悬链曲面
我们从一个日常生活中常见的物理现象开始：想象一条柔软、均匀且不可伸长的链条（或绳索），两端固定在同一水平高度，链条在自身重力作用下自然下垂形成的曲线，称为悬链线（catenary）。其标准方程（以最低点为顶点，y轴为对称轴）为：
\[y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}(e^{x/a} + e^{-x/a}) \]
其中 \(a\) 为常数，与链条的线密度和水平张力有关，\(\cosh\) 是双曲余弦函数。
现在，我们将这条平面曲线绕其水平基线（即两端固定点所在的直线，x轴）旋转一周，所生成的旋转曲面，便称为悬链曲面（catenoid）。
设悬链线方程为 \(y = a \cosh(x/a)\)，将其绕 x 轴旋转，则曲面上任意点 \((x, y, z)\) 满足：
\[y^2 + z^2 = \left[a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\right]^2 \]
这即是悬链曲面的隐式方程。
我们可以用参数方程更清晰地描述其几何。令：
\[\begin{cases} x = u, \\ y = a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v, \\ z = a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v, \end{cases} \]
其中 \(u \in \mathbb{R}\) 为母线（悬链线）的轴向参数，\(v \in [0, 2\pi)\) 为旋转角参数。
这样，当 \(v\) 固定时，\((x, y, z)\) 描绘出一条悬链线；当 \(u\) 固定时，描绘出一个半径为 \(a \cosh(u/a)\) 的圆（平行于 \(y-z\) 平面的截面圆）。
接下来，我们分析悬链曲面的微分几何性质。
首先计算第一基本形式（度量）：
\[\begin{aligned} \mathbf{r}_u &= \left(1, \sinh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v, \sinh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v\right), \\ \mathbf{r}_v &= \left(0, -a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v, a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v\right). \end{aligned} \]
于是：
\[E = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_u = 1 + \sinh^2\left(\frac{u}{a}\right) = \cosh^2\left(\frac{u}{a}\right), \quad F = \mathbf{r}_u \cdot \mathbf{r}_v = 0, \quad G = \mathbf{r}_v \cdot \mathbf{r}_v = a^2 \cosh^2\left(\frac{u}{a}\right). \]
所以第一基本形式为：
\[\mathrm{I} = \cosh^2\left(\frac{u}{a}\right) du^2 + a^2 \cosh^2\left(\frac{u}{a}\right) dv^2. \]
注意 \(F=0\)，说明参数曲线网是正交的（u-曲线为悬链线，v-曲线为纬圆）。
计算第二基本形式，需要先求单位法向量。
由 \(\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v = \left( a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \sinh\left(\frac{u}{a}\right), -a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v, -a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v \right)\)，
其模长为：
\[|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| = a \cosh^2\left(\frac{u}{a}\right). \]
故单位法向量：
\[\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|} = \left( \tanh\left(\frac{u}{a}\right), -\frac{\cos v}{\cosh(u/a)}, -\frac{\sin v}{\cosh(u/a)} \right). \]
然后计算二阶偏导：
\[\begin{aligned} \mathbf{r}_{uu} &= \left(0, \frac{1}{a} \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v, \frac{1}{a} \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v\right), \\ \mathbf{r}_{uv} &= \left(0, -\sinh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v, \sinh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v\right), \\ \mathbf{r}_{vv} &= \left(0, -a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \cos v, -a \cosh\left(\frac{u}{a}\right) \sin v\right). \end{aligned} \]
于是第二基本形式的系数：
\[L = \mathbf{r}_{uu} \cdot \mathbf{n} = -\frac{1}{a}, \quad M = \mathbf{r}_{uv} \cdot \mathbf{n} = 0, \quad N = \mathbf{r}_{vv} \cdot \mathbf{n} = a. \]
因此：
\[\mathrm{II} = -\frac{1}{a} du^2 + a dv^2. \]
由第一、第二基本形式，可计算主曲率。因为 \(F = M = 0\)，参数曲线网即为曲率线网（u-线和v-线均为主方向）。
两个主曲率分别为沿 u-线方向和 v-线方向的法曲率：
\[\kappa_1 = \frac{L}{E} = \frac{-1/a}{\cosh^2(u/a)} = -\frac{1}{a \cosh^2(u/a)}, \quad \kappa_2 = \frac{N}{G} = \frac{a}{a^2 \cosh^2(u/a)} = \frac{1}{a \cosh^2(u/a)}. \]
由此可得：
- 高斯曲率：
\[K = \kappa_1 \kappa_2 = -\frac{1}{a^2 \cosh^4(u/a)} < 0. \]
这表明悬链曲面是负常高斯曲率曲面吗？不，注意 \(K\) 依赖于 \(u\)，非常数。实际上，除了特殊的常数平均曲率性质外，其高斯曲率处处为负，且随 \(|u|\) 增大而迅速趋近于0。
2. 平均曲率：
\[H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = 0. \]
这一结果是关键：悬链曲面是平均曲率为零的曲面，即它是极小曲面。
极小曲面（\(H \equiv 0\)）在物理上对应皂膜在给定边界条件下由于表面张力所呈现的形状（面积最小）。悬链曲面是最早被发现的非平凡极小曲面之一（欧拉，1744年）。
有趣的是，悬链曲面与螺旋面（helicoid）是等距的（可通过弯曲而不拉伸变换得到），这体现了“共形等价”与“极小”之间的深刻联系（伯恩斯坦定理的特例）。
最后，从物理视角看：若将两个同心圆环作为边界（平行放置，圆心连线垂直于圆平面），浸入皂液后形成的皂膜正是悬链曲面的一段。当两圆环逐渐拉开，悬链曲面段会变窄，最终在某个临界距离破裂——这与其稳定性（是否为稳定极小曲面）相关，涉及第二变分与雅可比场分析，这里不再深入。
总结一下，我们从悬链线出发，通过旋转得到悬链曲面，逐步计算了其第一、第二基本形式、主曲率、高斯曲率与平均曲率，并揭示了其作为极小曲面的核心几何特征。