雅可比四次方和定理
好的，我们从最基础的概念开始，循序渐进地理解这个优美而深刻的数论定理。
第一步：从平方和问题引入
在初等数论中，一个经典问题是：一个正整数 \(n\) 可以写成两个整数的平方和 \(n = a^2 + b^2\) 的方式有多少种？
这里的“方式”考虑顺序和符号，即 \((a, b)\) 和 \((-a, b), (a, -b), (-a, -b)\) 被视为不同的表示，但 \((a, b)\) 和 \((b, a)\) 视为不同（除非 \(a = b\)）。
例如：
- \(5 = 1^2 + 2^2\)，这可以派生出 \((\pm1, \pm2)\) 和 \((\pm2, \pm1)\) 共8种表示。
- \(4 = 0^2 + 2^2\)，这可以派生出 \((0, \pm2)\) 和 \((\pm2, 0)\) 共4种表示。
更一般地，我们可以问：一个正整数 \(n\) 可以写成四个整数的平方和 \(n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2\) 的方式有多少种？
这个问题比两个平方和复杂得多，但它通向一个统一而强大的公式，这就是雅可比四次方和定理的核心。
第二步：定义表示函数 \(r_k(n)\)
为了精确描述这个问题，我们引入一个标准的记法：
对于正整数 \(k\) 和 \(n\)，定义 \(r_k(n)\) 为方程
\[x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2 = n \]
的整数解 \((x_1, x_2, \dots, x_k)\) 的个数。这里所有 \(x_i\) 是整数（可正可负可零），并且解的顺序是重要的。
因此：
- \(r_2(n)\) 是 \(n\) 表示为两个平方和的方式数。
- \(r_4(n)\) 是 \(n\) 表示为四个平方和的方式数。
雅可比定理关注的就是 \(k=4\) 的情况。
第三步：历史的铺垫——拉格朗日四平方和定理与雅可比的工作
在讨论表示“方式数”之前，有一个更基本的存在性问题：是否每个正整数都能写成四个整数的平方和？
这就是著名的拉格朗日四平方和定理（1770年）：对任意正整数 \(n\)，都有 \(r_4(n) > 0\)。
雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）在1829年走得更远。他不仅证明了表示的存在性，更给出了表示数量 \(r_4(n)\) 的一个精确、简单且美妙的公式。这个公式不涉及复杂的求和或条件判断，而是直接与 \(n\) 的正因子有关。
第四步：雅可比四次方和定理的表述
雅可比四次方和定理 的陈述如下：
对于任意正整数 \(n\)，
\[r_4(n) = 8 \sum_{\substack{d \mid n \\ 4 \nmid d}} d. \]
让我们逐部分拆解这个公式：
- \(d \mid n\)：表示 \(d\) 是 \(n\) 的一个正因子。
- \(4 \nmid d\)：表示 \(d\) 不能被4整除。
- 求和：对 \(n\) 的所有不能被4整除的正因子 \(d\) 进行求和。
- 乘以8：最后将求和结果乘以8。
定理的另一种等价表述（通过一个简单的变换）是：
\[r_4(n) = 8 \times (\text{所有 } n \text{ 的奇因子的和}). \]
因为一个因子 \(d\) 不能被4整除，当且仅当它是奇数，或者它是2乘以一个奇数。将所有这样的 \(d\) 加起来，就等于所有奇因子的和（每个奇因子 \(d'\) 会贡献 \(d'\) 和 \(2d'\)，除非 \(2d'\) 能被4整除，即 \(d'\) 是奇数时，\(2d'\) 确实不能被4整除）。但最安全的还是记住原始条件 “\(4 \nmid d\)”。
第五步：通过例子验证和理解公式
我们通过几个小例子来感受这个公式的威力。
例1：\(n = 1\)
- 四个平方和为1：解是 \((\pm1, 0, 0, 0)\) 及各种排列。
- 具体计算：位置有4种选择放±1，每个位置有正负2种选择，所以总数为 \(4 \times 2 = 8\)。
- 用公式验证：\(n=1\) 的因子只有 \(d=1\)，且 \(4 \nmid 1\)。所以 \(r_4(1) = 8 \times 1 = 8\)。完美符合。
例2：\(n = 4\)
- 公式计算：4的因子有1, 2, 4。其中不能被4整除的是1和2。所以和为 \(1+2=3\)。\(r_4(4) = 8 \times 3 = 24\)。
- 我们手动验证几个主要表示：
- \(4 = 2^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2\): 数法：选一个位置放±2（4种选法），其余为0，共有 \(4 \times 2 = 8\) 种。
- \(4 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2\): 四个位置都是±1。所有符号组合有 \(2^4 = 16\) 种。但这里顺序已经固定（所有位置都是1或-1），所以就是16种。
- \(8 + 16 = 24\)，没有其他表示（如 \(1^2 + 1^2 + 1^2 + ?\) 不可能）。符合公式。
例3：\(n = 7\)（一个奇数）
- 7的因子有1和7，都是奇数（故不能被4整除）。和为 \(1+7=8\)。
- \(r_4(7) = 8 \times 8 = 64\)。
- 你可以相信，确实存在64种方式将7写成四个平方和（例如 \(2^2+1^2+1^2+1^2\) 及其排列和符号变化）。
例4：\(n = 8\)
- 8的因子有1, 2, 4, 8。不能被4整除的是1, 2。和为3。
- \(r_4(8) = 8 \times 3 = 24\)。
这个公式的简洁性令人惊叹：表示数完全由因子结构决定，且只排除那些被4整除的因子。
第六步：定理的推广与深刻背景
雅可比定理不仅仅是关于 \(r_4(n)\) 的一个孤立结论。它位于两个重要数学领域的交汇点：
- 模形式理论：函数
\[ \theta(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2\pi i n^2 z} = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} e^{2\pi i n^2 z} \]
是一个模形式（更具体地，是权为1/2的模形式）。那么，四个变量的Theta函数的四次方：
\[ \theta(z)^4 = \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2\pi i n^2 z} \right)^4 = \sum_{n=0}^{\infty} r_4(n) e^{2\pi i n z}. \]
它的傅里叶系数正是 \(r_4(n)\)。雅可比实质上证明了 \(\theta(z)^4\) 是一个艾森斯坦级数与一个常数的线性组合。艾森斯坦级数的傅里叶系数具有除数求和的形式，这就解释了 \(r_4(n)\) 的公式来源。
- 四元数的范数：四元数 \(a + bi + cj + dk\) 的范数是 \(a^2 + b^2 + c^2 + d^2\)。因此，\(r_4(n)\) 也等于范数为 \(n\) 的四元数的个数（考虑所有整数系数的四元数）。四元数环的算术性质（它是一个欧几里得整环）为证明提供了另一条途径。
第七步：总结与意义
雅可比四次方和定理 的意义在于：
- 精确性：它给出了一个组合几何问题（计数格点在一个球面上的数量）的精确解析公式。
- 优美性：公式极其简单，仅涉及正因子的筛选和求和。
- 桥梁性：它将初等的平方和问题与高深的模形式理论、四元数代数紧密联系起来，展示了数论不同层次之间的深刻统一。
- 启发性：对于 \(r_2(n)\)，公式涉及狄利克雷特征，比较复杂。而 \(r_4(n)\) 的简单公式激励人们研究更高次幂的表示问题，这些问题通常与更复杂的模形式空间相关。
理解这个定理，是从具体计数问题步入现代数论核心领域——模形式与自守形式——的一个绝佳起点。它告诉我们，表面上复杂的计数问题，其背后可能隐藏着由对称性（模形式）支配的简洁算术规律。