曲面的可展条件与可展曲面的分类 首先，我们从直观概念入手。可展曲面是一种特殊的曲面，它能够在不拉伸、不撕裂的条件下展开成平面。生活中常见的圆柱面、圆锥面、切平面沿曲线运动形成的曲面（如“卷起的纸”）都是可展曲面。反之，球面、双曲抛物面等不可展。 1. 可展曲面的基本特征 可展曲面有以下等价特征（在微分几何中可证明它们相互等价）： 高斯曲率恒为零 ：即 \( K = 0 \) 在曲面上处处成立。 曲面由一族切平面沿一条曲线“包络”而成 ，即曲面是某个单参数平面族的包络。 曲面是直纹面，且沿着每一条直母线，曲面的切平面不变 。 注意 ：并非所有直纹面都可展。例如，单叶双曲面是直纹面，但高斯曲率为负，不可展。 2. 可展曲面的三种经典类型 从微分几何的构造角度，可展曲面分为三类： (1) 柱面 定义：由一条直线（母线）平行移动，并始终与一条固定空间曲线（准线）相交而成。 参数方程：设准线为 \( \alpha(u) \)，方向向量为常向量 \( \mathbf{v} \)，则柱面为 \[ \mathbf{r}(u, v) = \alpha(u) + v\mathbf{v}. \] 几何特征：沿每一条直母线，曲面的单位法向量相同，因此切平面是同一个平面。 (2) 锥面 定义：由一条过定点（锥顶）的直线沿一条空间曲线移动而成。 参数方程：设锥顶为点 \( \mathbf{p}_ 0 \)，准线为 \( \alpha(u) \)（不在锥顶），则锥面为 \[ \mathbf{r}(u, v) = \mathbf{p}_ 0 + v(\alpha(u) - \mathbf{p}_ 0), \quad v > 0. \] 几何特征：所有直母线交于锥顶，沿同一条母线的切平面相同。 (3) 切线面 定义：由一条空间曲线的所有切线构成。 参数方程：设曲线为 \( \alpha(u) \)，则切线面为 \[ \mathbf{r}(u, v) = \alpha(u) + v\mathbf{T}(u), \] 其中 \( \mathbf{T}(u) \) 是曲线的单位切向量。 几何特征：当曲线不是直线时，直母线就是曲线的切线。在 \( v=0 \) 处（曲线上）可能产生奇点（若曲线曲率非零，该处曲面光滑但参数表示奇异）。 3. 用微分几何条件判断可展性 给定一个直纹面 \[ \mathbf{r}(u, v) = \alpha(u) + v\,\mathbf{w}(u), \] 其中 \( \alpha(u) \) 是准线，\( \mathbf{w}(u) \) 是直母线的方向向量，且 \( \|\mathbf{w}(u)\| = 1 \) 可假设。 可展的充要条件是 \[ (\alpha'(u) \times \mathbf{w}(u)) \cdot \mathbf{w}'(u) = 0, \] 即向量 \( \alpha'(u),\, \mathbf{w}(u),\, \mathbf{w}'(u) \) 共面。 几何解释 ：该条件表示沿着直母线，曲面的切平面不变。如果条件不满足，则直纹面是“可扭的”（如单叶双曲面），高斯曲率非零。 4. 可展曲面与平面等距对应的局部构造 由于高斯曲率处处为零，根据 可展曲面基本定理 ：任何可展曲面局部上都与平面等距。 具体构造：可展曲面可看作平面上一块区域经过“弯曲”（不拉伸）而成。例如，圆柱面是由矩形卷曲而成，但不改变面上的曲线长度。 数学上，存在参数变换使第一基本形式满足 \( E=1,\, F=0,\, G=1 \)，即局部为平面度量。 5. 可展曲面的应用与推广 工程应用 ：钣金加工、船体放样、建筑壳体设计等，依赖于可展曲面可无应变展开成平板的性质。 几何推广 ：在更高维的“可展超曲面”理论中，类似的条件是第二基本形式退化（秩小于维数）。 总结 ：可展曲面是高斯曲率为零的直纹面，分为柱面、锥面、切线面三类。判别关键是看直母线方向的变化是否与准线切向量共面。这类曲面在局部上与平面等距，是理论与应用几何中的重要对象。