佩尔方程

字数 3215 2025-12-24 06:21:24

好的，我们这次来讲解数论中一个经典且直观的概念。

佩尔方程

我们来循序渐进地讲解这个主题。

第一步：基本定义与历史起源

佩尔方程（Pell Equation），通常指形如

\[ x^2 - dy^2 = 1 \]

的二元二次不定方程（也叫丢番图方程）。

其中：

$x$ 和 $y$ 是我们要找的未知整数解。
$d$ 是一个给定的正整数，并且不是完全平方数（即 $\sqrt{d}$ 是无理数）。如果 $d$ 是完全平方数，比如 $d = k^2$，那么方程变为 $x^2 - k^2 y^2 = (x - ky)(x + ky) = 1$，只有平凡的整数解 $x = \pm 1, y = 0$。

为什么叫“佩尔方程”？
这个命名是个历史误会。17世纪英国数学家约翰·佩尔（John Pell）其实并未深入研究它。欧拉在阅读沃利斯等人的著作时产生了混淆，将此方程归于佩尔名下，并流传至今。其实，更早的数学家如阿基米德、印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）和婆什迦罗二世（Bhāskara II）都对这类方程有深入研究。

最简单的例子：
对于 $d = 2$，方程是 $x^2 - 2y^2 = 1$。
你可以验证，$x = 3, y = 2$ 是一个解，因为 $3^2 - 2 \times 2^2 = 9 - 8 = 1$。

第二步：解的初步观察与平凡解

首先，我们总能找到一个“平凡解”：

\[ (x, y) = (\pm 1, 0) \]

对于任意非平方数 $d$，这都满足 $(\pm1)^2 - d \times 0^2 = 1$。

但佩尔方程有趣的地方在于，当 $d$ 不是平方数时，它存在无穷多组非平凡的整数解 $(x, y)$，其中 $y \neq 0$。

以 $d=2$ 为例，除了 $(3, 2)$，还有更大的解：
$ (17, 12): 17^2 - 2 \times 12^2 = 289 - 288 = 1$
$ (99, 70): 99^2 - 2 \times 70^2 = 9801 - 9800 = 1$

一个自然的问题是：这些解之间有规律吗？我们如何系统地找到它们？

第三步：将方程与代数数论联系起来

将方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 进行因式分解：

\[ (x - y\sqrt{d})(x + y\sqrt{d}) = 1 \]

这个形式启发我们考虑二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中的元素 $\alpha = x + y\sqrt{d}$。这个方程说的正是：代数整数 $\alpha$ 与其共轭 $\bar{\alpha} = x - y\sqrt{d}$ 的乘积（即其范数 $N(\alpha)$）等于 $1$。

在代数数论中，范数为1的代数整数被称为该数域的单位（unit）。因此，求解佩尔方程等价于在二次整数环 $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$（或当 $d \equiv 1 \mod 4$ 时为 $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{d})/2]$）中，寻找范数为 $+1$ 的单位元。

二次域的单位群结构由狄利克雷单位定理给出：对于实二次域（$d > 0$ 非平方），其单位群是秩为1的阿贝尔群，即存在一个基本单位 $\epsilon$，使得所有单位都可以写成 $\pm \epsilon^k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。

第四步：基本解与解的生成

对于佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$：

基本解：我们定义所有正整数解 $(x, y)$（即 $x>0, y>0$）中，使得 $x + y\sqrt{d}$ 最小的那个解，记为 $(x_1, y_1)$。它对应的代数整数 $\epsilon = x_1 + y_1\sqrt{d}$ 就是二次域单位群的基本单位（满足范数为 $+1$ 的那个）。
所有解：一旦找到了基本解 $(x_1, y_1)$，那么方程的所有正整数解 $(x_n, y_n)$ 可以由以下公式生成：

\[ x_n + y_n\sqrt{d} = (x_1 + y_1\sqrt{d})^n, \quad n = 1, 2, 3, \dots \]

换句话说，将基本解对应的代数整数不断自乘，其“实部”和“虚部（$\sqrt{d}$ 的系数）”就给出了佩尔方程的无穷多组解。

回到 $d=2$ 的例子：
基本解是 $(3, 2)$，对应 $\epsilon = 3 + 2\sqrt{2}$。

当 $n=2$ 时：$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$，得到解 $(17, 12)$。
当 $n=3$ 时：$(3 + 2\sqrt{2})^3 = (17+12\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 99 + 70\sqrt{2}$，得到解 $(99, 70)$。
这与我们之前列举的完全一致。

第五步：如何求解？——连分数法

那么，关键问题是如何求出基本解 $(x_1, y_1)$？最经典有效的方法是利用连分数。

定理：设 $\sqrt{d}$ 的简单连分数展开的循环节长度为 $l$。

如果 $l$ 是偶数，则基本解由 $\sqrt{d}$ 的渐近分数 $p_{l-1} / q_{l-1}$ 给出，即 $(x_1, y_1) = (p_{l-1}, q_{l-1})$。
如果 $l$ 是奇数，则基本解由 $\sqrt{d}$ 的渐近分数 $p_{2l-1} / q_{2l-1}$ 给出，即 $(x_1, y_1) = (p_{2l-1}, q_{2l-1})$。

以 $d=7$ 为例：
$\sqrt{7} = [2; \overline{1, 1, 1, 4}]$，循环节为 $[1, 1, 1, 4]$，长度 $l=4$（偶数）。
计算到循环节前的渐近分数：
$[2] = 2$
$[2;1] = 3$
$[2;1,1] = 5/2$
$[2;1,1,1] = 8/3$
由于 $l=4$ 为偶数，我们取 $l-1=3$ 处的渐近分数 $8/3$。
验证：$8^2 - 7 \times 3^2 = 64 - 63 = 1$。因此基本解为 $(8, 3)$。

这个方法之所以有效，是因为二次无理数的连分数展开是循环的，且其渐近分数给出了对 $\sqrt{d}$ 的最佳有理逼近。佩尔方程的解正是这些优秀逼近的精确体现。

第六步：相关变体与意义

负佩尔方程：方程 $x^2 - dy^2 = -1$。此方程不一定有解。当且仅当 $\sqrt{d}$ 的连分数展开的循环节长度 $l$ 为奇数时，该方程有整数解。其基本解和生成方式与标准佩尔方程类似。
更一般的形式：方程 $x^2 - dy^2 = N$（$N$ 为任意整数）。这被称为广义佩尔方程或佩尔型方程。它的解集更复杂，可能与多个解类（由 $N$ 的理想类决定）相关联，求解通常需要利用对应标准佩尔方程的基本解。
理论意义：佩尔方程是连接古典丢番图分析、连分数、代数数论（单位理论）和二元二次型理论的完美桥梁。它的理论为解决更一般的二元二次丢番图方程奠定了基础。

总结：佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 是一个看似简单却内涵深刻的方程。它的所有正整数解由一个基本解通过幂次生成，而这个基本解可以通过计算 $\sqrt{d}$ 的简单连分数展开来找到。该方程的解集结构清晰地揭示了实二次域单位群的无限循环特性。

好的，我们这次来讲解数论中一个经典且直观的概念。佩尔方程我们来循序渐进地讲解这个主题。第一步：基本定义与历史起源佩尔方程（Pell Equation），通常指形如 $$ x^2 - dy^2 = 1 $$ 的二元二次不定方程（也叫丢番图方程）。其中： $x$ 和 $y$ 是我们要找的未知整数解。 $d$ 是一个给定的正整数，并且不是完全平方数（即 $\sqrt{d}$ 是无理数）。如果 $d$ 是完全平方数，比如 $d = k^2$，那么方程变为 $x^2 - k^2 y^2 = (x - ky)(x + ky) = 1$，只有平凡的整数解 $x = \pm 1, y = 0$。为什么叫“佩尔方程”？这个命名是个历史误会。17世纪英国数学家约翰·佩尔（John Pell）其实并未深入研究它。欧拉在阅读沃利斯等人的著作时产生了混淆，将此方程归于佩尔名下，并流传至今。其实，更早的数学家如阿基米德、印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta）和婆什迦罗二世（Bhāskara II）都对这类方程有深入研究。最简单的例子：对于 $d = 2$，方程是 $x^2 - 2y^2 = 1$。你可以验证，$x = 3, y = 2$ 是一个解，因为 $3^2 - 2 \times 2^2 = 9 - 8 = 1$。第二步：解的初步观察与平凡解首先，我们总能找到一个“ 平凡解 ”： $$ (x, y) = (\pm 1, 0) $$ 对于任意非平方数 $d$，这都满足 $(\pm1)^2 - d \times 0^2 = 1$。但佩尔方程有趣的地方在于，当 $d$ 不是平方数时，它存在无穷多组非平凡的整数解 $(x, y)$，其中 $y \neq 0$。以 $d=2$ 为例，除了 $(3, 2)$，还有更大的解： $ (17, 12): 17^2 - 2 \times 12^2 = 289 - 288 = 1$ $ (99, 70): 99^2 - 2 \times 70^2 = 9801 - 9800 = 1$ 一个自然的问题是：这些解之间有规律吗？我们如何系统地找到它们？第三步：将方程与代数数论联系起来将方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 进行因式分解： $$ (x - y\sqrt{d})(x + y\sqrt{d}) = 1 $$ 这个形式启发我们考虑二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中的元素 $\alpha = x + y\sqrt{d}$。这个方程说的正是：代数整数 $\alpha$ 与其共轭 $\bar{\alpha} = x - y\sqrt{d}$ 的乘积（即其范数 $N(\alpha)$）等于 $1$。在代数数论中，范数为1的代数整数被称为该数域的单位（unit）。因此，求解佩尔方程等价于在二次整数环 $\mathbb{Z}[ \sqrt{d}]$（或当 $d \equiv 1 \mod 4$ 时为 $\mathbb{Z}[ (1+\sqrt{d})/2 ]$）中，寻找范数为 $+1$ 的单位元。二次域的单位群结构由狄利克雷单位定理给出：对于实二次域（$d > 0$ 非平方），其单位群是秩为1的阿贝尔群，即存在一个基本单位 $\epsilon$，使得所有单位都可以写成 $\pm \epsilon^k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。第四步：基本解与解的生成对于佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$：基本解：我们定义所有正整数解 $(x, y)$（即 $x>0, y>0$）中，使得 $x + y\sqrt{d}$ 最小的那个解，记为 $(x_ 1, y_ 1)$。它对应的代数整数 $\epsilon = x_ 1 + y_ 1\sqrt{d}$ 就是二次域单位群的基本单位（满足范数为 $+1$ 的那个）。所有解：一旦找到了基本解 $(x_ 1, y_ 1)$，那么方程的所有正整数解 $(x_ n, y_ n)$ 可以由以下公式生成： $$ x_ n + y_ n\sqrt{d} = (x_ 1 + y_ 1\sqrt{d})^n, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$ 换句话说，将基本解对应的代数整数不断自乘，其“实部”和“虚部（$\sqrt{d}$ 的系数）”就给出了佩尔方程的无穷多组解。回到 $d=2$ 的例子：基本解是 $(3, 2)$，对应 $\epsilon = 3 + 2\sqrt{2}$。当 $n=2$ 时：$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$，得到解 $(17, 12)$。当 $n=3$ 时：$(3 + 2\sqrt{2})^3 = (17+12\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 99 + 70\sqrt{2}$，得到解 $(99, 70)$。这与我们之前列举的完全一致。第五步：如何求解？——连分数法那么，关键问题是如何求出基本解 $(x_ 1, y_ 1)$？最经典有效的方法是利用连分数。定理：设 $\sqrt{d}$ 的简单连分数展开的循环节长度为 $l$。如果 $l$ 是偶数，则基本解由 $\sqrt{d}$ 的渐近分数 $p_ {l-1} / q_ {l-1}$ 给出，即 $(x_ 1, y_ 1) = (p_ {l-1}, q_ {l-1})$。如果 $l$ 是奇数，则基本解由 $\sqrt{d}$ 的渐近分数 $p_ {2l-1} / q_ {2l-1}$ 给出，即 $(x_ 1, y_ 1) = (p_ {2l-1}, q_ {2l-1})$。以 $d=7$ 为例： $\sqrt{7} = [ 2; \overline{1, 1, 1, 4}]$，循环节为 $[ 1, 1, 1, 4 ]$，长度 $l=4$（偶数）。计算到循环节前的渐近分数： $[ 2 ] = 2$ $[ 2;1 ] = 3$ $[ 2;1,1 ] = 5/2$ $[ 2;1,1,1 ] = 8/3$ 由于 $l=4$ 为偶数，我们取 $l-1=3$ 处的渐近分数 $8/3$。验证：$8^2 - 7 \times 3^2 = 64 - 63 = 1$。因此基本解为 $(8, 3)$。这个方法之所以有效，是因为二次无理数的连分数展开是循环的，且其渐近分数给出了对 $\sqrt{d}$ 的最佳有理逼近。佩尔方程的解正是这些优秀逼近的精确体现。第六步：相关变体与意义负佩尔方程：方程 $x^2 - dy^2 = -1$。此方程不一定有解。当且仅当 $\sqrt{d}$ 的连分数展开的循环节长度 $l$ 为奇数时，该方程有整数解。其基本解和生成方式与标准佩尔方程类似。更一般的形式：方程 $x^2 - dy^2 = N$（$N$ 为任意整数）。这被称为广义佩尔方程或佩尔型方程。它的解集更复杂，可能与多个解类（由 $N$ 的理想类决定）相关联，求解通常需要利用对应标准佩尔方程的基本解。理论意义：佩尔方程是连接古典丢番图分析、连分数、代数数论（单位理论）和二元二次型理论的完美桥梁。它的理论为解决更一般的二元二次丢番图方程奠定了基础。总结：佩尔方程 $x^2 - dy^2 = 1$ 是一个看似简单却内涵深刻的方程。它的所有正整数解由一个基本解通过幂次生成，而这个基本解可以通过计算 $\sqrt{d}$ 的简单连分数展开来找到。该方程的解集结构清晰地揭示了实二次域单位群的无限循环特性。