双线性型与二次型的坐标变换关系

字数 4704 2025-12-24 15:14:15

双线性型与二次型的坐标变换关系

好的，我们开始学习“双线性型与二次型的坐标变换关系”。这是一个连接线性代数、几何和二次曲面理论的重要概念。我会循序渐进地为您讲解。

第一步：回顾核心对象——双线性型与二次型

首先，我们需要清晰地定义两个基础对象。

双线性型：设 \(V\) 是一个定义在实数域 \(\mathbb{R}\)（或复数域 \(\mathbb{C}\)）上的向量空间。一个双线性型 \(B\) 是一个映射 \(B: V \times V \to \mathbb{R}\)，它满足对任意向量 \(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\) 和任意标量 \(a, b\)：

线性性（对第一个变量）：\(B(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w}) = aB(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + bB(\mathbf{v}, \mathbf{w})\)
线性性（对第二个变量）：\(B(\mathbf{w}, a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aB(\mathbf{w}, \mathbf{u}) + bB(\mathbf{w}, \mathbf{v})\)
简单说，它像两个向量的“乘法”，对每个变量单独都是线性的。例如，标准欧几里得内积 \(B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\) 就是一种对称的双线性型。

二次型：设 \(Q\) 是一个映射 \(Q: V \to \mathbb{R}\)。如果存在一个双线性型 \(B\)，使得对于所有 \(\mathbf{v} \in V\)，都有 \(Q(\mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{v})\)，那么我们称 \(Q\) 是一个二次型。

例如，\(Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2\) 是一个二元二次型。它可以由双线性型 \(B((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = ax_1x_2 + \frac{b}{2}(x_1y_2 + x_2y_1) + cy_1y_2\) 诱导得到。

关键联系：每个对称的双线性型都唯一确定一个二次型（\(Q(\mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{v})\)）。反之，每个二次型也唯一确定一个对称的双线性型（通过极化恒等式：\(B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}[Q(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - Q(\mathbf{u}) - Q(\mathbf{v})]\)）。因此，在实（复）数域上，研究对称双线性型与研究二次型本质上是等价的。

第二步：引入矩阵表示

为了进行具体计算，我们需要为向量空间 \(V\) 选定一个基底（坐标系）。假设 \(\dim(V) = n\)，选定一组基 \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n\}\)。任意向量 \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V\) 都可以表示为这组基的线性组合：

\[ \mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i, \quad \mathbf{y} = \sum_{j=1}^n y_j \mathbf{e}_j \]

其中 \(x_i, y_j\) 是坐标。

那么，双线性型 \(B(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) 可以计算为：

\[B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = B(\sum_i x_i \mathbf{e}_i, \sum_j y_j \mathbf{e}_j) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n x_i y_j B(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j) \]

定义矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素为 \(a_{ij} = B(\mathbf{e}_i, \mathbf{e}_j)\)。这个 \(n \times n\) 矩阵 \(A\) 被称为双线性型 \(B\) 在给定基底下的度量矩阵（或表示矩阵）。

用坐标列向量 \(X = (x_1, \dots, x_n)^T\) 和 \(Y = (y_1, \dots, y_n)^T\) 表示，我们有：

\[B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = X^T A Y \]

这是一个非常简洁的矩阵表达式。

对于二次型 \(Q(\mathbf{x}) = B(\mathbf{x}, \mathbf{x})\)，其矩阵表示为：

\[Q(\mathbf{x}) = X^T A X \]

注意：如果 \(B\) 是对称的（\(B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{u})\)），那么矩阵 \(A\) 是对称矩阵（\(A^T = A\)）。我们通常讨论的是对称的情形。

第三步：坐标变换的核心问题

现在进入主题：当我们改变基底（即坐标系）时，双线性型和二次型的矩阵表示会如何变化？

假设我们从旧基底 \(\{\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n\}\) 变换到一组新基底 \(\{\mathbf{e}‘_1, \dots, \mathbf{e}’_n\}\)。这两组基通过一个过渡矩阵 \(P\) 联系起来：新基向量可以用旧基向量的线性组合表示，具体地，矩阵 \(P = (p_{ij})\) 满足：

\[\mathbf{e}’_j = \sum_{i=1}^n p_{ij} \mathbf{e}_i, \quad \text{对于所有 } j = 1, \dots, n \]

注意这里的下标：\(p_{ij}\) 是新基的第 \(j\) 个向量在旧基的第 \(i\) 个向量上的坐标。

关键点在于：同一个向量 \(\mathbf{x}\) 在这两组基下的坐标是不同的。设其在旧基下的坐标列向量为 \(X\)，在新基下的坐标列向量为 \(X'\)。那么它们之间的关系是：

\[X = P X' \]

（这个公式可以这样理解：\(\mathbf{x} = \sum_i x_i \mathbf{e}_i = \sum_j x’_j \mathbf{e}‘_j = \sum_j x’_j (\sum_i p_{ij} \mathbf{e}_i) = \sum_i (\sum_j p_{ij} x’_j) \mathbf{e}_i\)，所以 \(x_i = \sum_j p_{ij} x‘_j\)，即 \(X = P X’\)）

第四步：推导矩阵的变换公式

设双线性型 \(B\) 在旧基底下的矩阵为 \(A\)（即 \(B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = X^T A Y\)），在新基底下的矩阵为 \(A'\)（即 \(B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (X‘)^T A’ Y'\)）。

由于双线性型的值 \(B(\mathbf{x}, \mathbf{y})\) 是一个几何量，它不依赖于坐标系的选择，所以：

\[X^T A Y = (X‘)^T A’ Y' \]

将坐标变换关系 \(X = P X‘\) 和 \(Y = P Y’\) 代入上式左边：

\[(P X‘)^T A (P Y’) = (X‘)^T (P^T A P) Y’ \]

由于这对任意坐标 \(X‘, Y’\) 都成立，比较两边，我们得到矩阵 \(A‘\) 必须满足：

\[A‘ = P^T A P \]

这就是双线性型（或二次型）的矩阵在坐标变换下的变换法则。

第五步：几何与代数意义

这个变换公式 \(A‘ = P^T A P\) 具有深刻的几何与代数意义：

合同变换：我们称矩阵 \(A\) 和 \(A‘\) 是合同的。合同关系是一种等价关系。它告诉我们，同一个双线性型（或二次型）在不同坐标系下的矩阵表示虽然不同，但它们通过一个可逆矩阵 \(P\) 以 \(P^T A P\) 的形式相联系。
不变量：在合同变换 \(A \to P^T A P\) 下，矩阵的某些性质保持不变，这些称为合同不变量。最重要的两个是：

矩阵的秩：\(\text{rank}(A’) = \text{rank}(A)\)。它反映了双线性型（二次型）的“退化”程度。
对称性：如果 \(A\) 对称，那么 \(A’\) 也对称。
（对于实对称矩阵）惯性指数：根据西尔维斯特惯性定理，实对称矩阵 \(A\) 通过合同变换化成的标准形中，正特征值的个数、负特征值的个数和零特征值的个数是唯一确定的。正个数称为正惯性指数，负个数称为负惯性指数，它们的差称为符号差。这些都是合同不变量。

几何应用——化简与分类：

主轴定理（谱定理）：对于一个实对称双线性型（或二次型），我们总可以找到一个正交变换（即 \(P\) 是正交矩阵，满足 \(P^T = P^{-1}\)），使得新的矩阵 \(A‘ = P^T A P\) 是一个对角矩阵。这个对角矩阵的对角线元素就是矩阵 \(A\) 的特征值。这个过程在几何上意味着我们旋转了坐标系，使其与二次型的主轴对齐。
例如，对于二次曲线 \(ax^2 + bxy + cy^2 = 1\)，通过正交变换消去交叉项 \(bxy\)，得到标准形式 \(\lambda_1 x‘^2 + \lambda_2 y’^2 = 1\)，从而可以立即判断它是椭圆、双曲线还是退化的。
更一般地，通过合同变换（不一定正交），我们可以将任何实二次型化为规范形，例如只包含平方项 \(d_1x_1‘^2 + d_2x_2’^2 + \dots + d_rx_r‘^2\)，或者更进一步化为标准形 \(x_1’^2 + \dots + x_p‘^2 - x_{p+1}’^2 - \dots - x_r‘^2\)，其中 \(p\) 就是正惯性指数。

总结：
双线性型与二次型的坐标变换关系 \(A‘ = P^T A P\) 是沟通其抽象定义与具体矩阵计算的桥梁。它揭示了在不同视角（坐标系）下，描述同一个几何对象（如二次曲面）的代数形式之间的内在联系。通过研究合同变换下的不变量（如秩、惯性指数），我们能够对二次型进行本质的分类，并找到最简洁的表达式，这是解析几何和微分几何中研究曲面局部形状（通过第二基本形式等）的基础工具。

双线性型与二次型的坐标变换关系好的，我们开始学习“双线性型与二次型的坐标变换关系”。这是一个连接线性代数、几何和二次曲面理论的重要概念。我会循序渐进地为您讲解。第一步：回顾核心对象——双线性型与二次型首先，我们需要清晰地定义两个基础对象。双线性型：设 \( V \) 是一个定义在实数域 \( \mathbb{R} \)（或复数域 \( \mathbb{C} \)）上的向量空间。一个双线性型 \( B \) 是一个映射 \( B: V \times V \to \mathbb{R} \)，它满足对任意向量 \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \) 和任意标量 \( a, b \)：线性性（对第一个变量）：\( B(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}, \mathbf{w}) = aB(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + bB(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \) 线性性（对第二个变量）：\( B(\mathbf{w}, a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aB(\mathbf{w}, \mathbf{u}) + bB(\mathbf{w}, \mathbf{v}) \) 简单说，它像两个向量的“乘法”，对每个变量单独都是线性的。例如，标准欧几里得内积 \( B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) 就是一种对称的双线性型。二次型：设 \( Q \) 是一个映射 \( Q: V \to \mathbb{R} \)。如果存在一个双线性型 \( B \)，使得对于所有 \( \mathbf{v} \in V \)，都有 \( Q(\mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \)，那么我们称 \( Q \) 是一个二次型。例如，\( Q(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 \) 是一个二元二次型。它可以由双线性型 \( B((x_ 1, y_ 1), (x_ 2, y_ 2)) = ax_ 1x_ 2 + \frac{b}{2}(x_ 1y_ 2 + x_ 2y_ 1) + cy_ 1y_ 2 \) 诱导得到。关键联系：每个对称的双线性型都唯一确定一个二次型（\( Q(\mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{v}) \)）。反之，每个二次型也唯一确定一个对称的双线性型（通过极化恒等式：\( B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}[ Q(\mathbf{u}+\mathbf{v}) - Q(\mathbf{u}) - Q(\mathbf{v}) ] \)）。因此，在实（复）数域上，研究对称双线性型与研究二次型本质上是等价的。第二步：引入矩阵表示为了进行具体计算，我们需要为向量空间 \( V \) 选定一个基底（坐标系）。假设 \( \dim(V) = n \)，选定一组基 \( \{\mathbf{e}_ 1, \mathbf{e}_ 2, \dots, \mathbf{e} n\} \)。任意向量 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V \) 都可以表示为这组基的线性组合： \[ \mathbf{x} = \sum {i=1}^n x_ i \mathbf{e} i, \quad \mathbf{y} = \sum {j=1}^n y_ j \mathbf{e}_ j \] 其中 \( x_ i, y_ j \) 是坐标。那么，双线性型 \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \) 可以计算为： \[ B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = B(\sum_ i x_ i \mathbf{e} i, \sum_ j y_ j \mathbf{e} j) = \sum {i=1}^n \sum {j=1}^n x_ i y_ j B(\mathbf{e}_ i, \mathbf{e} j) \] 定义矩阵 \( A \) 的第 \( i \) 行第 \( j \) 列元素为 \( a {ij} = B(\mathbf{e}_ i, \mathbf{e}_ j) \)。这个 \( n \times n \) 矩阵 \( A \) 被称为双线性型 \( B \) 在给定基底下的度量矩阵（或表示矩阵）。用坐标列向量 \( X = (x_ 1, \dots, x_ n)^T \) 和 \( Y = (y_ 1, \dots, y_ n)^T \) 表示，我们有： \[ B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = X^T A Y \] 这是一个非常简洁的矩阵表达式。对于二次型 \( Q(\mathbf{x}) = B(\mathbf{x}, \mathbf{x}) \)，其矩阵表示为： \[ Q(\mathbf{x}) = X^T A X \] 注意：如果 \( B \) 是对称的（\( B(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = B(\mathbf{v}, \mathbf{u}) \)），那么矩阵 \( A \) 是对称矩阵（\( A^T = A \)）。我们通常讨论的是对称的情形。第三步：坐标变换的核心问题现在进入主题：当我们改变基底（即坐标系）时，双线性型和二次型的矩阵表示会如何变化？假设我们从旧基底 \( \{\mathbf{e}_ 1, \dots, \mathbf{e}_ n\} \) 变换到一组新基底 \( \{\mathbf{e}‘ 1, \dots, \mathbf{e}’ n\} \)。这两组基通过一个过渡矩阵 \( P \) 联系起来：新基向量可以用旧基向量的线性组合表示，具体地，矩阵 \( P = (p {ij}) \) 满足： \[ \mathbf{e}’ j = \sum {i=1}^n p {ij} \mathbf{e} i, \quad \text{对于所有 } j = 1, \dots, n \] 注意这里的下标：\( p {ij} \) 是新基的第 \( j \) 个向量在旧基的第 \( i \) 个向量上的坐标。关键点在于：同一个向量 \( \mathbf{x} \) 在这两组基下的坐标是不同的。设其在旧基下的坐标列向量为 \( X \)，在新基下的坐标列向量为 \( X' \)。那么它们之间的关系是： \[ X = P X' \] （这个公式可以这样理解：\( \mathbf{x} = \sum_ i x_ i \mathbf{e}_ i = \sum_ j x’_ j \mathbf{e}‘_ j = \sum_ j x’ j (\sum_ i p {ij} \mathbf{e} i) = \sum_ i (\sum_ j p {ij} x’_ j) \mathbf{e} i \)，所以 \( x_ i = \sum_ j p {ij} x‘_ j \)，即 \( X = P X’ \)）第四步：推导矩阵的变换公式设双线性型 \( B \) 在旧基底下的矩阵为 \( A \)（即 \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = X^T A Y \)），在新基底下的矩阵为 \( A' \)（即 \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = (X‘)^T A’ Y' \)）。由于双线性型的值 \( B(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \) 是一个几何量，它不依赖于坐标系的选择，所以： \[ X^T A Y = (X‘)^T A’ Y' \] 将坐标变换关系 \( X = P X‘ \) 和 \( Y = P Y’ \) 代入上式左边： \[ (P X‘)^T A (P Y’) = (X‘)^T (P^T A P) Y’ \] 由于这对任意坐标 \( X‘, Y’ \) 都成立，比较两边，我们得到矩阵 \( A‘ \) 必须满足： \[ A‘ = P^T A P \] 这就是双线性型（或二次型）的矩阵在坐标变换下的变换法则。第五步：几何与代数意义这个变换公式 \( A‘ = P^T A P \) 具有深刻的几何与代数意义：合同变换：我们称矩阵 \( A \) 和 \( A‘ \) 是合同的。合同关系是一种等价关系。它告诉我们，同一个双线性型（或二次型）在不同坐标系下的矩阵表示虽然不同，但它们通过一个可逆矩阵 \( P \) 以 \( P^T A P \) 的形式相联系。不变量：在合同变换 \( A \to P^T A P \) 下，矩阵的某些性质保持不变，这些称为合同不变量。最重要的两个是：矩阵的秩：\( \text{rank}(A’) = \text{rank}(A) \)。它反映了双线性型（二次型）的“退化”程度。对称性：如果 \( A \) 对称，那么 \( A’ \) 也对称。（对于实对称矩阵）惯性指数：根据西尔维斯特惯性定理，实对称矩阵 \( A \) 通过合同变换化成的标准形中，正特征值的个数、负特征值的个数和零特征值的个数是唯一确定的。正个数称为正惯性指数，负个数称为负惯性指数，它们的差称为符号差。这些都是合同不变量。几何应用——化简与分类：主轴定理（谱定理）：对于一个实对称双线性型（或二次型），我们总可以找到一个正交变换（即 \( P \) 是正交矩阵，满足 \( P^T = P^{-1} \)），使得新的矩阵 \( A‘ = P^T A P \) 是一个对角矩阵。这个对角矩阵的对角线元素就是矩阵 \( A \) 的特征值。这个过程在几何上意味着我们旋转了坐标系，使其与二次型的主轴对齐。例如，对于二次曲线 \( ax^2 + bxy + cy^2 = 1 \)，通过正交变换消去交叉项 \( bxy \)，得到标准形式 \( \lambda_ 1 x‘^2 + \lambda_ 2 y’^2 = 1 \)，从而可以立即判断它是椭圆、双曲线还是退化的。更一般地，通过合同变换（不一定正交），我们可以将任何实二次型化为规范形，例如只包含平方项 \( d_ 1x_ 1‘^2 + d_ 2x_ 2’^2 + \dots + d_ rx_ r‘^2 \)，或者更进一步化为标准形 \( x_ 1’^2 + \dots + x_ p‘^2 - x_ {p+1}’^2 - \dots - x_ r‘^2 \)，其中 \( p \) 就是正惯性指数。总结：双线性型与二次型的坐标变换关系 \( A‘ = P^T A P \) 是沟通其抽象定义与具体矩阵计算的桥梁。它揭示了在不同视角（坐标系）下，描述同一个几何对象（如二次曲面）的代数形式之间的内在联系。通过研究合同变换下的不变量（如秩、惯性指数），我们能够对二次型进行本质的分类，并找到最简洁的表达式，这是解析几何和微分几何中研究曲面局部形状（通过第二基本形式等）的基础工具。