模的Auslander-Reiten序列 我先从基本定义和背景动机开始。Auslander-Reiten序列（简称AR序列）是表示论中描述模之间不可分解映射结构的重要工具。它刻画了模范畴中不可约映射的“极小不平凡扩张”。 第一步：理解“不可约映射” 设Λ是Artin代数（一种常见的有限维代数），mod Λ表示有限生成左Λ模范畴。给定A, B, C ∈ mod Λ，一个态射f: A → B称为可约的，如果存在分解f = h∘g，其中g: A → C，h: C → B，且g不是满射，h不是单射。换句话说，f可约意味着它能通过一个中间模“非平凡地”分解。反之，如果f不能这样分解，则称为不可约映射。 直观上，不可约映射是那些无法拆成更简单映射复合的“原子”映射，它们是连接不同不可分解模之间的基本桥梁。 第二步：Auslander-Reiten序列的定义 一个短正合序列 0 → A → B → C → 0 称为Auslander-Reiten序列，如果满足： 序列是正合的，且不分裂（即不是直和项的正合列）。 A和C都是不可分解模。 任意态射h: X → C，如果不是满射，则h可经由B → C提升到X → B。 任意态射k: A → Y，如果不是单射，则k可经由A → B延拓到B → Y。 条件3和4称为“极小性”或“几乎可裂”条件。它们意味着序列是连接A和C的“极小非分裂扩张”。通常记B = E1 ⊕ … ⊕ En，其中Ei不可分解，且每个A → Ei和Ei → C都是不可约映射。 第三步：Auslander-Reiten平移τ 要系统得到AR序列，需要引入平移函子。对不可分解非投射模C，定义其Auslander-Reiten平移τC = DTr C，其中D是标准对偶，Tr是转置。对偶地，对不可分解非内射模A，定义τ⁻¹A = Tr D A。τ和τ⁻¹给出了不可分解非投射模与非内射模之间的一一对应。 关键定理：对任意不可分解非投射模C，存在唯一的（在同构意义下）AR序列 0 → τC → B → C → 0。 对偶地，对任意不可分解非内射模A，存在唯一AR序列 0 → A → B' → τ⁻¹A → 0。 第四步：Auslander-Reiten箭图（quiver） 为了整体描述模的表示类别，常使用AR箭图。构造方法： 顶点：不可分解模的同构类。 箭头：若存在不可约映射M → N，则画一条箭头M → N。每个AR序列对应箭图中的一段“mesh”： τC → ⊕ Ei → C 表示从每个Ei到C有箭头，从τC到每个Ei有箭头，且这些箭头构成AR序列的一部分。AR箭图编码了模之间的不可约映射关系和AR序列的整体结构。 第五步：例子与计算方法 以代数Λ = k[ x ]/(x²)（char k ≠ 2）为例，它有2个不可分解模：单模S和长度为2的不可分解投射模P。计算得： τS = S（因S非投射），对应的AR序列是0 → S → P → S → 0，这是一个非分裂扩张，且满足几乎可裂条件。 τP = 0（因P是投射模），故没有以P为右端（非投射端）的AR序列。 其AR箭图仅有两个顶点S和P，有一条箭头S → P和一条箭头P → S（因存在不可约映射），形成一个长度为2的循环。 第六步：更深层性质与应用 函子解释：AR序列可通过对Hom函子应用Serre对偶的类比得到，在Artin代数情形对应等式DHom(X, C) ≅ Ext¹(C, τX)，其中D是标准对偶。 有限表示型分类：一个代数是有限表示型（即只有有限个不可分解模）当且仅当其AR箭图是有限连通的，且每个连通分支是有限树（加平移）。 稳定范畴：在稳定模范畴中，AR序列对应于不可约态射的“三角形”，τ成为稳定范畴的自等价。 高维推广：在三角范畴或高阶范畴中，也有类似AR序列的结构，即Auslander-Reiten三角。 总结 ：Auslander-Reiten序列提供了描述不可分解模之间不可约映射的精确框架，通过τ平移和AR箭图，可以整体把握模范畴的精细结构。它是表示论中联系同调代数、箭图理论和稳定范畴的核心工具。