平行线在仿射几何中的性质
字数 2641 2025-12-24 01:17:53

平行线在仿射几何中的性质

好的，我们先明确核心概念。在您已学过的“平行线”条目中，我们讨论了一般几何背景下的定义。在“平行线在射影几何中的性质”中，您了解了平行线被视为在无穷远处相交。在“平行线在微分几何中的推广”中，我们进入了更结构化的曲面论。现在，我们进入仿射几何这一中间且至关重要的领域，探讨平行性在此框架下独特而基础的性质。

第一步：回顾与定位——什么是仿射几何？

仿射几何是位于欧氏几何和射影几何之间的一种几何。我们可以通过“保留什么”来理解它：

  1. 欧氏几何：研究在等距变换（旋转、平移、反射）下不变的图形性质，如长度、角度、面积。
  2. 仿射几何：研究在仿射变换下不变的图形性质。仿射变换是更广泛的一类变换。
  3. 射影几何：研究在射影变换下不变的图形性质，如共线、交比，平行性不再保持。

仿射变换可以理解为线性变换（如伸缩、剪切、旋转）与平移的复合。在笛卡尔坐标系下，其一般形式为：

\[\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \]

其中，矩阵 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 是可逆的（行列式不为零）。这个可逆条件保证了变换是一一对应，且将直线仍变为直线。

关键：仿射变换不保持长度和角度（因此不是等距变换），但它保持直线的平行性、共线性、比例分割等性质。

第二步：平行性的仿射不变性——核心定理

在仿射几何中，“平行”是一个核心的、不变的概念。这可以用以下定理严格表述：

定理：设 \(L_1\) 和 \(L_2\) 是平面上的两条平行直线。对任意一个仿射变换 \(T\)，它们的像 \(T(L_1)\) 和 \(T(L_2)\) 仍然是两条平行直线。

证明思路（几何直观）：
假设 \(L_1 // L_2\) 但 \(T(L_1)\) 与 \(T(L_2)\) 不平行，则在仿射变换后的平面上相交于一点 \(P'\)。由于仿射变换可逆，其逆变换 \(T^{-1}\) 也是仿射变换。将 \(P'\) 通过 \(T^{-1}\) 变回去，会得到 \(L_1\) 和 \(L_2\) 的一个交点，这与 \(L_1 // L_2\) 矛盾。因此，平行性在仿射变换下必须保持不变。

这个性质是仿射几何与射影几何的根本区别之一。在射影几何中，通过引入“无穷远直线”，所有直线都相交，平行性不再是一个内蕴性质。

第三步：平行性导出的基本仿射不变量

基于平行性的不变性，我们可以定义一些在仿射变换下保持不变的几何量，它们是欧氏几何中概念的推广。

  1. 平行线段的比例：
    在一条直线上，三个共线点 \(A, B, C\) 的单比 \((A, B; C)\) 定义为有向线段之比 \(AC/BC\)。仿射变换保持这个比例值。这是著名的“共线三点的简单比是仿射不变量”。

  2. 平行线截线段成比例：
    更为人熟知的是：如果一组平行线被两条直线所截，那么它们在两条直线上截得的线段长度成比例。这个性质在仿射变换下完全保持。因为仿射变换保持平行性和共线性比例。

  3. 中点与平行线：
    一条线段的中点是其上到两端点距离相等的点。虽然“距离相等”不是仿射概念，但“中点”可以重新用仿射语言定义：点 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点，当且仅当对于任意通过 \(M\) 的直线，若与通过 \(A, B\) 的某对平行线相交，则交点对称。可以证明，仿射变换将线段的中点映射为像线段的中点。更一般地，它将所有等分点按相同比例映射。

第四步：图形性质的仿射分类

由于平行性保持不变，许多图形的“平行特征”成为其仿射等价类的判据。

  1. 平行四边形：

    • 在欧氏几何中，平行四边形定义为对边平行且相等的四边形。
    • 在仿射几何中，我们只保留“对边平行”这一条。因为“相等”涉及长度，不是仿射概念。
    • 定理：任意平行四边形都可以通过一个仿射变换变成正方形。因此，所有平行四边形在仿射几何中是等价的。正方形、矩形、菱形、一般的平行四边形，在仿射观点下没有区别。

  2. 三角形与中线：

    • 三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段。
    • 仿射变换将三角形变为三角形，将边的中点变为对应边的中点，因此将中线变为中线。
    • 重要的仿射不变量：三条中线交于一点（重心）。这个性质是仿射不变的，因为它的证明只依赖于中点的定义和平行线截割比例定理，不涉及长度和角度。

  3. 梯形：
    梯形定义为至少有一组对边平行的四边形。这个性质（“有一组对边平行”）是仿射不变的，所以梯形在仿射变换下仍变为梯形。

第五步：平行性与仿射坐标架的建立

仿射几何的整个坐标系基础，依赖于平行性。

  • 在欧氏几何中，我们使用笛卡尔直角坐标系，其坐标轴垂直，单位长度相同。垂直和单位长都依赖于角度和长度。
  • 在仿射几何中，我们使用仿射坐标系（或斜角坐标系）。它由一个原点 \(O\) 和两个不共线的向量 \(\vec{e_1}, \vec{e_2}\) 决定。平面上任一点 \(P\) 的坐标 \((x, y)\) 由 \(\overrightarrow{OP} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2}\) 唯一确定。
  • 这里的“坐标线”（即 \(x=\) 常数 和 \(y=\) 常数的直线）是两组平行线。平行性的不变性，保证了仿射变换在这种坐标系下，形式上正是第一步中给出的那个线性部分加平移的形式。

总结：
在仿射几何中，平行性是一个基石性质。它的不变性使得：

  1. 它严格地区分了仿射几何（保持平行）和射影几何（不保持平行）。
  2. 它衍生出如简单比、线段中点、平行截割比例等一系列重要的仿射不变量。
  3. 它决定了图形的仿射分类（如所有平行四边形等价）。
  4. 它构成了仿射坐标系的理论基础。

因此，平行线在仿射几何中的核心性质就是：它是仿射变换下的不变关系，是构建整个仿射几何理论最基本的结构要素之一。这与您在欧氏几何中对平行线的直观理解一脉相承，但剥离了距离和角度的度量属性，使其成为更纯粹的一种“线性”关系。

平行线在仿射几何中的性质 好的，我们先明确核心概念。在您已学过的“平行线”条目中，我们讨论了一般几何背景下的定义。在“平行线在射影几何中的性质”中，您了解了平行线被视为在无穷远处相交。在“平行线在微分几何中的推广”中，我们进入了更结构化的曲面论。现在，我们进入 仿射几何 这一中间且至关重要的领域，探讨平行性在此框架下独特而基础的性质。 第一步：回顾与定位——什么是仿射几何？ 仿射几何是位于欧氏几何和射影几何之间的一种几何。我们可以通过“保留什么”来理解它： 欧氏几何 ：研究在 等距变换 （旋转、平移、反射）下不变的图形性质，如长度、角度、面积。 仿射几何 ：研究在 仿射变换 下不变的图形性质。仿射变换是更广泛的一类变换。 射影几何 ：研究在 射影变换 下不变的图形性质，如共线、交比，平行性不再保持。 仿射变换 可以理解为线性变换（如伸缩、剪切、旋转）与平移的复合。在笛卡尔坐标系下，其一般形式为： \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \] 其中，矩阵 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 是 可逆的 （行列式不为零）。这个可逆条件保证了变换是一一对应，且将直线仍变为直线。 关键 ：仿射变换 不保持 长度和角度（因此不是等距变换），但它 保持 直线的平行性、共线性、比例分割等性质。 第二步：平行性的仿射不变性——核心定理 在仿射几何中， “平行”是一个核心的、不变的概念 。这可以用以下定理严格表述： 定理 ：设 \(L_ 1\) 和 \(L_ 2\) 是平面上的两条平行直线。对任意一个仿射变换 \(T\)，它们的像 \(T(L_ 1)\) 和 \(T(L_ 2)\) 仍然是两条平行直线。 证明思路（几何直观） ： 假设 \(L_ 1 // L_ 2\) 但 \(T(L_ 1)\) 与 \(T(L_ 2)\) 不平行，则在仿射变换后的平面上相交于一点 \(P'\)。由于仿射变换可逆，其逆变换 \(T^{-1}\) 也是仿射变换。将 \(P'\) 通过 \(T^{-1}\) 变回去，会得到 \(L_ 1\) 和 \(L_ 2\) 的一个交点，这与 \(L_ 1 // L_ 2\) 矛盾。因此，平行性在仿射变换下必须保持不变。 这个性质是仿射几何与射影几何的根本区别之一。在射影几何中，通过引入“无穷远直线”，所有直线都相交，平行性不再是一个内蕴性质。 第三步：平行性导出的基本仿射不变量 基于平行性的不变性，我们可以定义一些在仿射变换下保持不变的几何量，它们是欧氏几何中概念的推广。 平行线段的比例 ： 在一条直线上，三个共线点 \(A, B, C\) 的 单比 \((A, B; C)\) 定义为有向线段之比 \(AC/BC\)。仿射变换保持这个比例值。这是著名的“ 共线三点的简单比是仿射不变量 ”。 平行线截线段成比例 ： 更为人熟知的是：如果一组平行线被两条直线所截，那么它们在两条直线上截得的线段长度成比例。这个性质在仿射变换下完全保持。因为仿射变换保持平行性和共线性比例。 中点与平行线 ： 一条线段的中点是其上到两端点距离相等的点。虽然“距离相等”不是仿射概念，但“中点”可以重新用仿射语言定义： 点 \(M\) 是线段 \(AB\) 的中点，当且仅当对于任意通过 \(M\) 的直线，若与通过 \(A, B\) 的某对平行线相交，则交点对称 。可以证明，仿射变换将线段的中点映射为像线段的中点。更一般地，它将所有 等分点 按相同比例映射。 第四步：图形性质的仿射分类 由于平行性保持不变，许多图形的“平行特征”成为其仿射等价类的判据。 平行四边形 ： 在欧氏几何中，平行四边形定义为对边平行且相等的四边形。 在仿射几何中，我们只保留“对边平行”这一条。因为“相等”涉及长度，不是仿射概念。 定理 ：任意平行四边形都可以通过一个仿射变换变成正方形。因此， 所有平行四边形在仿射几何中是等价的 。正方形、矩形、菱形、一般的平行四边形，在仿射观点下没有区别。 三角形与中线 ： 三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段。 仿射变换将三角形变为三角形，将边的中点变为对应边的中点，因此将中线变为中线。 重要的仿射不变量 ： 三条中线交于一点（重心） 。这个性质是仿射不变的，因为它的证明只依赖于中点的定义和平行线截割比例定理，不涉及长度和角度。 梯形 ： 梯形定义为至少有一组对边平行的四边形。这个性质（“有一组对边平行”）是仿射不变的，所以梯形在仿射变换下仍变为梯形。 第五步：平行性与仿射坐标架的建立 仿射几何的整个坐标系基础，依赖于平行性。 在欧氏几何中，我们使用 笛卡尔直角坐标系 ，其坐标轴垂直，单位长度相同。垂直和单位长都依赖于角度和长度。 在仿射几何中，我们使用 仿射坐标系 （或斜角坐标系）。它由一个原点 \(O\) 和两个 不共线 的向量 \(\vec{e_ 1}, \vec{e_ 2}\) 决定。平面上任一点 \(P\) 的坐标 \((x, y)\) 由 \( \overrightarrow{OP} = x\vec{e_ 1} + y\vec{e_ 2} \) 唯一确定。 这里的“坐标线”（即 \(x=\) 常数 和 \(y=\) 常数的直线）是 两组平行线 。平行性的不变性，保证了仿射变换在这种坐标系下，形式上正是第一步中给出的那个线性部分加平移的形式。 总结 ： 在仿射几何中， 平行性 是一个基石性质。它的不变性使得： 它严格地区分了仿射几何（保持平行）和射影几何（不保持平行）。 它衍生出如 简单比、线段中点、平行截割比例 等一系列重要的仿射不变量。 它决定了图形的仿射分类（如所有平行四边形等价）。 它构成了仿射坐标系的理论基础。 因此，平行线在仿射几何中的核心性质就是： 它是仿射变换下的不变关系，是构建整个仿射几何理论最基本的结构要素之一 。这与您在欧氏几何中对平行线的直观理解一脉相承，但剥离了距离和角度的度量属性，使其成为更纯粹的一种“线性”关系。