幂剩余符号（Power Residue Symbol）
字数 4684 2025-12-23 21:08:29

幂剩余符号（Power Residue Symbol）

幂剩余符号是高次互反律的核心工具，用于刻画模素数幂次下的高次剩余关系。我们将从二次剩余符号（Legendre符号）出发，逐步推广到更高次情形，并深入其性质、计算方法、与互反律的联系，以及代数数论背景下的现代形式。

1. 二次剩余符号（Legendre符号）的回顾与动机

Legendre符号 \((\frac{a}{p})\) 定义为：

\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{若 } a \text{ 是模 } p \text{ 的二次剩余}, \\ -1 & \text{若 } a \text{ 是模 } p \text{ 的非二次剩余}, \\ 0 & \text{若 } p \mid a. \end{cases} \]

它等价于 \(a^{(p-1)/2} \bmod p\) 的值。Legendre符号满足二次互反律：

\[\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}. \]

问题：如何将这种刻画推广到三次、四次乃至任意 \(n\) 次剩余？

2. 三次剩余符号（Cubic Residue Symbol）的构造

2.1 模素数 \(p \equiv 1 \pmod{3}\) 的情形

若 \(p \equiv 1 \pmod{3}\)，则模 \(p\) 整数环 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 中恰有 3 个单位根（即方程 \(x^3=1\) 的解）。记 \(\omega = e^{2\pi i/3}\)，考虑分圆域 \(\mathbb{Q}(\omega)\)，其整数环为 \(\mathbb{Z}[\omega]\)（艾森斯坦整数环）。
关键事实：若 \(p \equiv 1 \pmod{3}\)，则 \(p\) 在 \(\mathbb{Z}[\omega]\) 中分裂为两个素理想：

\[p = \pi \cdot \overline{\pi}, \quad \pi \in \mathbb{Z}[\omega], \quad N(\pi)=p. \]

这里 \(\pi\) 是 分圆域中的素元，且可选取 \(\pi \equiv 1 \pmod{3}\)（规范化）。

2.2 三次符号的定义

对 \(\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]\) 与素元 \(\pi \nmid 3\alpha\)，定义 三次剩余符号：

\[\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3 := \omega^k, \]

其中 \(k\) 满足 \(\alpha^{(N(\pi)-1)/3} \equiv \omega^k \pmod{\pi}\)（这里 \(N(\pi)=p\)）。
由于 \(p \equiv 1 \pmod{3}\)，指数 \((p-1)/3\) 是整数，且 \(\alpha^{(p-1)/3} \bmod \pi\) 必为 1, \(\omega\), \(\omega^2\) 之一。

  • 若 \(\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_3 = 1\)，则 \(\alpha\) 是模 \(\pi\) 的三次剩余（即存在 \(\beta\) 使 \(\alpha \equiv \beta^3 \pmod{\pi}\)）。
  • 若不为 1，则是三次非剩余。

2.3 三次互反律

对互素的单位模数 \(\pi, \theta \in \mathbb{Z}[\omega]\)（且均 \(\equiv 1 \pmod{3}\)），有：

\[\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3. \]

这是高次互反律的最早非平凡例子，由高斯发现并证明。

3. 一般 \(n\) 次剩余符号（Power Residue Symbol）

3.1 代数数论框架

设 \(n \geq 2\)，\(\zeta_n = e^{2\pi i/n}\) 为 \(n\) 次本原单位根，分圆域 \(K = \mathbb{Q}(\zeta_n)\)。
设 \(\mathfrak{p}\) 是 \(K\) 的素理想，且满足：

  1. \(\mathfrak{p} \nmid n\)（即非分歧），
  2. \(N(\mathfrak{p}) \equiv 1 \pmod{n}\)（等价于 \(\mathfrak{p}\) 的剩余域大小模 \(n\) 余 1）。

在这些条件下，剩余域 \(\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}\) 包含所有 \(n\) 次单位根，且映射：

\[\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}\right)_n := \zeta_n^{k}, \]

其中 \(k\) 满足 \(\alpha^{(N(\mathfrak{p})-1)/n} \equiv \zeta_n^k \pmod{\mathfrak{p}}\)。

3.2 符号的扩张

  • 对合数模数 \(\mathfrak{m} \subset \mathcal{O}_K\) 且 \((\alpha, \mathfrak{m})=1\)，将符号定义为积性扩张：若 \(\mathfrak{m} = \prod \mathfrak{p}_i^{e_i}\)，则

\[\left(\frac{\alpha}{\mathfrak{m}}\right)_n := \prod_i \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}_i}\right)_n^{e_i}. \]

  • 当 \(n=2\) 且 \(K=\mathbb{Q}\) 时，即退化为Legendre符号（或Kronecker符号）。

4. 关键性质与互反律

4.1 乘法性

对固定的模数 \(\mathfrak{m}\)，符号 \((\frac{\cdot}{\mathfrak{m}})_n\) 是乘性的：

\[\left(\frac{\alpha\beta}{\mathfrak{m}}\right)_n = \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{m}}\right)_n \left(\frac{\beta}{\mathfrak{m}}\right)_n. \]

4.2 欧拉判别法类比

由定义直接推出：

\[\alpha^{(N(\mathfrak{p})-1)/n} \equiv \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}\right)_n \pmod{\mathfrak{p}}. \]

4.3 高次互反律（Hilbert–Artin 互反律）

对分圆域 \(K = \mathbb{Q}(\zeta_n)\) 中的互素元素 \(\alpha, \beta \in \mathcal{O}_K\)（且满足某些正规化条件），有：

\[\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_n = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)_n \cdot \text{（可能的符号修正）}. \]

更一般的现代形式由 Artin 互反律 给出：幂剩余符号可解释为 Artin 映射在分圆域扩张中的实现。具体来说，若 \(L = K(\sqrt[n]{\alpha})\) 是 Kummer 扩张，则符号 \((\frac{\beta}{\alpha})_n\) 对应 Frobenius 自同构 \(\left(\frac{L/K}{(\beta)}\right)\) 在 \(\zeta_n\) 上的作用。

5. 示例：四次剩余符号

5.1 高斯整数环 \(\mathbb{Z}[i]\) 上的四次符号

取 \(n=4\)，\(K=\mathbb{Q}(i)\)，整数环 \(\mathbb{Z}[i]\)。设 \(\pi\) 是 \(\mathbb{Z}[i]\) 中的素元且 \(\pi \equiv 1 \pmod{2+2i}\)（规范化），\(N(\pi)=p \equiv 1 \pmod{4}\)。
对 \(\alpha \in \mathbb{Z}[i]\) 且 \((\alpha, \pi)=1\)，定义：

\[\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_4 := i^k, \]

其中 \(k\) 满足 \(\alpha^{(p-1)/4} \equiv i^k \pmod{\pi}\)。
此时四次互反律形式为：

\[\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_4 = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)_4 \cdot (-1)^{\frac{N(\alpha)-1}{4} \cdot \frac{N(\beta)-1}{4}}. \]

5.2 计算例子

取 \(\pi = 5 + 2i\)（素数范数 \(N(\pi)=29 \equiv 1 \pmod{4}\)），\(\alpha = 2+i\)。
计算 \(\alpha^{(29-1)/4} = (2+i)^7\) 模 \(\pi\) 的值，可验证是否与 \(1, i, -1, -i\) 之一同余，从而确定符号值。

6. 与 \(L\) 函数和类域论的联系

幂剩余符号是构造 Artin \(L\) 函数 的原始数据之一：

  • 对每个模 \(n\) 特征 \(\chi: (\mathcal{O}_K/\mathfrak{m})^\times \to \mathbb{C}^\times\)，其对应的 \(L\) 函数在解析性质中编码了互反律信息。
  • 类域论中，幂剩余符号给出了 射线类域 的明确生成元：Kummer 扩张 \(K(\sqrt[n]{\alpha})\) 的 Galois 群由符号值刻画。

7. 现代推广：Hilbert 符号与局部域

在局部域 \(K_\mathfrak{p}\)（如 \(p\)-进域）上，幂剩余符号可推广为 Hilbert 符号 \((\cdot, \cdot)_{\mathfrak{p}, n}\)：

\[(a, b)_{\mathfrak{p}, n} := \frac{\tau(a)\tau(b)}{\tau(ab)}, \]

其中 \(\tau\) 是局部互反映射。这为高次互反律提供了更统一的局部-整体表述，并链接到 Brauer 群和类域论的核心构造。

通过以上步骤，我们从二次剩余符号逐步构建了高次幂剩余符号的完整图景：从具体的三次、四次例子，到一般分圆域上的代数定义，再到互反律与类域论的深刻联系。这一理论不仅是古典数论的精华，也是现代代数数论中类域论与朗兰兹纲领的起点之一。

幂剩余符号（Power Residue Symbol） 幂剩余符号是高次互反律的核心工具，用于刻画模素数幂次下的高次剩余关系。我们将从二次剩余符号（Legendre符号）出发，逐步推广到更高次情形，并深入其性质、计算方法、与互反律的联系，以及代数数论背景下的现代形式。 1. 二次剩余符号（Legendre符号）的回顾与动机 Legendre符号 \((\frac{a}{p})\) 定义为： \[ \left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} 1 & \text{若 } a \text{ 是模 } p \text{ 的二次剩余}, \\ -1 & \text{若 } a \text{ 是模 } p \text{ 的非二次剩余}, \\ 0 & \text{若 } p \mid a. \end{cases} \] 它等价于 \(a^{(p-1)/2} \bmod p\) 的值。Legendre符号满足二次互反律： \[ \left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}}. \] 问题：如何将这种刻画推广到三次、四次乃至任意 \(n\) 次剩余？ 2. 三次剩余符号（Cubic Residue Symbol）的构造 2.1 模素数 \(p \equiv 1 \pmod{3}\) 的情形 若 \(p \equiv 1 \pmod{3}\)，则模 \(p\) 整数环 \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) 中恰有 3 个单位根（即方程 \(x^3=1\) 的解）。记 \(\omega = e^{2\pi i/3}\)，考虑分圆域 \(\mathbb{Q}(\omega)\)，其整数环为 \(\mathbb{Z}[ \omega ]\)（艾森斯坦整数环）。 关键事实：若 \(p \equiv 1 \pmod{3}\)，则 \(p\) 在 \(\mathbb{Z}[ \omega ]\) 中分裂为两个素理想： \[ p = \pi \cdot \overline{\pi}, \quad \pi \in \mathbb{Z}[ \omega ], \quad N(\pi)=p. \] 这里 \(\pi\) 是 分圆域中的素元 ，且可选取 \(\pi \equiv 1 \pmod{3}\)（规范化）。 2.2 三次符号的定义 对 \(\alpha \in \mathbb{Z}[ \omega]\) 与素元 \(\pi \nmid 3\alpha\)，定义 三次剩余符号 ： \[ \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_ 3 := \omega^k, \] 其中 \(k\) 满足 \(\alpha^{(N(\pi)-1)/3} \equiv \omega^k \pmod{\pi}\)（这里 \(N(\pi)=p\)）。 由于 \(p \equiv 1 \pmod{3}\)，指数 \((p-1)/3\) 是整数，且 \(\alpha^{(p-1)/3} \bmod \pi\) 必为 1, \(\omega\), \(\omega^2\) 之一。 若 \(\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_ 3 = 1\)，则 \(\alpha\) 是模 \(\pi\) 的三次剩余（即存在 \(\beta\) 使 \(\alpha \equiv \beta^3 \pmod{\pi}\)）。 若不为 1，则是三次非剩余。 2.3 三次互反律 对互素的单位模数 \(\pi, \theta \in \mathbb{Z}[ \omega ]\)（且均 \(\equiv 1 \pmod{3}\)），有： \[ \left(\frac{\pi}{\theta}\right)_ 3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_ 3. \] 这是高次互反律的最早非平凡例子，由高斯发现并证明。 3. 一般 \(n\) 次剩余符号（Power Residue Symbol） 3.1 代数数论框架 设 \(n \geq 2\)，\(\zeta_ n = e^{2\pi i/n}\) 为 \(n\) 次本原单位根，分圆域 \(K = \mathbb{Q}(\zeta_ n)\)。 设 \(\mathfrak{p}\) 是 \(K\) 的素理想，且满足： \(\mathfrak{p} \nmid n\)（即非分歧）， \(N(\mathfrak{p}) \equiv 1 \pmod{n}\)（等价于 \(\mathfrak{p}\) 的剩余域大小模 \(n\) 余 1）。 在这些条件下，剩余域 \(\mathcal{O}_ K/\mathfrak{p}\) 包含所有 \(n\) 次单位根，且映射： \[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}\right)_ n := \zeta_ n^{k}, \] 其中 \(k\) 满足 \(\alpha^{(N(\mathfrak{p})-1)/n} \equiv \zeta_ n^k \pmod{\mathfrak{p}}\)。 3.2 符号的扩张 对合数模数 \(\mathfrak{m} \subset \mathcal{O}_ K\) 且 \((\alpha, \mathfrak{m})=1\)，将符号定义为积性扩张：若 \(\mathfrak{m} = \prod \mathfrak{p}_ i^{e_ i}\)，则 \[ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{m}}\right)_ n := \prod_ i \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}_ i}\right)_ n^{e_ i}. \] 当 \(n=2\) 且 \(K=\mathbb{Q}\) 时，即退化为Legendre符号（或Kronecker符号）。 4. 关键性质与互反律 4.1 乘法性 对固定的模数 \(\mathfrak{m}\)，符号 \((\frac{\cdot}{\mathfrak{m}})_ n\) 是乘性的： \[ \left(\frac{\alpha\beta}{\mathfrak{m}}\right)_ n = \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{m}}\right)_ n \left(\frac{\beta}{\mathfrak{m}}\right)_ n. \] 4.2 欧拉判别法类比 由定义直接推出： \[ \alpha^{(N(\mathfrak{p})-1)/n} \equiv \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p}}\right)_ n \pmod{\mathfrak{p}}. \] 4.3 高次互反律（Hilbert–Artin 互反律） 对分圆域 \(K = \mathbb{Q}(\zeta_ n)\) 中的互素元素 \(\alpha, \beta \in \mathcal{O}_ K\)（且满足某些正规化条件），有： \[ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_ n = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)_ n \cdot \text{（可能的符号修正）}. \] 更一般的现代形式由 Artin 互反律 给出：幂剩余符号可解释为 Artin 映射在分圆域扩张中的实现。具体来说，若 \(L = K(\sqrt[ n]{\alpha})\) 是 Kummer 扩张，则符号 \((\frac{\beta}{\alpha})_ n\) 对应 Frobenius 自同构 \(\left(\frac{L/K}{(\beta)}\right)\) 在 \(\zeta_ n\) 上的作用。 5. 示例：四次剩余符号 5.1 高斯整数环 \(\mathbb{Z}[ i]\) 上的四次符号 取 \(n=4\)，\(K=\mathbb{Q}(i)\)，整数环 \(\mathbb{Z}[ i]\)。设 \(\pi\) 是 \(\mathbb{Z}[ i ]\) 中的素元且 \(\pi \equiv 1 \pmod{2+2i}\)（规范化），\(N(\pi)=p \equiv 1 \pmod{4}\)。 对 \(\alpha \in \mathbb{Z}[ i ]\) 且 \((\alpha, \pi)=1\)，定义： \[ \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)_ 4 := i^k, \] 其中 \(k\) 满足 \(\alpha^{(p-1)/4} \equiv i^k \pmod{\pi}\)。 此时四次互反律形式为： \[ \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_ 4 = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)_ 4 \cdot (-1)^{\frac{N(\alpha)-1}{4} \cdot \frac{N(\beta)-1}{4}}. \] 5.2 计算例子 取 \(\pi = 5 + 2i\)（素数范数 \(N(\pi)=29 \equiv 1 \pmod{4}\)），\(\alpha = 2+i\)。 计算 \(\alpha^{(29-1)/4} = (2+i)^7\) 模 \(\pi\) 的值，可验证是否与 \(1, i, -1, -i\) 之一同余，从而确定符号值。 6. 与 \(L\) 函数和类域论的联系 幂剩余符号是构造 Artin \(L\) 函数 的原始数据之一： 对每个模 \(n\) 特征 \(\chi: (\mathcal{O}_ K/\mathfrak{m})^\times \to \mathbb{C}^\times\)，其对应的 \(L\) 函数在解析性质中编码了互反律信息。 类域论中，幂剩余符号给出了 射线类域 的明确生成元：Kummer 扩张 \(K(\sqrt[ n ]{\alpha})\) 的 Galois 群由符号值刻画。 7. 现代推广：Hilbert 符号与局部域 在局部域 \(K_ \mathfrak{p}\)（如 \(p\)-进域）上，幂剩余符号可推广为 Hilbert 符号 \((\cdot, \cdot) {\mathfrak{p}, n}\)： \[ (a, b) {\mathfrak{p}, n} := \frac{\tau(a)\tau(b)}{\tau(ab)}, \] 其中 \(\tau\) 是局部互反映射。这为高次互反律提供了更统一的局部-整体表述，并链接到 Brauer 群和类域论的核心构造。 通过以上步骤，我们从二次剩余符号逐步构建了高次幂剩余符号的完整图景：从具体的三次、四次例子，到一般分圆域上的代数定义，再到互反律与类域论的深刻联系。这一理论不仅是古典数论的精华，也是现代代数数论中类域论与朗兰兹纲领的起点之一。