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随机变量的变换的稳健回归M估计方法
我来为您循序渐进地讲解这个结合了概率统计与稳健性的重要概念。
第一步：问题的起源——经典线性回归的弱点
首先，我们回顾最基础的线性回归模型：
$ y_i = \mathbf{x}_i^T \boldsymbol{\beta} + \epsilon_i $，其中 $ \epsilon_i $ 是独立同分布的误差项，通常假设服从均值为0的正态分布。
经典的参数估计方法是最小二乘法(OLS)，即最小化残差平方和：
$ \hat{\boldsymbol{\beta}}{OLS} = \arg\min{\boldsymbol{\beta}} \sum_{i=1}^{n} (y_i - \mathbf{x}_i^T \boldsymbol{\beta})^2 $。
这里的关键是损失函数为 $ \rho(r) = r^2 $（其中 $ r $ 是残差）。平方函数对大的残差（$ r $）赋予极高的权重。因此，如果数据中存在离群点（Outliers）——即严重偏离模型主体的异常观测值——即使数量很少，它们产生的巨大残差也会在平方和中被放大，导致估计量 $ \hat{\boldsymbol{\beta}} $ 严重偏离真实值。我们说OLS估计缺乏稳健性。
第二步：核心思想——用更稳健的损失函数替代平方函数
为了解决这个问题，稳健统计学家提出用另一个函数 $ \rho(r) $ 来代替平方函数。这个 $ \rho $ 函数需要满足：
- 非负性：$ \rho(r) \ge 0 $，且 $ \rho(0) = 0 $。
- 偶函数：$ \rho(r) = \rho(-r) $，因为正负残差的影响应对称。
- 对大的|r|增长较慢：不像平方函数那样剧烈增长，从而抑制离群点的影响。
于是，我们定义M估计（M-estimator）为：
$ \hat{\boldsymbol{\beta}}{M} = \arg\min{\boldsymbol{\beta}} \sum_{i=1}^{n} \rho(y_i - \mathbf{x}_i^T \boldsymbol{\beta}) $。
“M”来源于“最大似然型估计”，因为如果 $ \rho(r) = -\log f(r) $，其中 $ f $ 是误差的密度函数，那么M估计就是最大似然估计。这里我们将其推广，选取 $ \rho $ 来获得稳健性，而不再拘泥于某个真实的密度。
第三步：常见的稳健 $ \rho $ 函数与影响函数
几个经典的 $ \rho $ 函数例子（$ r $ 为残差，$ c $ 为调节常数）：
- Huber函数：
\
\[ \\rho_c(r) = \\begin{cases} \\frac{1}{2} r^2, & \\text{如果 } |r| \\le c \\\\ c|r| - \\frac{1}{2}c^2, & \\text{如果 } |r| > c \\end{cases} \ \]
它在中心区域（$|r| \le c$）表现得像最小二乘（二次），在尾部（$|r| > c$）表现得像最小一乘（线性），从而限制了大残差的影响。
- Tukey双权（Biweight）函数：
\
\[ \\rho_c(r) = \\begin{cases} \\frac{c^2}{6} \\left[ 1 - \\left(1 - (\\frac{r}{c})^2\\right)^3 \\right], & \\text{如果 } |r| \\le c \\\\ \\frac{c^2}{6}, & \\text{如果 } |r| > c \\end{cases} \ \]
当残差绝对值超过截断点 $ c $ 时，$ \rho $ 函数值变为常数，意味着这些点被完全“降权”或忽略，因此对离群点不敏感。
为了衡量单个观测点对估计量的影响，我们引入影响函数 $ \psi(r) = \rho'(r) $（即 $ \rho $ 的导数）。估计方程可以通过对目标函数求导得到：
\
\[ \\sum_{i=1}^{n} \\psi(y_i - \\mathbf{x}_i^T \\boldsymbol{\\beta}) \\mathbf{x}_i = 0 \ \]
- 对于OLS，$ \psi(r) = 2r $，影响函数无界，意味着一个 $ y_i $ 趋向无穷时，其影响也趋向无穷。
- 对于Huber估计，$ \psi(r) = \max(-c, \min(r, c)) $ 有界。
- 对于Tukey双权估计，当 $ |r| > c $ 时，$ \psi(r) = 0 $，称为“再降权”，影响函数不仅有限，甚至将大残差的影响降至0。
第四步：估计过程的实现——迭代重加权最小二乘法
求解方程 $ \sum \psi(r_i) \mathbf{x}_i = 0 $ 通常没有解析解。最常用的数值方法是迭代重加权最小二乘法。
定义权重函数 $ w(r) = \psi(r)/r $（当 $ r \neq 0 $时）。则估计方程可重写为：
\
\[ \\sum_{i=1}^{n} w(r_i) r_i \\mathbf{x}_i = 0 \ \]
这看起来像是加权最小二乘的正规方程，权重为 $ w(r_i) $。算法步骤如下：
- 初始化：用OLS或最小一乘法得到一个初始估计 $ \hat{\boldsymbol{\beta}}^{(0)} $，计算残差 $ r_i^{(0)} $。
- 迭代（第k步）：
a. 根据当前残差 $ r_i^{(k-1)} $ 计算权重 $ w_i^{(k)} = w(r_i^{(k-1)}) $。
b. 求解加权最小二乘问题：
$ \hat{\boldsymbol{\beta}}^{(k)} = \arg\min_{\boldsymbol{\beta}} \sum_{i=1}^{n} w_i^{(k)} (y_i - \mathbf{x}_i^T \boldsymbol{\beta})^2 $。
（这等价于解方程组 $ \mathbf{X}^T \mathbf{W}^{(k)} \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} = \mathbf{X}^T \mathbf{W}^{(k)} \mathbf{y} $，其中 $ \mathbf{W} $ 是对角权重矩阵。） - 重复步骤2，直到参数估计值收敛（变化小于某个阈值）。
可以看到，离群点（大残差）会被赋予很小的权重 $ w_i $，在迭代过程中其影响被不断削弱。
第五步：统计性质与尺度估计
- 渐近正态性：在一般正则条件下，M估计量 $ \hat{\boldsymbol{\beta}}_M $ 是相合的，且满足
\
\[ \\sqrt{n}(\\hat{\\boldsymbol{\\beta}}_M - \\boldsymbol{\\beta}) \\xrightarrow{d} N(\\mathbf{0}, \\mathbf{V}) \ \]
其中渐近协方差矩阵 $ \mathbf{V} = \tau^2 (\mathbb{E}[\mathbf{x} \mathbf{x}^T])^{-1} $， $ \tau^2 = \frac{\mathbb{E}[\psi(\epsilon)^2]}{(\mathbb{E}[\psi'(\epsilon)])^2} $。这为我们构造置信区间和假设检验提供了理论基础。
- 尺度估计：上述性质和权重计算通常依赖于误差的尺度（标准差）$ \sigma $。在实际中，$ \sigma $ 未知且也需要稳健估计。通常联合求解两个方程：
- 位置/系数方程：$ \sum \psi(\frac{r_i}{\hat{\sigma}}) \mathbf{x}_i = 0 $
- 尺度方程：$ \frac{1}{n} \sum \chi(\frac{r_i}{\hat{\sigma}}) = \delta $ （其中 $ \chi $ 是另一个稳健函数，如中位数绝对偏差MAD，$ \delta $ 是校准常数以保证在正态模型下的相合性）。
这构成了一个位置-尺度联合M估计问题，也需要迭代求解。
总结：
随机变量的变换的稳健回归M估计方法，核心是通过一个精心设计的、增长较慢的损失函数 $ \rho $ 来改造经典的回归估计问题。它将残差 $ r_i = y_i - \mathbf{x}_i^T \boldsymbol{\beta} $ 通过 $ \rho $ 函数进行“变换”并求和作为目标。这种变换抑制了大残差（可能来自离群点）的过度影响，从而获得对模型假设（如误差正态性）不敏感的稳健估计量。其实现依赖于迭代重加权算法，并有着良好的渐近统计性质，是现代数据分析中处理污染数据的强大工具。