里斯定理 背景与动机 在实变函数论中，我们经常关心函数序列的极限行为与积分运算的交换性问题。例如，若一列函数逐点收敛，其积分是否收敛到极限函数的积分？勒贝格控制收敛定理解决了在存在可积控制函数情况下的问题，但若没有控制函数，积分与极限的交换可能失败。里斯定理揭示了在更弱的条件下（仅假设函数列本身可积），仍能保证某种收敛子列的存在性。 定理的预备概念 等度绝对连续性 ：一族函数 \(\{f_ n\}\) 的积分在集合 \(E\) 上是等度绝对连续的，若对任意 \(\epsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意可测集 \(A \subset E\) 满足 \(m(A) < \delta\)，有 \(\sup_ n \int_ A |f_ n| \, dm < \epsilon\)。 紧支撑 ：函数在某个有界集外恒为零，此时积分区域可视为有限测度空间。 依测度收敛 ：函数列 \(\{f_ n\}\) 依测度收敛到 \(f\)，若对任意 \(\epsilon > 0\)，有 \(\lim_ {n \to \infty} m(\{x: |f_ n(x) - f(x)| \geq \epsilon\}) = 0\)。 里斯定理的表述 设 \(\{f_ n\}\) 是勒贝格可测集 \(E \subset \mathbb{R}^d\) 上的一列可积函数，且满足： (1) 积分有界性 ：\(\sup_ n \int_ E |f_ n| \, dm < \infty\)； (2) 等度绝对连续性 （对 \(E\) 有限测度的情况可自动推出）。 则存在子列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 和可积函数 \(f\)，使得 \(\{f_ {n_ k}\}\) 在 \(E\) 上依测度收敛于 \(f\)。若 \(E\) 的测度无限，需显式要求等度绝对连续性。 定理的深层意义 它将函数列的“弱紧性”与积分的等度绝对连续性联系起来，是泛函分析中 \(L^1\) 空间弱序列紧性的雏形。 定理不要求函数列逐点收敛，而是通过子列选取保证依测度收敛，这在实际分析中（如偏微分方程的解的存在性证明）有重要应用。 与勒贝格控制收敛定理的关系 若存在可积控制函数，勒贝格定理直接保证积分与极限交换；而里斯定理适用于更一般的无界函数列，但结论较弱（仅得到依测度收敛的子列）。两者共同构成了处理极限与积分交换问题的核心工具。