量子力学中的Feynman路径积分 我将从基础概念开始，逐步深入讲解Feynman路径积分的数学结构和计算方法。 第一步：经典力学的作用量原理 在经典力学中，粒子从点A到点B的运动轨迹由最小作用量原理决定。作用量S定义为拉格朗日量L的积分：S = ∫L(q, ̇q,t)dt，其中q是位置，̇q是速度。真实轨迹是使作用量取极值的路径。 第二步：量子力学的概率幅叠加原理 Feynman的核心思想是：量子粒子在时空中从初态到末态的所有可能路径都会贡献概率幅。每条路径的贡献权重为e^(iS/ℏ)，其中ℏ是约化普朗克常数。总概率幅是所有路径的加权求和（泛函积分）。 第三步：路径积分的严格数学表述 对于位置表象的传播子K(q',t'; q,t)，路径积分写为： K = ∫D[ q(t)] e^(iS[ q(t) ]/ℏ) 其中D[ q(t) ]表示对连接(q,t)到(q',t')的所有路径进行泛函积分。这里的积分测度需要严格定义，通常通过时间切片法实现。 第四步：时间切片离散化方法 将时间区间[ t,t' ]划分为N个小区间，间隔ε=(t'-t)/N。在每个时间点引入位置坐标qₖ，则路径积分转化为： K = lim(N→∞) (m/2πiℏε)^(N/2) ∫...∫∏dqₖ e^(i/ℏ ΣεL(qₖ, (qₖ-qₖ₋₁)/ε)) 这个离散形式给出了路径积分的严格定义，其中(m/2πiℏε)^(N/2)是归一化因子。 第五步：自由粒子的精确计算 对自由粒子(L=ṁq²/2)，利用高斯积分公式可得精确解： K(q',t'; q,t) = √(m/2πiℏ(t'-t)) exp[ im(q'-q)²/2ℏ(t'-t) ] 这个结果与薛定谔方程的解完全一致，验证了路径积分的正确性。 第六步：微扰展开与泛函导数 对于包含势能V(q)的系统，路径积分可展开为： K = ∫D[ q ] e^(i∫dt (ṁq²/2 - V(q)))/ℏ = K₀ ⟨e^(-i/ℏ∫V(q)dt)⟩ 其中K₀是自由传播子，⟨·⟩表示关于自由理论的期望值。这导出了费曼图技术，每个图对应特定的路径积分贡献。 第七步：欧几里得化与统计物理联系 通过Wick转动t→-iτ，将时间变为虚数，路径积分变为： K_ E = ∫D[ q] e^(-S_ E/ℏ)，其中S_ E是欧几里得作用量 这个形式与统计物理中的配分函数完全相同，建立了量子力学与统计物理的深刻联系。