模的商模的Socle（基座）与Radical（根）的关系
字数 5230 2025-12-24 04:55:13

模的商模的Socle（基座）与Radical（根）的关系

我们来探讨模论中两个基本子模——Socle（基座）与Radical（根）——之间的关系。这对概念如同一个模的“底部”与“顶部”，它们之间存在深刻的对偶性，通过余根基（Cosocle）联系起来。

我将分步讲解，确保每一步都清晰准确。

第一步：回顾Socle与Radical的定义

我们首先明确两个核心概念。设 \(R\) 是一个环（通常假设含幺），\(M\) 是一个左 \(R\)-模。

  1. Radical（根）：记作 \(\operatorname{Rad}(M)\)，是 \(M\) 的所有极大子模的交集。如果 \(M\) 没有极大子模，则定义 \(\operatorname{Rad}(M) = M\)。直观上，它是模的“冗余部分”，商掉它后，模的结构变得更简单（半单或可除）。

  2. Socle（基座）：记作 \(\operatorname{Soc}(M)\)，是 \(M\) 的所有单子模（即不可约子模）的和。如果 \(M\) 没有单子模，则定义 \(\operatorname{Soc}(M) = 0\)。直观上，它是模的“基础部分”，由所有最简单的不可分构件生成。

关键点：\(\operatorname{Rad}(M)\) 关注的是“商模的简单性”（极大子模对应单商模），而 \(\operatorname{Soc}(M)\) 关注的是“子模的简单性”（单子模）。

第二步：引入对偶概念——余根基（Cosocle）

为了联系Socle和Radical，我们需要一个桥梁：商模的对偶概念。

  • 定义（余根基）：模 \(M\) 的余根基（Cosocle），有时记作 \(\operatorname{Cosoc}(M)\) 或 \(\operatorname{Soc}^*(M)\)，定义为 \(M\) 的所有单商模的直积的核的交，或者等价地，是 \(M\) 到其所有单商模的余积的核。
  • 更操作化的定义：\(\operatorname{Cosoc}(M) = \bigcap \{ \ker f \mid f: M \to S, \text{ 其中 } S \text{ 是单模} \}\)。
  • 核心性质：\(M / \operatorname{Cosoc}(M)\) 可以嵌入到一族单模的直积中（即它是余半单的，或称余可约的）。

注意：你已学过“模的余根基（Cosocle）的进一步刻画与性质”，这里我们直接使用其基本定义。

第三步：建立基本关系——对偶配对

现在我们可以揭示Socle与Radical的核心关系。这种关系在对偶范畴中最为清晰。

  1. 对偶陈述：
  • 对于模 \(M\)，考虑其在模范畴 \(R\text{-Mod}\) 中的性质。
  • 在对偶范畴（即右模范畴，或通过函子 \(\operatorname{Hom}_R(-, R)\) 等考虑）中，商模与子模的角色互换。
    • 因此，一个模的Socle，在某种对偶意义下，对应于其对偶模的Radical。更精确地说：

\[ \operatorname{Soc}(M) \cong \left( \frac{M^*}{\operatorname{Rad}(M^*)} \right)^* \quad \text{（在有限生成投射模等限制条件下更简洁）} \]

其中 \(M^* = \operatorname{Hom}_R(M, R)\) 或其他适当的对偶函子。

  1. 通过余根基的具体联系：
    • 一个更直接、不显式依赖对偶函子的关系是通过余根基：

\[ \operatorname{Soc}(M) \cong \operatorname{Hom}_R(R/\mathfrak{J}, M) \quad \text{和} \quad M/\operatorname{Rad}(M) \cong M \otimes_R R/\mathfrak{J} \]

其中 \(\mathfrak{J} = \operatorname{Rad}(R)\) 是环 \(R\) 的Jacobson根。但这主要适用于 \(R\) 是Artin代数等情形。

  • 核心的范畴对偶性：函子 \(\operatorname{Soc}\) 和 \(\operatorname{Rad}\) 是伴随对在某种意义上的体现。确切地说，考虑子模格与商模格，存在Galois联络：

\[ \operatorname{Soc}(M/N) \cong \frac{\operatorname{Soc}(M) + N}{N} \quad \text{和} \quad \operatorname{Rad}(M/N) = \frac{\operatorname{Rad}(M) + N}{N} \]

但更深的对偶体现在：\(\operatorname{Soc}(M)\) 是 \(M\) 中所有使得 \(M \to S\)（\(S\) 单）的态射的核的交的补结构（在适当意义下），而 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 中所有 \(S \to M\)（\(S\) 单）的态射的像的并的补结构。

第四步：关键同构——Socle与对偶模的Radical之商

在较好的有限性条件下，有非常具体的关系。

  • 定理：设 \(R\) 是左Artin环，\(M\) 是有限生成左 \(R\)-模。令 \((-)^* = \operatorname{Hom}_R(-, R)\) 或更一般地 \(\operatorname{Hom}_R(-, I)\) 其中 \(I\) 是内射上生成子（如 \(R\) 的极小内射上生成子）。则存在自然同构：

\[ \operatorname{Soc}(M) \cong \left( \frac{M^*}{\operatorname{Rad}(M^*)} \right)^*. \]

**解释**：
  1. 先对 \(M\) 取对偶模 \(M^*\)（此时是右模）。
  2. 取 \(M^*\) 的Radical（即所有极大子模的交）。
  3. 再取商模 \(M^* / \operatorname{Rad}(M^*)\)，这是一个半单模（因为Artin环上有限生成模商掉根后是半单的）。
  4. 对这个半单模再取一次对偶，结果自然同构于原模 \(M\) 的Socle。
  • 直观理解：这个定理表明，Socle捕捉的是模的“对偶半单部分”。Radical商掉的是“对偶的冗余部分”，而Socle提取的是“自身的不可分基础部分”，在对偶操作下它们相互对应。

第五步：在特殊环类中的具体表现

这种关系在某些环上表现得特别整齐。

  1. 群代数（\(R = kG\)，\(k\) 域，\(G\) 有限群）：
  • 由于 \(kG\) 是Frobenius代数（甚至对称代数），对偶函子 \((-)^* = \operatorname{Hom}_k(-, k)\) 是自同构的。
  • 此时有 \(\operatorname{Soc}(M) \cong (M^* / \operatorname{Rad}(M^*))^*\) 更简洁的形式，且 \(\operatorname{Soc}(M)\) 与 \(M/\operatorname{Rad}(M)\) 作为 \(k\)-向量空间维数相同（因为单模与不可约表示一一对应，且对偶保持单模性）。
  1. 局部环（\((R, \mathfrak{m}, k)\)）：
  • 设 \(R\) 是交换Noether局部环，剩余域为 \(k\)。
  • 对有限生成模 \(M\)，有 \(\operatorname{Soc}(M) \cong \operatorname{Hom}_R(k, M)\)（因为 \(\mathfrak{m} \cdot \operatorname{Soc}(M) = 0\)）。
  • 同时，\(M/\operatorname{Rad}(M) = M/\mathfrak{m}M \cong M \otimes_R k\)。
  • 关系体现为：\(\operatorname{Soc}(M)\) 是 \(M\) 中所有能被 \(k\)（作为 \(R\)-模）映射进来的元素，而 \(M/\mathfrak{m}M\) 是 \(M\) 被 \(k\)（作为 \(R\)-模）映射出去得到的商。通过Matlis对偶（若 \(R\) 完备），它们严格对偶。
  1. 自内射代数（如Frobenius代数）：
    • 此时内射模与投射模重合，对偶性更强。
  • 有 \(\operatorname{Soc}(P) \cong P/\operatorname{Rad}(P)\) 对主不可分解模 \(P\) 成立（作为单模的同构，未必是模同构）。
  • 更一般地，\(\operatorname{Soc}(M)\) 和 \(M/\operatorname{Rad}(M)\) 的不可约分解成分（即单模的种类和重数）相同，这称为Socle级数与Radical级数的对偶性。

第六步：应用——判定模的性质

这种对偶关系是研究模结构的有力工具。

  1. 判定半单性：
  • \(M\) 是半单模当且仅当 \(\operatorname{Rad}(M) = 0\) 且 \(\operatorname{Cosoc}(M) = M\)（即所有单商模分离点）。而 \(\operatorname{Soc}(M) = M\) 当且仅当 \(M\) 是半单的。
  • 实际上，\(\operatorname{Soc}(M) = M\) 意味着 \(M\) 是半单的；\(\operatorname{Rad}(M) = 0\) 意味着 \(M\) 是余半单的（可嵌入单模直积）。在有限长度模下，两者等价。
  1. 判定不可约性：
  • \(M\) 是不可约模（单模）当且仅当 \(\operatorname{Soc}(M) = M\) 且 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 的惟一极大子模（此时 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是真子模）。
  1. 长度与对偶：
  • 对有限长度模 \(M\)，考虑其合成列 \(0 = M_0 \subset M_1 \subset \cdots \subset M_n = M\)，其中 \(M_i/M_{i-1}\) 是单模。
  • 则 \(\operatorname{Soc}(M)\) 包含所有首次出现的单模（即 \(M_1\)），而 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是最后一个非零商单模的核（即 \(M_{n-1}\)）。
  • 对偶地，\(\operatorname{Soc}(M)\) 的合成因子对应 \(M/\operatorname{Rad}(M)\) 的合成因子，但顺序相反（在适当对偶下同构）。

第七步：总结与推广

  • 核心思想：模 \(M\) 的 Socle 和 Radical 通过余根基和对偶函子联系在一起，体现了子模与商模、单模与余单模之间的范畴对偶性。
  • 关键公式（在良好条件下）：\(\operatorname{Soc}(M) \cong (M^* / \operatorname{Rad}(M^*))^*\)。
  • 重要意义：在表示论（尤其是有限群模表示、代数群表示）和同调代数中，这一对偶关系是分析模结构、证明对偶定理（如Nakayama引理的对偶版本）以及研究不可分解模的基础工具。
  • 推广：在三角范畴或稳定范畴中，Radical对应着极大态射理想，Socle对应着单对象的直和，这种对偶性推广为Auslander-Reiten理论中的 Auslander-Reiten对偶：\(\operatorname{Hom}_A(M, N) \cong D \overline{\operatorname{Hom}}_A(N, \tau M)\)，其中 \(\tau\) 是Auslander-Reiten平移，\(D\) 是对偶函子。这本质上是Socle-Radical关系在导出层次上的深刻体现。
模的商模的Socle（基座）与Radical（根）的关系 我们来探讨模论中两个基本子模——Socle（基座）与Radical（根）——之间的关系。这对概念如同一个模的“底部”与“顶部”，它们之间存在深刻的对偶性，通过余根基（Cosocle）联系起来。 我将分步讲解，确保每一步都清晰准确。 第一步：回顾Socle与Radical的定义 我们首先明确两个核心概念。设 \( R \) 是一个环（通常假设含幺），\( M \) 是一个左 \( R \)-模。 Radical（根） ：记作 \( \operatorname{Rad}(M) \)，是 \( M \) 的所有 极大子模 的交集。如果 \( M \) 没有极大子模，则定义 \( \operatorname{Rad}(M) = M \)。直观上，它是模的“冗余部分”，商掉它后，模的结构变得更简单（半单或可除）。 Socle（基座） ：记作 \( \operatorname{Soc}(M) \)，是 \( M \) 的所有 单子模 （即不可约子模）的和。如果 \( M \) 没有单子模，则定义 \( \operatorname{Soc}(M) = 0 \)。直观上，它是模的“基础部分”，由所有最简单的不可分构件生成。 关键点 ：\( \operatorname{Rad}(M) \) 关注的是“商模的简单性”（极大子模对应单商模），而 \( \operatorname{Soc}(M) \) 关注的是“子模的简单性”（单子模）。 第二步：引入对偶概念——余根基（Cosocle） 为了联系Socle和Radical，我们需要一个桥梁：商模的对偶概念。 定义（余根基） ：模 \( M \) 的 余根基 （Cosocle），有时记作 \( \operatorname{Cosoc}(M) \) 或 \( \operatorname{Soc}^* (M) \)，定义为 \( M \) 的所有 单商模 的直积的核的交，或者等价地，是 \( M \) 到其所有单商模的余积的核。 更操作化的定义：\( \operatorname{Cosoc}(M) = \bigcap \{ \ker f \mid f: M \to S, \text{ 其中 } S \text{ 是单模} \} \)。 核心性质 ：\( M / \operatorname{Cosoc}(M) \) 可以嵌入到一族单模的直积中（即它是 余半单 的，或称 余可约 的）。 注意 ：你已学过“模的余根基（Cosocle）的进一步刻画与性质”，这里我们直接使用其基本定义。 第三步：建立基本关系——对偶配对 现在我们可以揭示Socle与Radical的核心关系。这种关系在对偶范畴中最为清晰。 对偶陈述 ： 对于模 \( M \)，考虑其在模范畴 \( R\text{-Mod} \) 中的性质。 在对偶范畴（即右模范畴，或通过函子 \( \operatorname{Hom}_ R(-, R) \) 等考虑）中，商模与子模的角色互换。 因此， 一个模的Socle，在某种对偶意义下，对应于其对偶模的Radical 。更精确地说： \[ \operatorname{Soc}(M) \cong \left( \frac{M^ }{\operatorname{Rad}(M^ )} \right)^* \quad \text{（在有限生成投射模等限制条件下更简洁）} \] 其中 \( M^* = \operatorname{Hom}_ R(M, R) \) 或其他适当的对偶函子。 通过余根基的具体联系 ： 一个更直接、不显式依赖对偶函子的关系是通过余根基： \[ \operatorname{Soc}(M) \cong \operatorname{Hom}_ R(R/\mathfrak{J}, M) \quad \text{和} \quad M/\operatorname{Rad}(M) \cong M \otimes_ R R/\mathfrak{J} \] 其中 \( \mathfrak{J} = \operatorname{Rad}(R) \) 是环 \( R \) 的Jacobson根。但这主要适用于 \( R \) 是Artin代数等情形。 核心的范畴对偶性 ：函子 \( \operatorname{Soc} \) 和 \( \operatorname{Rad} \) 是 伴随对 在某种意义上的体现。确切地说，考虑子模格与商模格，存在Galois联络： \[ \operatorname{Soc}(M/N) \cong \frac{\operatorname{Soc}(M) + N}{N} \quad \text{和} \quad \operatorname{Rad}(M/N) = \frac{\operatorname{Rad}(M) + N}{N} \] 但更深的对偶体现在：\( \operatorname{Soc}(M) \) 是 \( M \) 中所有使得 \( M \to S \)（\( S \) 单）的态射的核的交的补结构（在适当意义下），而 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 中所有 \( S \to M \)（\( S \) 单）的态射的像的并的补结构。 第四步：关键同构——Socle与对偶模的Radical之商 在较好的有限性条件下，有非常具体的关系。 定理 ：设 \( R \) 是左Artin环，\( M \) 是有限生成左 \( R \)-模。令 \( (-)^* = \operatorname{Hom}_ R(-, R) \) 或更一般地 \( \operatorname{Hom}_ R(-, I) \) 其中 \( I \) 是内射上生成子（如 \( R \) 的极小内射上生成子）。则存在自然同构： \[ \operatorname{Soc}(M) \cong \left( \frac{M^ }{\operatorname{Rad}(M^ )} \right)^* . \] 解释 ： 先对 \( M \) 取对偶模 \( M^* \)（此时是右模）。 取 \( M^* \) 的Radical（即所有极大子模的交）。 再取商模 \( M^* / \operatorname{Rad}(M^* ) \)，这是一个半单模（因为Artin环上有限生成模商掉根后是半单的）。 对这个半单模再取一次对偶，结果自然同构于原模 \( M \) 的Socle。 直观理解 ：这个定理表明， Socle捕捉的是模的“对偶半单部分” 。Radical商掉的是“对偶的冗余部分”，而Socle提取的是“自身的不可分基础部分”，在对偶操作下它们相互对应。 第五步：在特殊环类中的具体表现 这种关系在某些环上表现得特别整齐。 群代数 （\( R = kG \)，\( k \) 域，\( G \) 有限群）： 由于 \( kG \) 是Frobenius代数（甚至对称代数），对偶函子 \( (-)^* = \operatorname{Hom}_ k(-, k) \) 是自同构的。 此时有 \( \operatorname{Soc}(M) \cong (M^* / \operatorname{Rad}(M^ ))^ \) 更简洁的形式，且 \( \operatorname{Soc}(M) \) 与 \( M/\operatorname{Rad}(M) \) 作为 \( k \)-向量空间维数相同（因为单模与不可约表示一一对应，且对偶保持单模性）。 局部环 （\( (R, \mathfrak{m}, k) \)）： 设 \( R \) 是交换Noether局部环，剩余域为 \( k \)。 对有限生成模 \( M \)，有 \( \operatorname{Soc}(M) \cong \operatorname{Hom}_ R(k, M) \)（因为 \( \mathfrak{m} \cdot \operatorname{Soc}(M) = 0 \)）。 同时，\( M/\operatorname{Rad}(M) = M/\mathfrak{m}M \cong M \otimes_ R k \)。 关系体现为：\( \operatorname{Soc}(M) \) 是 \( M \) 中所有能被 \( k \)（作为 \( R \)-模）映射进来的元素，而 \( M/\mathfrak{m}M \) 是 \( M \) 被 \( k \)（作为 \( R \)-模）映射出去得到的商。通过Matlis对偶（若 \( R \) 完备），它们严格对偶。 自内射代数 （如Frobenius代数）： 此时内射模与投射模重合，对偶性更强。 有 \( \operatorname{Soc}(P) \cong P/\operatorname{Rad}(P) \) 对主不可分解模 \( P \) 成立（作为单模的同构，未必是模同构）。 更一般地，\( \operatorname{Soc}(M) \) 和 \( M/\operatorname{Rad}(M) \) 的不可约分解成分（即单模的种类和重数）相同，这称为 Socle级数与Radical级数的对偶性 。 第六步：应用——判定模的性质 这种对偶关系是研究模结构的有力工具。 判定半单性 ： \( M \) 是半单模当且仅当 \( \operatorname{Rad}(M) = 0 \) 且 \( \operatorname{Cosoc}(M) = M \)（即所有单商模分离点）。而 \( \operatorname{Soc}(M) = M \) 当且仅当 \( M \) 是半单的。 实际上，\( \operatorname{Soc}(M) = M \) 意味着 \( M \) 是半单的；\( \operatorname{Rad}(M) = 0 \) 意味着 \( M \) 是余半单的（可嵌入单模直积）。在有限长度模下，两者等价。 判定不可约性 ： \( M \) 是不可约模（单模）当且仅当 \( \operatorname{Soc}(M) = M \) 且 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 的惟一极大子模（此时 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是真子模）。 长度与对偶 ： 对有限长度模 \( M \)，考虑其合成列 \( 0 = M_ 0 \subset M_ 1 \subset \cdots \subset M_ n = M \)，其中 \( M_ i/M_ {i-1} \) 是单模。 则 \( \operatorname{Soc}(M) \) 包含所有首次出现的单模（即 \( M_ 1 \)），而 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是最后一个非零商单模的核（即 \( M_ {n-1} \)）。 对偶地，\( \operatorname{Soc}(M) \) 的合成因子对应 \( M/\operatorname{Rad}(M) \) 的合成因子，但顺序相反（在适当对偶下同构）。 第七步：总结与推广 核心思想 ：模 \( M \) 的 Socle 和 Radical 通过余根基和对偶函子联系在一起，体现了子模与商模、单模与余单模之间的范畴对偶性。 关键公式 （在良好条件下）：\( \operatorname{Soc}(M) \cong (M^* / \operatorname{Rad}(M^ ))^ \)。 重要意义 ：在表示论（尤其是有限群模表示、代数群表示）和同调代数中，这一对偶关系是分析模结构、证明对偶定理（如Nakayama引理的对偶版本）以及研究不可分解模的基础工具。 推广 ：在三角范畴或稳定范畴中，Radical对应着 极大态射理想 ，Socle对应着 单对象 的直和，这种对偶性推广为 Auslander-Reiten理论 中的 Auslander-Reiten对偶 ：\( \operatorname{Hom}_ A(M, N) \cong D \overline{\operatorname{Hom}}_ A(N, \tau M) \)，其中 \( \tau \) 是Auslander-Reiten平移，\( D \) 是对偶函子。这本质上是Socle-Radical关系在导出层次上的深刻体现。