表示 \((\pi, H)\) 称为非退化的，如果 \(\pi(\mathcal{A})H\) 在 \(H\) 中稠密。等价条件是：存在近似单位元 \(\{ e_ \lambda \}\) 使得 \(\pi(e_ \lambda) \xi \to \xi\) 对所有 \(\xi \in H\) 成立。这建立了近似单位元与表示的循环向量、循环子空间之间的深刻联系。 理想与商代数 ：如果一个C* -代数 \(\mathcal{A}\) 有一个闭理想 \(I\)，那么 \(I\) 本身也是一个C* -代数（无单位元），因此有自己的近似单位元。这个理想的近似单位元可以用来证明商代数 \(\mathcal{A}/I\) 仍然是C* -代数，并且在研究扩张问题时至关重要。 乘子代数（Multiplier Algebra） ：无单位C* -代数 \(\mathcal{A}\) 的乘子代数 \( M(\mathcal{A}) \) 可以看作 \(\mathcal{A}\) 在某种意义下的“最大”单位化。\(\mathcal{A}\) 在 \( M(\mathcal{A}) \) 中是“本质理想”，这意味着对任意 \( m \in M(\mathcal{A}) \)，有 \( m = \lim_ \lambda e_ \lambda m = \lim_ \lambda m e_ \lambda \)。这表明 \(\mathcal{A}\) 的近似单位元在 \( M(\mathcal{A}) \) 中收敛于单位元 \(1_ {M(\mathcal{A})}\)（在严格拓扑下）。 第六步：与已学概念的联系与升华 近似单位元是连接C* -代数 代数结构 、 序结构 和 拓扑结构 的一个纽带。 从 代数 角度看，它弥补了没有单位元的缺陷。 从 序结构 （正锥）看，它的构造依赖于正元。 从 拓扑 （范数收敛、严格拓扑）看，它提供了关键的逼近工具。 它使得许多在有单位元代数中成立的结论（如Gelfand-Naimark表示定理、正泛函的构造、谱理论等）可以推广到无单位元的情形。因此，近似单位元是深入研究更广泛的C* -代数（如与局部紧群相关的群C* -代数、与动力学相关的交叉积C* -代数）不可或缺的基本工具。它的存在性和性质深刻反映了C* -代数作为一种“非交换拓扑空间”的良好行为。