模的纯内射分解
字数 3472 2025-12-24 10:06:21

模的纯内射分解

我们先从“模”和“分解”这两个基本概念开始，逐步深入到“纯内射分解”这个专门的同调代数构造。

第一步：模、子模与正合序列的基础

  1. 模 (Module)： 这是核心对象。粗略地说，对于一个固定的环 \(R\)，一个 \(R\)-模 \(M\) 是一个配备了与 \(R\) 中元素进行“数乘”运算的加法交换群。向量空间是当 \(R\) 为域时的特殊模。
  2. 子模与商模 (Submodule and Quotient Module)： 模 \(M\) 的一个加法子群 \(N\)，如果在 \(R\)-作用下仍然封闭，则称为子模。商群 \(M/N\) 上可以自然地定义 \(R\)-作用，使其成为一个商模。
  3. 正合序列 (Exact Sequence)： 一串模同态 \(\cdots \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to \cdots\) 称为在 \(B\) 处正合，如果 \(\text{Im}(f) = \text{Ker}(g)\)。如果序列在每一处都正合，则称其为一个正合序列。短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 表示 \(A\) 是 \(B\) 的子模，且 \(C\) 同构于商模 \(B/A\)。

第二步：投射模、内射模与分解

  1. 投射模 (Projective Module)： 一个模 \(P\) 称为投射模，如果对于任意满同态 \(f: M \to N\) 和同态 \(h: P \to N\)，总存在一个同态 \(\tilde{h}: P \to M\) 使得 \(f \circ \tilde{h} = h\)。直观上，从 \(P\) 出发的同态可以“提升”过满同态。
  2. 内射模 (Injective Module)： 对偶地，一个模 \(E\) 称为内射模，如果对于任意单同态 \(f: L \to M\) 和同态 \(h: L \to E\)，总存在一个同态 \(\tilde{h}: M \to E\) 使得 \(\tilde{h} \circ f = h\)。直观上，到 \(E\) 的同态可以“延拓”过单同态。
  3. 分解 (Resolution)： 给定一个模 \(M\)，一个投射分解是一列投射模 \(P_i\) 构成的正合序列：\(\cdots \to P_2 \to P_1 \to P_0 \to M \to 0\)。对偶地，一个内射分解是一列内射模 \(E^i\) 构成的正合序列：\(0 \to M \to E^0 \to E^1 \to E^2 \to \cdots\)。分解的作用是将对任意模的研究，转化为对具有良好性质（投射性或内射性）的模的研究，这是同调代数的核心思想。

第三步：纯子模、纯正合序列与纯内射模

  1. 纯子模与纯正合序列 (Pure Submodule and Pure Exact Sequence)： 这是“纯”性的核心。一个子模 \(A\) 称为模 \(B\) 的纯子模，如果对于任意 \(R\)-模 \(X\)，自然同态 \(X \otimes_R A \to X \otimes_R B\) 是单射。等价地，短正合序列 \(0 \to A \to B \to C \to 0\) 称为纯正合的，如果它对任意模 \(X\) 做张量积 \(X \otimes_R -\) 后得到的序列仍然是正合的（实际上张量积总是右正合的，所以关键是保持左边“单”性）。纯子模比一般子模更强，但比直和项弱。例如，自由模的任意子模是纯的，但不一定是直和项。
  2. 纯内射模 (Purely Injective Module)： 一个模 \(E\) 称为纯内射模（有时也称为 \(\aleph_0\)-内射模或可数内射模），如果它满足内射模的泛性质，但仅针对纯正合序列。即：对于任意纯正合序列 \(0 \to L \to M\) 和任意同态 \(h: L \to E\)，都存在同态 \(\tilde{h}: M \to E\) 使得限制在 \(L\) 上等于 \(h\)。换句话说，纯内射模是相对于纯正合序列的“内射对象”。每个内射模都是纯内射模，但反之不成立。

第四步：纯内射分解的定义与存在性

  1. 纯内射分解 (Pure Injective Resolution)： 给定一个模 \(M\)，它的一个纯内射分解是一个长正合序列：\(0 \to M \to PE^0 \to PE^1 \to PE^2 \to \cdots\)，其中每一个 \(PE^i\) 都是纯内射模。注意，第一个箭头 \(M \to PE^0\) 必须是单同态，并且整个序列是正合的。
  2. 存在性 (Existence)： 在同调代数中，要构造某种分解，通常需要相应的“覆盖”或“包络”存在。对于纯内射模，有一个关键定理：每一个模 \(M\) 都有一个纯内射包络 (Pure Injective Envelope)。纯内射包络是一个单同态 \(u: M \to PE(M)\)，其中 \(PE(M)\) 是纯内射模，并且满足一个极小性/本质性条件：从 \(PE(M)\) 到任意包含 \(M\) 的纯内射模的、限制在 \(M\) 上是恒等的同态，必须是一个同构。利用这个包络，我们可以迭代构造：
  • 令 \(PE^0 := PE(M)\)。
  • 对 \(PE^0\) 的余核 \(C^0 := \text{Coker}(M \to PE^0)\) 取纯内射包络，得到 \(d^0: C^0 \to PE^1\)。
  • 定义 \(d^0: PE^0 \to PE^1\) 为复合映射 \(PE^0 \twoheadrightarrow C^0 \xrightarrow{d^0} PE^1\)。
  • 重复这个过程，得到正合序列 \(0 \to M \to PE^0 \xrightarrow{d^0} PE^1 \xrightarrow{d^1} PE^2 \to \cdots\)，这就是 \(M\) 的一个纯内射分解。

第五步：纯内射分解的应用与意义

  1. 纯导出函子 (Pure Derived Functors)： 类似于用内射分解定义右导出函子（如 \(\text{Ext}^n\)），用投射分解定义左导出函子（如 \(\text{Tor}_n\)），我们可以用纯内射分解来定义相对于纯正合序列的导出函子。例如，函子 \(\text{Hom}(-, -)\) 相对于其第一个变量，用纯内射分解可以定义“纯 Ext 函子”，记作 \(\text{PExt}^n_R(M, N)\)。它度量了 \(M\) 和 \(N\) 之间相对于纯扩张的高阶障碍。
  2. 纯同调维数 (Pure Homological Dimensions)： 模 \(M\) 的纯投射维数 和纯内射维数 可以分别用纯投射分解和纯内射分解的长度来定义。它们比通常的投射维数和内射维数更精细，反映了模在“纯”意义下的复杂性。一个具有有限纯全局维数的环，其模范畴的纯结构有很好的性质。
  3. 模型论与稳定理论联系： 在模型论，特别是模的稳定理论中，纯内射模和纯内射分解扮演了核心角色。纯单子模对应于模型论中的“强可除子群”概念，而每个模的纯内射包络对应于其“代数闭包”在模论中的类比。模型论类型空间的分析与纯内射分解的结构密切相关。
  4. 相对于纯正合序列的同调代数： 纯内射分解是研究“纯同调代数”这一分支的基础工具。纯同调代数关注的是模范畴中，将所有正合序列替换为纯正合序列后所导出的理论。这为研究非诺特环、大模以及具有复杂分解行为的模提供了有力的框架。

总结：模的纯内射分解是一种将任意模用一系列性质更好的模（纯内射模）来逼近的工具。它建立在纯子模和纯正合序列的基础上，其存在性由纯内射包络保证。这一构造不仅是同调代数中一个优美的抽象概念，也是连接代数和模型论的重要桥梁，并在研究环的精细同调性质和模的分类中具有重要应用。

模的纯内射分解 我们先从“模”和“分解”这两个基本概念开始，逐步深入到“纯内射分解”这个专门的同调代数构造。 第一步：模、子模与正合序列的基础 模 (Module) ： 这是核心对象。粗略地说，对于一个固定的环 \( R \)，一个 \( R \)-模 \( M \) 是一个配备了与 \( R \) 中元素进行“数乘”运算的加法交换群。向量空间是当 \( R \) 为域时的特殊模。 子模与商模 (Submodule and Quotient Module) ： 模 \( M \) 的一个加法子群 \( N \)，如果在 \( R \)-作用下仍然封闭，则称为子模。商群 \( M/N \) 上可以自然地定义 \( R \)-作用，使其成为一个商模。 正合序列 (Exact Sequence) ： 一串模同态 \( \cdots \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to \cdots \) 称为在 \( B \) 处正合，如果 \( \text{Im}(f) = \text{Ker}(g) \)。如果序列在每一处都正合，则称其为一个正合序列。短正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 表示 \( A \) 是 \( B \) 的子模，且 \( C \) 同构于商模 \( B/A \)。 第二步：投射模、内射模与分解 投射模 (Projective Module) ： 一个模 \( P \) 称为投射模，如果对于任意满同态 \( f: M \to N \) 和同态 \( h: P \to N \)，总存在一个同态 \( \tilde{h}: P \to M \) 使得 \( f \circ \tilde{h} = h \)。直观上，从 \( P \) 出发的同态可以“提升”过满同态。 内射模 (Injective Module) ： 对偶地，一个模 \( E \) 称为内射模，如果对于任意单同态 \( f: L \to M \) 和同态 \( h: L \to E \)，总存在一个同态 \( \tilde{h}: M \to E \) 使得 \( \tilde{h} \circ f = h \)。直观上，到 \( E \) 的同态可以“延拓”过单同态。 分解 (Resolution) ： 给定一个模 \( M \)，一个 投射分解 是一列投射模 \( P_ i \) 构成的正合序列：\( \cdots \to P_ 2 \to P_ 1 \to P_ 0 \to M \to 0 \)。对偶地，一个 内射分解 是一列内射模 \( E^i \) 构成的正合序列：\( 0 \to M \to E^0 \to E^1 \to E^2 \to \cdots \)。分解的作用是将对任意模的研究，转化为对具有良好性质（投射性或内射性）的模的研究，这是同调代数的核心思想。 第三步：纯子模、纯正合序列与纯内射模 纯子模与纯正合序列 (Pure Submodule and Pure Exact Sequence) ： 这是“纯”性的核心。一个子模 \( A \) 称为模 \( B \) 的 纯子模 ，如果对于任意 \( R \)-模 \( X \)，自然同态 \( X \otimes_ R A \to X \otimes_ R B \) 是单射。等价地，短正合序列 \( 0 \to A \to B \to C \to 0 \) 称为 纯正合 的，如果它对任意模 \( X \) 做张量积 \( X \otimes_ R - \) 后得到的序列仍然是正合的（实际上张量积总是右正合的，所以关键是保持左边“单”性）。纯子模比一般子模更强，但比直和项弱。例如，自由模的任意子模是纯的，但不一定是直和项。 纯内射模 (Purely Injective Module) ： 一个模 \( E \) 称为纯内射模（有时也称为 \( \aleph_ 0 \)-内射模或可数内射模），如果它满足内射模的泛性质，但仅针对 纯正合序列 。即：对于任意纯正合序列 \( 0 \to L \to M \) 和任意同态 \( h: L \to E \)，都存在同态 \( \tilde{h}: M \to E \) 使得限制在 \( L \) 上等于 \( h \)。换句话说，纯内射模是相对于纯正合序列的“内射对象”。每个内射模都是纯内射模，但反之不成立。 第四步：纯内射分解的定义与存在性 纯内射分解 (Pure Injective Resolution) ： 给定一个模 \( M \)，它的一个 纯内射分解 是一个长正合序列：\( 0 \to M \to PE^0 \to PE^1 \to PE^2 \to \cdots \)，其中每一个 \( PE^i \) 都是纯内射模。注意，第一个箭头 \( M \to PE^0 \) 必须是单同态，并且整个序列是正合的。 存在性 (Existence) ： 在同调代数中，要构造某种分解，通常需要相应的“覆盖”或“包络”存在。对于纯内射模，有一个关键定理： 每一个模 \( M \) 都有一个纯内射包络 (Pure Injective Envelope) 。纯内射包络是一个单同态 \( u: M \to PE(M) \)，其中 \( PE(M) \) 是纯内射模，并且满足一个极小性/本质性条件：从 \( PE(M) \) 到任意包含 \( M \) 的纯内射模的、限制在 \( M \) 上是恒等的同态，必须是一个同构。利用这个包络，我们可以迭代构造： 令 \( PE^0 := PE(M) \)。 对 \( PE^0 \) 的余核 \( C^0 := \text{Coker}(M \to PE^0) \) 取纯内射包络，得到 \( d^0: C^0 \to PE^1 \)。 定义 \( d^0: PE^0 \to PE^1 \) 为复合映射 \( PE^0 \twoheadrightarrow C^0 \xrightarrow{d^0} PE^1 \)。 重复这个过程，得到正合序列 \( 0 \to M \to PE^0 \xrightarrow{d^0} PE^1 \xrightarrow{d^1} PE^2 \to \cdots \)，这就是 \( M \) 的一个纯内射分解。 第五步：纯内射分解的应用与意义 纯导出函子 (Pure Derived Functors) ： 类似于用内射分解定义右导出函子（如 \( \text{Ext}^n \)），用投射分解定义左导出函子（如 \( \text{Tor}_ n \)），我们可以用纯内射分解来定义相对于纯正合序列的导出函子。例如，函子 \( \text{Hom}(-, -) \) 相对于其第一个变量，用纯内射分解可以定义“纯 Ext 函子”，记作 \( \text{PExt}^n_ R(M, N) \)。它度量了 \( M \) 和 \( N \) 之间相对于纯扩张的高阶障碍。 纯同调维数 (Pure Homological Dimensions) ： 模 \( M \) 的 纯投射维数 和 纯内射维数 可以分别用纯投射分解和纯内射分解的长度来定义。它们比通常的投射维数和内射维数更精细，反映了模在“纯”意义下的复杂性。一个具有有限纯全局维数的环，其模范畴的纯结构有很好的性质。 模型论与稳定理论联系 ： 在模型论，特别是模的稳定理论中，纯内射模和纯内射分解扮演了核心角色。纯单子模对应于模型论中的“强可除子群”概念，而每个模的纯内射包络对应于其“代数闭包”在模论中的类比。模型论类型空间的分析与纯内射分解的结构密切相关。 相对于纯正合序列的同调代数 ： 纯内射分解是研究“纯同调代数”这一分支的基础工具。纯同调代数关注的是模范畴中，将所有正合序列替换为纯正合序列后所导出的理论。这为研究非诺特环、大模以及具有复杂分解行为的模提供了有力的框架。 总结 ： 模的纯内射分解 是一种将任意模用一系列性质更好的模（纯内射模）来逼近的工具。它建立在纯子模和纯正合序列的基础上，其存在性由纯内射包络保证。这一构造不仅是同调代数中一个优美的抽象概念，也是连接代数和模型论的重要桥梁，并在研究环的精细同调性质和模的分类中具有重要应用。