生物系统中的随机过程建模 随机过程建模是生物数学中用于描述生物系统内随机性动态变化的重要工具。生物系统常受到内在噪声（如基因表达波动）和外在扰动（如环境变化）的影响，随机过程模型能定量刻画这些不确定性如何影响系统行为。 随机过程的基本概念 随机过程是一组随时间变化的随机变量集合，其状态由概率分布描述。例如，布朗运动（Brownian motion）可模拟分子扩散路径，每个时间点的位置是随机变量。生物应用中最基础的是泊松过程（Poisson process），用于描述DNA突变事件或神经脉冲发放的随机时间间隔，其核心假设是事件独立发生且速率恒定。 生物随机模型的典型构建方法 连续时间马尔可夫链（CTMC） ：将生物系统（如基因调控网络）的状态离散化（如mRNA分子数），定义状态间的转移速率。例如，mRNA的生成和降解可建模为“出生-死亡过程”，通过主方程（Master Equation）描述概率分布随时间演化。 随机微分方程（SDE） ：在确定性微分方程中引入噪声项，例如用维纳过程（Wiener process）表示环境波动。如种群增长模型 \( dN_ t = rN_ t dt + \sigma N_ t dW_ t \)，其中 \( dW_ t \) 模拟随机扰动。 噪声对生物功能的影响分析 随机性可导致确定性模型无法捕捉的现象： 噪声诱导振荡 ：在基因调控网络中，即使确定性模型收敛到稳态，随机性可能引发持续振荡（如p53蛋白脉冲）。 切换现象（Bistability） ：随机涨落可使系统在两个稳定状态间随机切换，例如噬菌体λ的溶原-裂解决策。 随机共振 ：微弱信号在噪声辅助下被放大，如感觉神经元对亚阈值信号的响应。 模型求解与模拟技术 Gillespie算法 ：精确模拟CTMC的蒙特卡洛方法，通过随机选择反应时间和类型，再现化学反应的随机轨迹。 Fokker-Planck方程 ：通过偏微分方程描述SDE解的概率密度函数演化，用于分析稳态分布。 矩封闭方法 ：近似计算随机变量的统计矩（如均值、方差），适用于复杂网络的高效分析。 前沿应用与扩展 随机过程建模已用于单细胞转录组学（揭示基因表达异质性）、生态学（物种灭绝风险评估）、以及系统生物学中的电路设计（如合成生物振荡器的鲁棒性优化）。近年发展的大偏差理论（Large Deviation Theory）进一步解决了稀有事件（如癌症早期突变）的概率估计问题。