广义测度（Signed Measure）
字数 3773 2025-12-24 12:56:11

广义测度（Signed Measure）

我来为您循序渐进地讲解实变函数中“广义测度”（亦称“符号测度”）这一重要概念。

第一步：基本动机——为什么需要广义测度？

在经典测度论中，测度是一个非负、可列可加的集函数。然而，在分析学、概率论和物理中，我们常常需要处理那些取值可正可负的“测度”。例如：

  1. 两个测度的差（如 \(\mu = \mu_1 - \mu_2\)）。
  2. 电荷分布（可正可负）。
  3. 概率论中的“有号测度”可以描述“净变化”。
    因此，我们需要将测度的定义进行推广，允许其取值于整个实数范围（但排除 \(\pm \infty\) 同时出现），这就是广义测度的由来。

第二步：严格定义

设 \((X, \mathcal{F})\) 是一个可测空间。一个函数 \(\nu: \mathcal{F} \to [-\infty, +\infty]\) 称为一个广义测度（符号测度），如果它满足以下两个条件：

  1. 零空集性：\(\nu(\varnothing) = 0\)。
  2. 可列可加性：对于任意可数个两两不交的集合 \(\{E_i\}_{i=1}^\infty \subset \mathcal{F}\)，有

\[ \nu\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \nu(E_i) \]

并且这个级数必须绝对收敛，即 \(\sum_{i=1}^\infty |\nu(E_i)| < \infty\)，无论其并集的顺序如何。

关键点：

  • 取值范围： \(\nu\) 可以取 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)，但不能同时取二者（即不能在一个集合上取 \(+\infty\)，在另一个集合上取 \(-\infty\)）。这是为了避免出现“\(\infty - \infty\)”的不定型。
  • 绝对收敛要求：这是与普通测度最核心的区别。它确保了级数的和与求和顺序无关，从而保证定义良好。它暗示了广义测度不能“无限制地振荡”。

第三步：一个简单例子——测度的差

设 \(\mu_1\) 和 \(\mu_2\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的两个（正）有限测度（即 \(\mu_i(X) < \infty\)）。定义 \(\nu(E) = \mu_1(E) - \mu_2(E)\)。

  • 验证：\(\nu(\varnothing) = 0\)。对于两两不交的 \(\{E_i\}\)，

\[ \nu(\bigcup E_i) = \mu_1(\bigcup E_i) - \mu_2(\bigcup E_i) = \sum \mu_1(E_i) - \sum \mu_2(E_i) = \sum [\mu_1(E_i) - \mu_2(E_i)] = \sum \nu(E_i)。 \]

因为 \(\sum \mu_1(E_i) = \mu_1(\bigcup E_i) < \infty\) 和 \(\sum \mu_2(E_i) = \mu_2(\bigcup E_i) < \infty\) 都是有限数，所以它们的差构成的级数是绝对收敛的。
这个例子表明，有限测度的线性组合（系数为实数）是一个广义测度。

第四步：广义测度的基本性质

  1. 有限性：广义测度 \(\nu\) 不能同时取 \(+\infty\) 和 \(-\infty\)。它至少在一个方向上是有界的。通常我们假设 \(\nu\) 不取 \(-\infty\)（或通过对称性，不取 \(+\infty\)），这样可以简化讨论。
  2. 连续性：与正测度类似，广义测度也具有从下连续性和从上连续性。
  • 若 \(E_n \uparrow E\)，则 \(\nu(E) = \lim_{n\to\infty} \nu(E_n)\)。
  • 若 \(E_n \downarrow E\) 且 \(|\nu(E_1)| < \infty\)，则 \(\nu(E) = \lim_{n\to\infty} \nu(E_n)\)。
  1. 有限可加性：是显然的（可列可加性的特例）。

第五步：核心分解——哈恩分解 (Hahn Decomposition)

这是研究广义测度的第一个关键定理。

  • 核心思想：能否将整个空间 \(X\) 分成两个互不相交的可测集 \(P\)（“正部”）和 \(N\)（“负部”），使得 \(\nu\) 在 \(P\) 的任意子集上非负，在 \(N\) 的任意子集上非正？
  • 哈恩分解定理：对于任何广义测度 \(\nu\)，存在一个哈恩分解 \((P, N)\)，即 \(X = P \cup N\)， \(P \cap N = \varnothing\)，且
  • 对所有 \(A \in \mathcal{F}\)，当 \(A \subset P\) 时，\(\nu(A) \ge 0\)（\(\nu\) 在 \(P\) 上的限制是一个正测度）。
  • 对所有 \(A \in \mathcal{F}\)，当 \(A \subset N\) 时，\(\nu(A) \le 0\)（\(\nu\) 在 \(N\) 上的限制是一个负测度）。
  • 说明：哈恩分解不是唯一的，但它是“几乎唯一”的：如果 \((P_1, N_1)\) 和 \((P_2, N_2)\) 是两个哈恩分解，那么对于任意可测集 \(A \subset (P_1 \triangle P_2)\)（对称差），有 \(\nu(A) = 0\)。也就是说，正部和负部在“\(\nu\)-零测集”的意义下是唯一的。

第六步：核心分解——若尔当分解 (Jordan Decomposition)

利用哈恩分解，我们可以将广义测度表示为两个正测度的差。

  • 构造：给定哈恩分解 \((P, N)\)，定义两个正测度 \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 如下：

\[ \nu^+(E) := \nu(E \cap P) \quad \text{(正变差)} \]

\[ \nu^-(E) := -\nu(E \cap N) \quad \text{(负变差)} \]

容易验证 \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 都是（正）测度，并且对于任何可测集 \(E\)，有

\[ \nu(E) = \nu^+(E) - \nu^-(E)。 \]

这个表达式称为**若尔当分解**。
  • 意义：它告诉我们，任何广义测度本质上就是两个正测度的差。这为研究广义测度的积分、收敛性等提供了基础，因为我们可以将其转化为对正测度的研究。

第七步：全变差测度 (Total Variation Measure)

为了衡量广义测度的“大小”，我们引入一个非负测度。

  • 定义：对于广义测度 \(\nu\)，其全变差测度 \(|\nu|\) 定义为：

\[ |\nu|(E) := \nu^+(E) + \nu^-(E)。 \]

  • 直观解释：\(|\nu|(E)\) 衡量了 \(\nu\) 在集合 \(E\) 上取值的“总振荡”或“总变化量”。它是一个正测度。
  • 重要等式：\(|\nu|(E) = \sup \sum_{i=1}^n |\nu(E_i)|\)，其中上确界取遍 \(E\) 的所有有限可测分割 \(\{E_1, ..., E_n\}\)。这个等式给出了全变差更本质的定义，也解释了其名称的由来。

第八步：广义测度的积分

一旦有了若尔当分解，我们就可以定义关于广义测度的积分。

  • 定义：设 \(f\) 是一个关于 \(|\nu|\) 可积的函数（即 \(\int |f| d|\nu| < \infty\)），则定义 \(f\) 关于 \(\nu\) 的积分为：

\[ \int f d\nu := \int f d\nu^+ - \int f d\nu^-。 \]

  • 性质：
  • 线性：\(\int (af + bg) d\nu = a\int f d\nu + b\int g d\nu\)。
  • 三角不等式：\(\left| \int f d\nu \right| \le \int |f| d|\nu|\)。

总结与联系

广义测度是经典（正）测度的自然推广，它允许取负值，但通过绝对收敛性和不取双无穷来保证良好的数学性质。其核心结构由两个定理揭示：

  1. 哈恩分解：从集合的角度将空间划分为“正区域”和“负区域”。
  2. 若尔当分解：\(\nu = \nu^+ - \nu^-\)，将广义测度分解为两个正测度的差。
  3. 全变差测度：\(|\nu| = \nu^+ + \nu^-\)，提供了一个衡量广义测度大小的正测度。

这个概念是通向更高级定理（如拉东-尼科迪姆定理、勒贝格分解定理对于广义测度的版本）的基石，并且在泛函分析（里斯表示定理）、概率论（条件期望的测度论定义）、微分方程（弱解理论）中有着根本性的应用。通过理解广义测度，您就掌握了分析带符号“质量”或“电荷”分布的数学语言。

广义测度（Signed Measure） 我来为您循序渐进地讲解实变函数中“广义测度”（亦称“符号测度”）这一重要概念。 第一步：基本动机——为什么需要广义测度？ 在经典测度论中，测度是一个非负、可列可加的集函数。然而，在分析学、概率论和物理中，我们常常需要处理那些取值可正可负的“测度”。例如： 两个测度的差（如 \(\mu = \mu_ 1 - \mu_ 2\)）。 电荷分布（可正可负）。 概率论中的“有号测度”可以描述“净变化”。 因此，我们需要将测度的定义进行推广，允许其取值于整个实数范围（但排除 \(\pm \infty\) 同时出现），这就是广义测度的由来。 第二步：严格定义 设 \((X, \mathcal{F})\) 是一个可测空间。一个函数 \(\nu: \mathcal{F} \to [ -\infty, +\infty]\) 称为一个 广义测度 （符号测度），如果它满足以下两个条件： 零空集性 ：\(\nu(\varnothing) = 0\)。 可列可加性 ：对于任意可数个两两不交的集合 \(\{E_ i\} {i=1}^\infty \subset \mathcal{F}\)，有 \[ \nu\left( \bigcup {i=1}^{\infty} E_ i \right) = \sum_ {i=1}^{\infty} \nu(E_ i) \] 并且这个级数必须 绝对收敛 ，即 \(\sum_ {i=1}^\infty |\nu(E_ i)| < \infty\)，无论其并集的顺序如何。 关键点 ： 取值范围： \(\nu\) 可以取 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)，但 不能同时取二者 （即不能在一个集合上取 \(+\infty\)，在另一个集合上取 \(-\infty\)）。这是为了避免出现“\(\infty - \infty\)”的不定型。 绝对收敛要求 ：这是与普通测度最核心的区别。它确保了级数的和与求和顺序无关，从而保证定义良好。它暗示了广义测度不能“无限制地振荡”。 第三步：一个简单例子——测度的差 设 \(\mu_ 1\) 和 \(\mu_ 2\) 是 \((X, \mathcal{F})\) 上的两个（正）有限测度（即 \(\mu_ i(X) < \infty\)）。定义 \(\nu(E) = \mu_ 1(E) - \mu_ 2(E)\)。 验证：\(\nu(\varnothing) = 0\)。对于两两不交的 \(\{E_ i\}\)， \[ \nu(\bigcup E_ i) = \mu_ 1(\bigcup E_ i) - \mu_ 2(\bigcup E_ i) = \sum \mu_ 1(E_ i) - \sum \mu_ 2(E_ i) = \sum [ \mu_ 1(E_ i) - \mu_ 2(E_ i)] = \sum \nu(E_ i)。 \] 因为 \(\sum \mu_ 1(E_ i) = \mu_ 1(\bigcup E_ i) < \infty\) 和 \(\sum \mu_ 2(E_ i) = \mu_ 2(\bigcup E_ i) < \infty\) 都是有限数，所以它们的差构成的级数是绝对收敛的。 这个例子表明，有限测度的线性组合（系数为实数）是一个广义测度。 第四步：广义测度的基本性质 有限性 ：广义测度 \(\nu\) 不能同时取 \(+\infty\) 和 \(-\infty\)。它至少在一个方向上是有界的。通常我们假设 \(\nu\) 不取 \(-\infty\)（或通过对称性，不取 \(+\infty\)），这样可以简化讨论。 连续性 ：与正测度类似，广义测度也具有从下连续性和从上连续性。 若 \(E_ n \uparrow E\)，则 \(\nu(E) = \lim_ {n\to\infty} \nu(E_ n)\)。 若 \(E_ n \downarrow E\) 且 \(|\nu(E_ 1)| < \infty\)，则 \(\nu(E) = \lim_ {n\to\infty} \nu(E_ n)\)。 有限可加性 ：是显然的（可列可加性的特例）。 第五步：核心分解——哈恩分解 (Hahn Decomposition) 这是研究广义测度的第一个关键定理。 核心思想 ：能否将整个空间 \(X\) 分成两个互不相交的可测集 \(P\)（“正部”）和 \(N\)（“负部”），使得 \(\nu\) 在 \(P\) 的任意子集上非负，在 \(N\) 的任意子集上非正？ 哈恩分解定理 ：对于任何广义测度 \(\nu\)，存在一个 哈恩分解 \((P, N)\)，即 \(X = P \cup N\)， \(P \cap N = \varnothing\)，且 对所有 \(A \in \mathcal{F}\)，当 \(A \subset P\) 时，\(\nu(A) \ge 0\)（\(\nu\) 在 \(P\) 上的限制是一个正测度）。 对所有 \(A \in \mathcal{F}\)，当 \(A \subset N\) 时，\(\nu(A) \le 0\)（\(\nu\) 在 \(N\) 上的限制是一个负测度）。 说明 ：哈恩分解 不是唯一 的，但它是“几乎唯一”的：如果 \((P_ 1, N_ 1)\) 和 \((P_ 2, N_ 2)\) 是两个哈恩分解，那么对于任意可测集 \(A \subset (P_ 1 \triangle P_ 2)\)（对称差），有 \(\nu(A) = 0\)。也就是说，正部和负部在“\(\nu\)-零测集”的意义下是唯一的。 第六步：核心分解——若尔当分解 (Jordan Decomposition) 利用哈恩分解，我们可以将广义测度表示为两个正测度的差。 构造 ：给定哈恩分解 \((P, N)\)，定义两个正测度 \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 如下： \[ \nu^+(E) := \nu(E \cap P) \quad \text{(正变差)} \] \[ \nu^-(E) := -\nu(E \cap N) \quad \text{(负变差)} \] 容易验证 \(\nu^+\) 和 \(\nu^-\) 都是（正）测度，并且对于任何可测集 \(E\)，有 \[ \nu(E) = \nu^+(E) - \nu^-(E)。 \] 这个表达式称为 若尔当分解 。 意义 ：它告诉我们，任何广义测度本质上就是两个正测度的差。这为研究广义测度的积分、收敛性等提供了基础，因为我们可以将其转化为对正测度的研究。 第七步：全变差测度 (Total Variation Measure) 为了衡量广义测度的“大小”，我们引入一个非负测度。 定义 ：对于广义测度 \(\nu\)，其 全变差测度 \(|\nu|\) 定义为： \[ |\nu|(E) := \nu^+(E) + \nu^-(E)。 \] 直观解释 ：\(|\nu|(E)\) 衡量了 \(\nu\) 在集合 \(E\) 上取值的“总振荡”或“总变化量”。它是一个正测度。 重要等式 ：\(|\nu|(E) = \sup \sum_ {i=1}^n |\nu(E_ i)|\)，其中上确界取遍 \(E\) 的所有有限可测分割 \(\{E_ 1, ..., E_ n\}\)。这个等式给出了全变差更本质的定义，也解释了其名称的由来。 第八步：广义测度的积分 一旦有了若尔当分解，我们就可以定义关于广义测度的积分。 定义 ：设 \(f\) 是一个关于 \(|\nu|\) 可积的函数（即 \(\int |f| d|\nu| < \infty\)），则定义 \(f\) 关于 \(\nu\) 的积分为： \[ \int f d\nu := \int f d\nu^+ - \int f d\nu^-。 \] 性质 ： 线性：\(\int (af + bg) d\nu = a\int f d\nu + b\int g d\nu\)。 三角不等式：\(\left| \int f d\nu \right| \le \int |f| d|\nu|\)。 总结与联系 广义测度 是经典（正）测度的自然推广，它允许取负值，但通过 绝对收敛性 和 不取双无穷 来保证良好的数学性质。其核心结构由两个定理揭示： 哈恩分解 ：从集合的角度将空间划分为“正区域”和“负区域”。 若尔当分解 ：\(\nu = \nu^+ - \nu^-\)，将广义测度分解为两个正测度的差。 全变差测度 ：\(|\nu| = \nu^+ + \nu^-\)，提供了一个衡量广义测度大小的正测度。 这个概念是通向更高级定理（如 拉东-尼科迪姆定理 、 勒贝格分解定理 对于广义测度的版本）的基石，并且在泛函分析（里斯表示定理）、概率论（条件期望的测度论定义）、微分方程（弱解理论）中有着根本性的应用。通过理解广义测度，您就掌握了分析带符号“质量”或“电荷”分布的数学语言。