黎曼ζ函数的解析延拓与函数方程
字数 2851 2025-12-24 00:12:21

黎曼ζ函数的解析延拓与函数方程

我们开始讲解这个在数理分析中极其核心且影响深远的概念。我会从最基础的定义开始，逐步深入，直到其深刻的解析性质。

步骤一：基本定义与最初的困惑

首先，我们定义黎曼ζ函数。对于实部大于1的复数 \(s = \sigma + it\)（即 \(\text{Re}(s) = \sigma > 1\)），它由一个无穷级数定义：

\[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}。 \]

这里，\(n^s = e^{s \ln n}\)。当 \(s\) 是大于1的实数时，这就是我们熟知的p-级数，且该级数绝对收敛。例如，\(\zeta(2) = \pi^2/6\)。

最初的困惑：这个定义仅在 \(\text{Re}(s) > 1\) 时有效。当 \(\text{Re}(s) \le 1\) 时，级数发散。然而，我们知道许多重要的数学问题（如素数分布）与ζ函数在所有复数平面上的行为紧密相关。这就引出了核心问题：我们能否将 \(\zeta(s)\) 的定义“扩展”到整个复平面？ 这个过程就是解析延拓。

步骤二：通向延拓的关键工具——狄利克雷η函数与欧拉积分

为了突破 \(\text{Re}(s) > 1\) 的限制，我们需要找到 \(\zeta(s)\) 在更大区域上的等价表达式。

一个巧妙的方法是引入交替级数版本，即狄利克雷η函数（有时也叫作交错ζ函数）：

\[\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots， \quad (\text{Re}(s) > 0)。 \]

可以证明，当 \(\text{Re}(s) > 0\) 时，这个交错级数是条件收敛的（通过阿贝尔判别法）。并且，它与 \(\zeta(s)\) 有一个简单的关系：

\[\eta(s) = (1 - 2^{1-s}) \zeta(s)。 \]

这个等式在 \(\text{Re}(s) > 1\) 时显然成立，但关键在于，右边的 \(\eta(s)\) 已经在更大的区域 \(\text{Re}(s) > 0\) 上有定义了（除了使 \(1 - 2^{1-s} = 0\) 的点）。因此，我们可以用这个等式来“定义” \(\zeta(s)\) 当 \(\text{Re}(s) > 0\) 且 \(s \ne 1\) 时：

\[\zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}。 \]

这已经将 \(\zeta(s)\) 的定义域从 \(\text{Re}(s) > 1\) 扩大到了 \(\text{Re}(s) > 0\)。

步骤三：完整的解析延拓与黎曼的积分表示

黎曼本人给出了一个更强大、更对称的表达式，它可以将 \(\zeta(s)\) 延拓到整个复平面（除了一个简单的极点）。

他利用了Γ函数（你已经学过）和围道积分。关键公式是：

\[\zeta(s) = \frac{\Gamma(1-s)}{2\pi i} \int_C \frac{(-z)^{s-1}}{e^z - 1} \, dz。 \]

这里，\(C\) 是一个从正无穷上方、环绕原点（但不穿过其他奇点）、再回到正无穷下方的 Hankel 围道。这个积分对所有复数 \(s\) 都收敛并定义了一个全纯函数。

从这个表达式（或通过其他方法，如函数方程）可以得出以下重要结论：

  1. 唯一的奇点：\(\zeta(s)\) 在整个复平面上是亚纯函数。它只有一个极点，位于 \(s = 1\)，是一个一阶极点，留数为1。也就是说，在 \(s=1\) 附近，\(\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + \cdots\)（\(\gamma\) 是欧拉常数）。
  2. 平凡零点：从上述积分表示或函数方程（下一步讲）可以立刻看出，\(\zeta(s)\) 在负偶数 \(s = -2, -4, -6, \dots\) 处有零点。这些零点称为平凡零点。

步骤四：对称之美——函数方程

解析延拓后的黎曼ζ函数满足一个极其优美和强大的对称关系，称为函数方程：

\[\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)。 \]

为了更显对称，常引入黎曼ξ函数：

\[\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)。 \]

那么，函数方程简化为：

\[\xi(s) = \xi(1-s)。 \]

这意味着函数 \(\xi(s)\) 关于直线 \(\text{Re}(s) = 1/2\) 完全对称。

函数方程的深刻含义：

  • 对称性：它将 \(\zeta(s)\) 在区域 \(\text{Re}(s) < 0\)（由平凡零点主导）的值与在关键区域 \(0 < \text{Re}(s) < 1\)（称为临界带）的值联系起来。
  • 确定非平凡零点的位置：由函数方程和 \(\zeta(s)\) 的某些性质（如实值性）可以证明，所有非平凡零点（即不是负偶数的零点）必须位于临界带 \(0 < \text{Re}(s) < 1\) 内。黎曼猜想更激进地断言：所有非平凡零点的实部都是 1/2，即都位于临界带中心的竖直线（临界线）上。

步骤五：总结与意义

让我们梳理一下黎曼ζ函数解析延拓后的全貌：

  1. 定义域：从最初的级数定义域 \(\text{Re}(s) > 1\)，通过解析延拓，成为了定义在整个复平面 \(\mathbb{C}\) 上的亚纯函数。
  2. 奇点：唯一的奇点是 \(s=1\) 处的一阶极点。
  3. 零点：
  • 平凡零点：位于 \(s = -2, -4, -6, \dots\)。
  • 非平凡零点：位于临界带 \(0 < \text{Re}(s) < 1\) 内。它们的分布是数论的核心谜题。
  1. 核心对称性：由函数方程 \(\xi(s) = \xi(1-s)\) 描述。

为什么如此重要？
因为通过解析延拓得到的这个全局复变函数，其性质（尤其是非平凡零点的分布）与素数分布（由黎曼本人证明的素数精确公式所揭示）有着深刻且精确的联系。这使得复分析成为了研究数论最深刻问题的强大工具，也是整个现代解析数论的基石。

黎曼ζ函数的解析延拓与函数方程 我们开始讲解这个在数理分析中极其核心且影响深远的概念。我会从最基础的定义开始，逐步深入，直到其深刻的解析性质。 步骤一：基本定义与最初的困惑 首先，我们定义 黎曼ζ函数 。对于实部大于1的复数 \( s = \sigma + it \)（即 \( \text{Re}(s) = \sigma > 1 \)），它由一个无穷级数定义： \[ \zeta(s) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}。 \] 这里，\( n^s = e^{s \ln n} \)。当 \( s \) 是大于1的实数时，这就是我们熟知的p-级数，且该级数绝对收敛。例如，\( \zeta(2) = \pi^2/6 \)。 最初的困惑 ：这个定义仅在 \( \text{Re}(s) > 1 \) 时有效。当 \( \text{Re}(s) \le 1 \) 时，级数发散。然而，我们知道许多重要的数学问题（如素数分布）与ζ函数在所有复数平面上的行为紧密相关。这就引出了核心问题： 我们能否将 \( \zeta(s) \) 的定义“扩展”到整个复平面？ 这个过程就是 解析延拓 。 步骤二：通向延拓的关键工具——狄利克雷η函数与欧拉积分 为了突破 \( \text{Re}(s) > 1 \) 的限制，我们需要找到 \( \zeta(s) \) 在更大区域上的等价表达式。 一个巧妙的方法是引入 交替级数 版本，即狄利克雷η函数（有时也叫作交错ζ函数）： \[ \eta(s) = \sum_ {n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = 1 - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \cdots， \quad (\text{Re}(s) > 0)。 \] 可以证明，当 \( \text{Re}(s) > 0 \) 时，这个交错级数是条件收敛的（通过阿贝尔判别法）。并且，它与 \( \zeta(s) \) 有一个简单的关系： \[ \eta(s) = (1 - 2^{1-s}) \zeta(s)。 \] 这个等式在 \( \text{Re}(s) > 1 \) 时显然成立，但关键在于， 右边的 \( \eta(s) \) 已经在更大的区域 \( \text{Re}(s) > 0 \) 上有定义了 （除了使 \( 1 - 2^{1-s} = 0 \) 的点）。因此，我们可以用这个等式来“定义” \( \zeta(s) \) 当 \( \text{Re}(s) > 0 \) 且 \( s \ne 1 \) 时： \[ \zeta(s) = \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}。 \] 这已经将 \( \zeta(s) \) 的定义域从 \( \text{Re}(s) > 1 \) 扩大到了 \( \text{Re}(s) > 0 \)。 步骤三：完整的解析延拓与黎曼的积分表示 黎曼本人给出了一个更强大、更对称的表达式，它可以将 \( \zeta(s) \) 延拓到整个复平面（除了一个简单的极点）。 他利用了 Γ函数 （你已经学过）和 围道积分 。关键公式是： \[ \zeta(s) = \frac{\Gamma(1-s)}{2\pi i} \int_ C \frac{(-z)^{s-1}}{e^z - 1} \, dz。 \] 这里，\( C \) 是一个从正无穷上方、环绕原点（但不穿过其他奇点）、再回到正无穷下方的 Hankel 围道。这个积分对 所有 复数 \( s \) 都收敛并定义了一个全纯函数。 从这个表达式（或通过其他方法，如函数方程）可以得出以下重要结论： 唯一的奇点 ：\( \zeta(s) \) 在整个复平面上是 亚纯函数 。它只有一个极点，位于 \( s = 1 \)，是一个 一阶极点 ，留数为1。也就是说，在 \( s=1 \) 附近，\( \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + \cdots \)（\( \gamma \) 是欧拉常数）。 平凡零点 ：从上述积分表示或函数方程（下一步讲）可以立刻看出，\( \zeta(s) \) 在负偶数 \( s = -2, -4, -6, \dots \) 处有零点。这些零点称为 平凡零点 。 步骤四：对称之美——函数方程 解析延拓后的黎曼ζ函数满足一个极其优美和强大的对称关系，称为 函数方程 ： \[ \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)。 \] 为了更显对称，常引入 黎曼ξ函数 ： \[ \xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)。 \] 那么，函数方程简化为： \[ \xi(s) = \xi(1-s)。 \] 这意味着函数 \( \xi(s) \) 关于直线 \( \text{Re}(s) = 1/2 \) 完全对称。 函数方程的深刻含义 ： 对称性 ：它将 \( \zeta(s) \) 在区域 \( \text{Re}(s) < 0 \)（由平凡零点主导）的值与在关键区域 \( 0 < \text{Re}(s) < 1 \)（称为 临界带 ）的值联系起来。 确定非平凡零点的位置 ：由函数方程和 \( \zeta(s) \) 的某些性质（如实值性）可以证明，所有 非平凡零点 （即不是负偶数的零点）必须位于临界带 \( 0 < \text{Re}(s) < 1 \) 内。黎曼猜想更激进地断言： 所有非平凡零点的实部都是 1/2 ，即都位于临界带中心的竖直线（ 临界线 ）上。 步骤五：总结与意义 让我们梳理一下黎曼ζ函数解析延拓后的全貌： 定义域 ：从最初的级数定义域 \( \text{Re}(s) > 1 \)，通过解析延拓，成为了定义在整个复平面 \( \mathbb{C} \) 上的亚纯函数。 奇点 ：唯一的奇点是 \( s=1 \) 处的一阶极点。 零点 ： 平凡零点 ：位于 \( s = -2, -4, -6, \dots \)。 非平凡零点 ：位于临界带 \( 0 < \text{Re}(s) < 1 \) 内。它们的分布是数论的核心谜题。 核心对称性 ：由函数方程 \( \xi(s) = \xi(1-s) \) 描述。 为什么如此重要？ 因为通过解析延拓得到的这个全局复变函数，其性质（尤其是非平凡零点的分布）与素数分布（由黎曼本人证明的 素数精确公式 所揭示）有着深刻且精确的联系。这使得复分析成为了研究数论最深刻问题的强大工具，也是整个现代解析数论的基石。