模的Yoneda引理的推广：Yoneda嵌入与可表函子
字数 3017 2025-12-23 22:59:55

模的Yoneda引理的推广：Yoneda嵌入与可表函子

我们先从基础的范畴论概念入手，再逐步深入到Yoneda引理的推广形式。

  1. 出发点：范畴、函子与自然变换

    • 一个范畴 C 由两类数据组成：对象（记作 Ob(C)）和对象间的态射。对于任意对象 X, Y ∈ Ob(C)，有一个态射集合 Hom_C(X, Y)。态射可以复合，且复合满足结合律，每个对象都有恒等态射。
    • 一个函子 F: C → D 将一个范畴映射到另一个范畴，它将C中的每个对象X对应到D中的对象F(X)，将每个态射 f: X → Y 对应到D中的态射 F(f): F(X) → F(Y)，并保持恒等态射和复合运算。
    • 设 F, G: C → D 是两个函子。一个自然变换 η: F ⇒ G 是一族D中的态射 {η_X: F(X) → G(X)}，其中X取遍C的所有对象，使得对C中任意态射 f: X → Y，有 G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f)。这个等式保证了变换是“自然”的。

  2. 核心：Hom函子与Yoneda引理

    • 对范畴C中任一固定对象A，我们可以定义两个重要的函子：
      • 协变Hom函子 h^A: C → Set， 定义为 h^A(X) = Hom_C(A, X)，它将对象X映到从A到X的态射集合，将态射 f: X → Y 映到集合映射 f ∘ _: Hom_C(A, X) → Hom_C(A, Y)。
      • 反变Hom函子 h_A: C^op → Set， 定义为 h_A(X) = Hom_C(X, A)，它将对象X映到从X到A的态射集合，将态射 f: X → Y 映到集合映射 _ ∘ f: Hom_C(Y, A) → Hom_C(X, A)。
    • Yoneda引理： 设C是一个局部小范畴（即任意两个对象间的态射构成一个集合），A是C的对象，F: C → Set 是一个协变函子。那么，从协变Hom函子 h^A 到函子F的全体自然变换的集合 Nat(h^A, F) 与集合 F(A) 之间存在一个双射，并且这个双射是自然的（对A和F都是自然的）。具体地，这个双射将自然变换 η 送到元素 η_A(id_A) ∈ F(A)。对反变函子也有类似结论。

  3. 第一步推广：Yoneda嵌入

    • Yoneda引理的一个直接推论是，如果我们将A取遍C的所有对象，考虑所有从 h^A 到 h^B 的自然变换，Yoneda引理告诉我们 Nat(h^A, h^B) ≅ Hom_C(B, A)。注意这里顺序反了，但如果我们考虑反变函子 h_*，就能得到保持方向的同构。更准确地说：
    • 我们定义一个函子 y: C → Funct(C^op, Set)， 这里 Funct(C^op, Set) 表示从C的反范畴到集合范畴的协变函子构成的范畴（称为预层范畴）。这个函子y将对象A映到反变Hom函子 h_A，将态射 f: A → B 映到一个自然变换 y(f): h_A ⇒ h_B。根据Yoneda引理，这个y是全忠实的，即它诱导的态射集映射 Hom_C(A, B) → Nat(h_A, h_B) 是一个双射。这个全忠实函子 y 称为 Yoneda嵌入。
    • 意义： Yoneda嵌入告诉我们，一个范畴C可以“嵌入”到它的预层范畴中。这意味着C中的对象和态射可以完全由它们与其他对象的“关系”（即态射）来刻画。这是范畴论中“对象由其到其他对象的态射决定”这一哲学的形式化。

  4. 第二步推广：可表函子

    • 在预层范畴 Funct(C^op, Set) 中，那些同构于某个反变Hom函子 h_A 的函子 F 被称为 可表函子。具体来说，如果存在对象A ∈ C 和一个自然同构 η: h_A ≅ F，则称函子F是可表的，并称(A, η) 是它的一个表示。根据Yoneda引理，这个自然同构 η 由元素 u = η_A(id_A) ∈ F(A) 唯一决定，这个元素u称为该表示的万有元素。
    • 可表函子的重要性： 数学中许多重要的构造都可以用可表函子来描述。例如，在集合范畴中，一个集合X的幂集可以看作一个函子 P: Set^op → Set， P(S) = {S的所有子集}。这个函子是可表的吗？是的，它同构于 h_{0,1}，其中{0,1}是一个二元集合。万有元素是特征函数 χ: {0,1} → {0,1} 吗？不完全是，更精确地说，万有元素是 {0,1} 的子集 {1} ∈ P({0,1})。在线性代数中，向量空间V的对偶空间 V* 是一个函子 (-)*: Vect^op → Vect，它也是可表的吗？不完全是，因为它取值在线性空间，而不是集合。这引出了我们的下一步推广。

  5. 推广到充实范畴：Yoneda引理在一般Hom对象下的形式

    • 之前的讨论都在Hom取值为集合的范畴（称为局部小范畴）中进行。但许多范畴的Hom不仅有集合结构，还有更丰富的结构。例如，在阿贝尔范畴（如模范畴）中，Hom是阿贝尔群；在拓扑空间范畴中，Hom可以带上拓扑。
    • 一个V-充实范畴 C，其中V是一个对称么半范畴，其Hom不再是集合，而是V中的对象，记为 Hom_C(X, Y) ∈ Ob(V)。复合是V中的态射 ∘: Hom(Y, Z) ⊗ Hom(X, Y) → Hom(X, Z)。
    • 在这种设定下，Yoneda引理可以推广。我们需要考虑V-函子 F: C → V。对于固定对象A，我们有协变V-函子 h^A: C → V， 定义为 h^A(X) = Hom_C(A, X)。那么，充实Yoneda引理断言：从 h^A 到 F 的全体V-自然变换的对象 Nat_V(h^A, F) 在V中同构于 F(A)。这里 Nat_V 表示V-自然变换的对象（在V中）。当V是集合范畴时，就回到了经典的Yoneda引理。

  6. 推广到无穷范畴与高阶范畴

    • 在现代代数拓扑和代数几何中，高阶范畴理论变得越来越重要。在(∞,1)-范畴（如拓扑空间、单纯集的范畴，或稳定无穷范畴）中，也有Yoneda引理的类比。
    • 在一个(∞,1)-范畴 C 中，Yoneda引理陈述为：对于任意对象A和任意(∞,1)-函子 F: C^op → S（其中S是无穷广群/空间的(∞,1)-范畴），从Yoneda嵌入的像 y(A) 到 F 的映射空间 Map(y(A), F) 等价于 F(A)。这里的“等价”是弱同伦等价，Map是映射空间。
    • 意义： 这保证了在(∞,1)-范畴中，Yoneda嵌入 y: C → PSh(C) = Funct(C^op, S) 仍然是全忠实的（在无穷范畴的意义下）。这是导出代数几何中许多构造（如导出叠）的基础工具。

总结一下，我们从经典的、基于集合的Yoneda引理出发，首先看到了它如何直接导出全忠实的Yoneda嵌入，从而将任何范畴嵌入到它的（预层）函子范畴。然后，我们引入了“可表函子”这一核心概念，它用函子的语言封装了数学中的“万有性质”。接着，我们将视野拓展到Hom具有更丰富结构的充实范畴，看到了Yoneda引理在更一般背景下的形式。最后，我们触及了现代数学前沿，提及了Yoneda引理在无穷范畴中的推广，这体现了其作为范畴论基石思想的强大普适性。

模的Yoneda引理的推广：Yoneda嵌入与可表函子 我们先从基础的范畴论概念入手，再逐步深入到Yoneda引理的推广形式。 出发点：范畴、函子与自然变换 一个 范畴 C 由两类数据组成：对象（记作 Ob(C)）和对象间的态射。对于任意对象 X, Y ∈ Ob(C)，有一个态射集合 Hom_ C(X, Y)。态射可以复合，且复合满足结合律，每个对象都有恒等态射。 一个 函子 F: C → D 将一个范畴映射到另一个范畴，它将C中的每个对象X对应到D中的对象F(X)，将每个态射 f: X → Y 对应到D中的态射 F(f): F(X) → F(Y)，并保持恒等态射和复合运算。 设 F, G: C → D 是两个函子。一个 自然变换 η: F ⇒ G 是一族D中的态射 {η_ X: F(X) → G(X)}，其中X取遍C的所有对象，使得对C中任意态射 f: X → Y，有 G(f) ∘ η_ X = η_ Y ∘ F(f)。这个等式保证了变换是“自然”的。 核心：Hom函子与Yoneda引理 对范畴C中任一固定对象A，我们可以定义两个重要的函子： 协变Hom函子 h^A: C → Set ， 定义为 h^A(X) = Hom_ C(A, X)，它将对象X映到从A到X的态射集合，将态射 f: X → Y 映到集合映射 f ∘ _ : Hom_ C(A, X) → Hom_ C(A, Y)。 反变Hom函子 h_ A: C^op → Set ， 定义为 h_ A(X) = Hom_ C(X, A)，它将对象X映到从X到A的态射集合，将态射 f: X → Y 映到集合映射 _ ∘ f: Hom_ C(Y, A) → Hom_ C(X, A)。 Yoneda引理 ： 设C是一个局部小范畴（即任意两个对象间的态射构成一个集合），A是C的对象，F: C → Set 是一个协变函子。那么，从协变Hom函子 h^A 到函子F的全体自然变换的集合 Nat(h^A, F) 与集合 F(A) 之间存在一个 双射 ，并且这个双射是自然的（对A和F都是自然的）。具体地，这个双射将自然变换 η 送到元素 η_ A(id_ A) ∈ F(A)。对反变函子也有类似结论。 第一步推广：Yoneda嵌入 Yoneda引理的一个直接推论是，如果我们将A取遍C的所有对象，考虑所有从 h^A 到 h^B 的自然变换，Yoneda引理告诉我们 Nat(h^A, h^B) ≅ Hom_ C(B, A)。注意这里顺序反了，但如果我们考虑反变函子 h_* ，就能得到保持方向的同构。更准确地说： 我们定义一个函子 y: C → Funct(C^op, Set) ， 这里 Funct(C^op, Set) 表示从C的反范畴到集合范畴的协变函子构成的范畴（称为 预层范畴 ）。这个函子y将对象A映到反变Hom函子 h_ A，将态射 f: A → B 映到一个自然变换 y(f): h_ A ⇒ h_ B。根据Yoneda引理，这个y是 全忠实 的，即它诱导的态射集映射 Hom_ C(A, B) → Nat(h_ A, h_ B) 是一个双射。这个全忠实函子 y 称为 Yoneda嵌入 。 意义 ： Yoneda嵌入告诉我们，一个范畴C可以“嵌入”到它的预层范畴中。这意味着C中的对象和态射可以完全由它们与其他对象的“关系”（即态射）来刻画。这是范畴论中“对象由其到其他对象的态射决定”这一哲学的形式化。 第二步推广：可表函子 在预层范畴 Funct(C^op, Set) 中，那些 同构于某个反变Hom函子 h_ A 的函子 F 被称为 可表函子 。具体来说，如果存在对象A ∈ C 和一个自然同构 η: h_ A ≅ F，则称函子F是可表的，并称(A, η) 是它的一个 表示 。根据Yoneda引理，这个自然同构 η 由元素 u = η_ A(id_ A) ∈ F(A) 唯一决定，这个元素u称为该表示的 万有元素 。 可表函子的重要性 ： 数学中许多重要的构造都可以用可表函子来描述。例如，在集合范畴中，一个集合X的幂集可以看作一个函子 P: Set ^op → Set ， P(S) = {S的所有子集}。这个函子是可表的吗？是的，它同构于 h_ {0,1}，其中{0,1}是一个二元集合。万有元素是特征函数 χ: {0,1} → {0,1} 吗？不完全是，更精确地说，万有元素是 {0,1} 的子集 {1} ∈ P({0,1})。在线性代数中，向量空间V的对偶空间 V* 是一个函子 (-)* : Vect ^op → Vect ，它也是可表的吗？不完全是，因为它取值在线性空间，而不是集合。这引出了我们的下一步推广。 推广到充实范畴：Yoneda引理在一般Hom对象下的形式 之前的讨论都在Hom取值为集合的范畴（称为局部小范畴）中进行。但许多范畴的Hom不仅有集合结构，还有更丰富的结构。例如，在阿贝尔范畴（如模范畴）中，Hom是阿贝尔群；在拓扑空间范畴中，Hom可以带上拓扑。 一个 V-充实范畴 C，其中V是一个对称么半范畴，其Hom不再是集合，而是V中的对象，记为 Hom_ C(X, Y) ∈ Ob(V)。复合是V中的态射 ∘: Hom(Y, Z) ⊗ Hom(X, Y) → Hom(X, Z)。 在这种设定下，Yoneda引理可以推广。我们需要考虑 V-函子 F: C → V。对于固定对象A，我们有协变V-函子 h^A: C → V， 定义为 h^A(X) = Hom_ C(A, X)。那么， 充实Yoneda引理 断言：从 h^A 到 F 的全体V-自然变换的对象 Nat_ V(h^A, F) 在V中同构于 F(A)。这里 Nat_ V 表示V-自然变换的对象（在V中）。当V是集合范畴时，就回到了经典的Yoneda引理。 推广到无穷范畴与高阶范畴 在现代代数拓扑和代数几何中，高阶范畴理论变得越来越重要。在(∞,1)-范畴（如拓扑空间、单纯集的范畴，或稳定无穷范畴）中，也有Yoneda引理的类比。 在一个(∞,1)-范畴 C 中，Yoneda引理陈述为：对于任意对象A和任意(∞,1)-函子 F: C^op → S（其中S是无穷广群/空间的(∞,1)-范畴），从Yoneda嵌入的像 y(A) 到 F 的映射空间 Map(y(A), F) 等价于 F(A)。这里的“等价”是弱同伦等价，Map是映射空间。 意义 ： 这保证了在(∞,1)-范畴中，Yoneda嵌入 y: C → PSh(C) = Funct(C^op, S) 仍然是全忠实的（在无穷范畴的意义下）。这是导出代数几何中许多构造（如导出叠）的基础工具。 总结一下，我们从经典的、基于集合的Yoneda引理出发，首先看到了它如何直接导出全忠实的Yoneda嵌入，从而将任何范畴嵌入到它的（预层）函子范畴。然后，我们引入了“可表函子”这一核心概念，它用函子的语言封装了数学中的“万有性质”。接着，我们将视野拓展到Hom具有更丰富结构的充实范畴，看到了Yoneda引理在更一般背景下的形式。最后，我们触及了现代数学前沿，提及了Yoneda引理在无穷范畴中的推广，这体现了其作为范畴论基石思想的强大普适性。