卡拉西奥多里定理 引言：从可测集到外测度 在实变函数中，我们首先定义了勒贝格可测集。一个核心问题是：我们能否不依赖于拓扑（开集、闭集）概念，而是通过一个更“纯粹”的集合函数来刻画可测性？卡拉西奥多里定理给出了肯定的回答。它表明，可测集可以通过一个称为“外测度”的函数来定义。 外测度的定义 设 \( X \) 是一个基本集合。一个函数 \( \mu^* : \mathcal{P}(X) \to [ 0, \infty] \)（其中 \( \mathcal{P}(X) \) 是 \( X \) 的幂集）称为一个 外测度 ，如果它满足： (非负性) \( \mu^* (\emptyset) = 0 \)。 (单调性) 如果 \( A \subset B \subset X \)，那么 \( \mu^ (A) \le \mu^ (B) \)。 (次可数可加性) 对于 \( X \) 的任意一列子集 \( \{A_ n\} {n=1}^{\infty} \)，有 \( \mu^* (\bigcup {n=1}^{\infty} A_ n) \le \sum_ {n=1}^{\infty} \mu^* (A_ n) \)。 勒贝格外测度就是 \( \mathbb{R}^n \) 上一个最重要的外测度例子。 卡拉西奥多里可测性 给定一个外测度 \( \mu^* \)，我们如何定义“好”的集合（即可测集）呢？卡拉西奥多里提出了一个精妙的准则： 一个集合 \( E \subset X \) 被称为是 \( \mu^* \)-可测的 ，如果对于任意集合 \( A \subset X \)，都有以下“可加性”成立： \[ \mu^ (A) = \mu^ (A \cap E) + \mu^* (A \cap E^c) \] 其中 \( E^c = X \setminus E \)。 这个条件的直观解释是：集合 \( E \) 能够像一把“完美的刀”一样，将任何测试集 \( A \) 干净地切成两部分（\( A \cap E \) 和 \( A \cap E^c \)），并且这两部分的“大小”（外测度）之和恰好等于整个 \( A \) 的“大小”。这保证了集合 \( E \) 的边界是“规则”的，不会导致不可加性。 卡拉西奥多里定理的内容 现在我们可以陈述这个核心定理： 设 \( \mu^* \) 是 \( X \) 上的一个外测度。记 \( \mathcal{M} \) 为所有 \( \mu^* \)-可测集组成的集合族。那么： a) \( \mathcal{M} \) 是一个 \( \sigma \)-代数（即对可数并、可数交和取补集封闭）。 b) 将 \( \mu^* \) 限制在 \( \mathcal{M} \) 上，记作 \( \mu = \mu^* |_ {\mathcal{M}} \)，则 \( \mu \) 是一个完备的测度。这里的“完备”是指：如果 \( \mu(E) = 0 \) 且 \( F \subset E \)，那么 \( F \in \mathcal{M} \)（且自然有 \( \mu(F) = 0 \)）。 换句话说， 任何一个外测度，都按照卡拉西奥多里准则，自然地诱导出一个定义在 \( \sigma \)-代数上的完备测度空间 \( (X, \mathcal{M}, \mu) \)。 与勒贝格测度的联系 这个定理的伟大之处在于它的普适性。当我们取 \( X = \mathbb{R}^n \)，\( \mu^* \) 为勒贝格外测度时，通过卡拉西奥多里准则所定义的 \( \mu^* \)-可测集族 \( \mathcal{M} \)，恰好就是我们在实变函数中学习的 勒贝格可测集族 。而诱导出的测度 \( \mu \) 就是勒贝格测度。 因此，卡拉西奥多里定理为我们构建勒贝格测度提供了一条不依赖于开集、闭集等拓扑概念的替代途径，这条途径更抽象、也更一般化，可以应用于构建其他各种测度。 总结 卡拉西奥多里定理是测度论的理论基石。它将可测性的概念从具体的几何（如区间、开集）中解放出来，将其建立在外测度这一更基本的集合函数之上。这一定义方式保证了所生成的测度具有良好的可加性，并且为使用“Carathéodory扩张定理”从半环上的预测度构造出完整的测度提供了关键工具。