量子力学中的相干态路径积分

字数 3719 2025-12-24 07:48:43

好的，我们开始学习一个新词条。

量子力学中的相干态路径积分

让我们循序渐进地理解这个概念。

第一步：什么是相干态？
相干态是量子谐振子的最小不确定态波包，它是湮灭算符 \(\hat{a}\) 的本征态，即 \(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle\)，其中 \(\alpha\) 是一个复数。它与我们熟知的粒子数态 \(|n\rangle\)（能量本征态）不同，粒子数态满足 \(\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle\) 和 \(\hat{n}|n\rangle = n|n\rangle\)（\(\hat{n}=\hat{a}^\dagger\hat{a}\)）。相干态可以看作是经典振子相空间中的点 \((\text{Re}(\alpha), \text{Im}(\alpha))\) 在量子力学中的最佳对应。它具有“准经典”的特性，随时间演化时，其波包中心会像经典谐振子一样做简谐运动，且形状保持不变。

第二步：相干态的过完备性与完备性关系
所有相干态的集合是“过完备”的，意味着它们不是相互正交的（\(\langle \beta|\alpha \rangle \neq 0\)），但依然构成一组完备基。这导致了一个非常重要的“完备性关系”（或称“单位分解”）：

\[\frac{1}{\pi} \int d^2\alpha \, |\alpha\rangle\langle\alpha| = \hat{I} \]

其中 \(d^2\alpha = d\text{Re}(\alpha)d\text{Im}(\alpha)\)，积分在整个复平面上进行。这个公式表明，任何一个量子态都可以用相干态来展开，或者任何算符都可以用相干态的外积来表示。

第三步：从标准坐标空间路径积分到相干态路径积分
在之前学过的费曼路径积分中，我们通常使用坐标 \(q\) 的完备基 \(|q\rangle\) 来分割时间演化算符 \(e^{-i\hat{H}t/\hbar}\)，最终得到对经典作用量 \(\int L(q, \dot{q}) dt\) 的泛函积分，其积分变量是经典路径 \(q(t)\)。
然而，对于某些系统（如多体系统、涉及玻色子产生湮灭算符的系统），哈密顿量 \(\hat{H}\) 更容易用产生湮灭算符 \(\hat{a}^\dagger, \hat{a}\) 来表示，而不是坐标和动量。此时，我们可以利用第二步中的相干态完备性关系，插入一连串的相干态单位算符 \(\frac{1}{\pi} \int d^2\alpha |\alpha\rangle\langle\alpha|\)，来分割时间演化算符。

第四步：推导相干态路径积分的核心公式
考虑从初始相干态 \(|\alpha_i\rangle\) 到终态 \(|\alpha_f\rangle\) 的跃迁振幅：

\[\langle \alpha_f | e^{-i\hat{H}T/\hbar} | \alpha_i \rangle \]

我们把总时间 \(T\) 分割成 \(N\) 段，每段长度为 \(\epsilon = T/N\)。在第 \(j\) 个时间片，我们插入相干态完备性关系：

\[\frac{1}{\pi} \int d^2\alpha_j |\alpha_j\rangle\langle\alpha_j| = \hat{I} \]

于是振幅变为：

\[\int \prod_{j=1}^{N-1} \frac{d^2\alpha_j}{\pi} \, \langle \alpha_f|\alpha_{N-1}\rangle \langle \alpha_{N-1}| e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} |\alpha_{N-2}\rangle \cdots \langle \alpha_1| e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} |\alpha_i\rangle \]

其中 \(\alpha_0 = \alpha_i, \alpha_N = \alpha_f\)。
关键的一步是计算相邻相干态间的矩阵元 \(\langle \alpha_{j}| e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} |\alpha_{j-1}\rangle\)。对于小时间间隔 \(\epsilon\)，有近似：

\[\langle \alpha_{j} | e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} | \alpha_{j-1} \rangle \approx \langle \alpha_{j} | \alpha_{j-1} \rangle \, \exp\left(-\frac{i\epsilon}{\hbar} H(\alpha_j^*, \alpha_{j-1}) \right) \]

这里 \(H(\alpha_j^*, \alpha_{j-1})\) 被称为哈密顿量的Berezin符号（即其正规序算符在相干态间的期望值，约等于 \(\langle \alpha_j | \hat{H} | \alpha_{j-1} \rangle / \langle \alpha_j | \alpha_{j-1} \rangle\)）。而重叠因子为：

\[\langle \alpha_j | \alpha_{j-1} \rangle = \exp\left( \alpha_j^* \alpha_{j-1} - \frac{|\alpha_j|^2}{2} - \frac{|\alpha_{j-1}|^2}{2} \right) \]

第五步：取连续极限与作用量形式
将上述所有因子相乘，并取极限 \(N \to \infty, \epsilon \to 0\)，重叠因子会贡献一个重要部分。最终，跃迁振幅可以写成一个对复函数路径 \(\alpha(t), \alpha^*(t)\) 的泛函积分：

\[\langle \alpha_f | e^{-i\hat{H}T/\hbar} | \alpha_i \rangle = \int_{\alpha(0)=\alpha_i}^{\alpha(T)=\alpha_f} \mathcal{D}[\alpha^*(t), \alpha(t)] \, e^{\frac{i}{\hbar} S[\alpha^*, \alpha]} \]

其中，作用量 \(S\) 的形式为：

\[S[\alpha^*, \alpha] = \int_0^T dt \, \left[ \frac{i\hbar}{2} (\alpha^* \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha) - H(\alpha^*, \alpha) \right] \]

注意：\(\alpha\) 和 \(\alpha^*\) 在路径积分中被视为独立变量。第一项 \( \frac{i\hbar}{2} (\alpha^* \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha)\) 来源于相干态的重叠（类似于 \(p\dot{q}\) 项），它给出了相空间中的辛结构。而 \(H(\alpha^*, \alpha)\) 正是哈密顿量算符 \(\hat{H}\) 在相干态符号下的c-数函数（通常取正规序形式）。

第六步：相干态路径积分的意义与应用

自然处理玻色子系统：对于多体量子场论（如超流体、玻色-爱因斯坦凝聚），场算符 \(\hat{\psi}(\mathbf{x})\) 就是产生湮灭算符，相干态路径积分是处理这类问题的标准工具，它能直接得到用经典场 \(\psi(\mathbf{x}, t)\)（即相干态参数）表示的配分函数或关联函数。
半经典近似的理想起点：由于相干态本身是准经典的，其路径积分形式中的经典方程（由最小作用量原理 \(\delta S = 0\) 得到）正是平均场方程（如 Gross-Pitaevskii 方程）。围绕经典解的展开（即涨落）可以用来系统地计算量子修正。
与相空间路径积分的联系：通过关系 \(\alpha = (q + ip)/\sqrt{2\hbar}\)，可以证明相干态路径积分等价于以坐标 \(q\) 和动量 \(p\) 为变量的相空间路径积分，但前者在处理对称性和约束时往往更清晰。

总结来说，量子力学中的相干态路径积分是利用相干态的过完备性，将量子力学的时间演化振幅表示为对经典复振幅 \(\alpha(t)\) 路径的泛函积分。它是连接量子多体理论与经典场论，以及进行系统半经典分析的强大数学框架。

好的，我们开始学习一个新词条。量子力学中的相干态路径积分让我们循序渐进地理解这个概念。第一步：什么是相干态？相干态是量子谐振子的最小不确定态波包，它是湮灭算符 \(\hat{a}\) 的本征态，即 \(\hat{a}|\alpha\rangle = \alpha |\alpha\rangle\)，其中 \(\alpha\) 是一个复数。它与我们熟知的粒子数态 \(|n\rangle\)（能量本征态）不同，粒子数态满足 \(\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle\) 和 \(\hat{n}|n\rangle = n|n\rangle\)（\(\hat{n}=\hat{a}^\dagger\hat{a}\)）。相干态可以看作是经典振子相空间中的点 \((\text{Re}(\alpha), \text{Im}(\alpha))\) 在量子力学中的最佳对应。它具有“准经典”的特性，随时间演化时，其波包中心会像经典谐振子一样做简谐运动，且形状保持不变。第二步：相干态的过完备性与完备性关系所有相干态的集合是“过完备”的，意味着它们不是相互正交的（\(\langle \beta|\alpha \rangle \neq 0\)），但依然构成一组完备基。这导致了一个非常重要的“完备性关系”（或称“单位分解”）： \[ \frac{1}{\pi} \int d^2\alpha \, |\alpha\rangle\langle\alpha| = \hat{I} \] 其中 \(d^2\alpha = d\text{Re}(\alpha)d\text{Im}(\alpha)\)，积分在整个复平面上进行。这个公式表明，任何一个量子态都可以用相干态来展开，或者任何算符都可以用相干态的外积来表示。第三步：从标准坐标空间路径积分到相干态路径积分在之前学过的费曼路径积分中，我们通常使用坐标 \(q\) 的完备基 \(|q\rangle\) 来分割时间演化算符 \(e^{-i\hat{H}t/\hbar}\)，最终得到对经典作用量 \(\int L(q, \dot{q}) dt\) 的泛函积分，其积分变量是经典路径 \(q(t)\)。然而，对于某些系统（如多体系统、涉及玻色子产生湮灭算符的系统），哈密顿量 \(\hat{H}\) 更容易用产生湮灭算符 \(\hat{a}^\dagger, \hat{a}\) 来表示，而不是坐标和动量。此时，我们可以利用第二步中的相干态完备性关系，插入一连串的相干态单位算符 \(\frac{1}{\pi} \int d^2\alpha |\alpha\rangle\langle\alpha|\)，来分割时间演化算符。第四步：推导相干态路径积分的核心公式考虑从初始相干态 \(|\alpha_ i\rangle\) 到终态 \(|\alpha_ f\rangle\) 的跃迁振幅： \[ \langle \alpha_ f | e^{-i\hat{H}T/\hbar} | \alpha_ i \rangle \] 我们把总时间 \(T\) 分割成 \(N\) 段，每段长度为 \(\epsilon = T/N\)。在第 \(j\) 个时间片，我们插入相干态完备性关系： \[ \frac{1}{\pi} \int d^2\alpha_ j |\alpha_ j\rangle\langle\alpha_ j| = \hat{I} \] 于是振幅变为： \[ \int \prod_ {j=1}^{N-1} \frac{d^2\alpha_ j}{\pi} \, \langle \alpha_ f|\alpha_ {N-1}\rangle \langle \alpha_ {N-1}| e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} |\alpha_ {N-2}\rangle \cdots \langle \alpha_ 1| e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} |\alpha_ i\rangle \] 其中 \(\alpha_ 0 = \alpha_ i, \alpha_ N = \alpha_ f\)。关键的一步是计算相邻相干态间的矩阵元 \(\langle \alpha_ {j}| e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} |\alpha_ {j-1}\rangle\)。对于小时间间隔 \(\epsilon\)，有近似： \[ \langle \alpha_ {j} | e^{-i\epsilon \hat{H}/\hbar} | \alpha_ {j-1} \rangle \approx \langle \alpha_ {j} | \alpha_ {j-1} \rangle \, \exp\left(-\frac{i\epsilon}{\hbar} H(\alpha_ j^ , \alpha_ {j-1}) \right) \] 这里 \(H(\alpha_ j^ , \alpha_ {j-1})\) 被称为哈密顿量的 Berezin符号（即其正规序算符在相干态间的期望值，约等于 \(\langle \alpha_ j | \hat{H} | \alpha_ {j-1} \rangle / \langle \alpha_ j | \alpha_ {j-1} \rangle\)）。而重叠因子为： \[ \langle \alpha_ j | \alpha_ {j-1} \rangle = \exp\left( \alpha_ j^* \alpha_ {j-1} - \frac{|\alpha_ j|^2}{2} - \frac{|\alpha_ {j-1}|^2}{2} \right) \] 第五步：取连续极限与作用量形式将上述所有因子相乘，并取极限 \(N \to \infty, \epsilon \to 0\)，重叠因子会贡献一个重要部分。最终，跃迁振幅可以写成一个对复函数路径 \(\alpha(t), \alpha^ (t)\) 的泛函积分： \[ \langle \alpha_ f | e^{-i\hat{H}T/\hbar} | \alpha_ i \rangle = \int_ {\alpha(0)=\alpha_ i}^{\alpha(T)=\alpha_ f} \mathcal{D}[ \alpha^ (t), \alpha(t)] \, e^{\frac{i}{\hbar} S[ \alpha^ , \alpha ]} \] 其中，作用量 \(S\) 的形式为： \[ S[ \alpha^ , \alpha] = \int_ 0^T dt \, \left[ \frac{i\hbar}{2} (\alpha^* \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha) - H(\alpha^ , \alpha) \right ] \] 注意：\(\alpha\) 和 \(\alpha^ \) 在路径积分中被视为独立变量。第一项 \( \frac{i\hbar}{2} (\alpha^* \dot{\alpha} - \dot{\alpha}^* \alpha)\) 来源于相干态的重叠（类似于 \(p\dot{q}\) 项），它给出了相空间中的辛结构。而 \(H(\alpha^* , \alpha)\) 正是哈密顿量算符 \(\hat{H}\) 在相干态符号下的 c-数函数（通常取正规序形式）。第六步：相干态路径积分的意义与应用自然处理玻色子系统：对于多体量子场论（如超流体、玻色-爱因斯坦凝聚），场算符 \(\hat{\psi}(\mathbf{x})\) 就是产生湮灭算符，相干态路径积分是处理这类问题的标准工具，它能直接得到用经典场 \(\psi(\mathbf{x}, t)\)（即相干态参数）表示的配分函数或关联函数。半经典近似的理想起点：由于相干态本身是准经典的，其路径积分形式中的经典方程（由最小作用量原理 \(\delta S = 0\) 得到）正是平均场方程（如 Gross-Pitaevskii 方程）。围绕经典解的展开（即涨落）可以用来系统地计算量子修正。与相空间路径积分的联系：通过关系 \(\alpha = (q + ip)/\sqrt{2\hbar}\)，可以证明相干态路径积分等价于以坐标 \(q\) 和动量 \(p\) 为变量的相空间路径积分，但前者在处理对称性和约束时往往更清晰。总结来说，量子力学中的相干态路径积分是利用相干态的过完备性，将量子力学的时间演化振幅表示为对经典复振幅 \(\alpha(t)\) 路径的泛函积分。它是连接量子多体理论与经典场论，以及进行系统半经典分析的强大数学框架。