代数扩张 代数扩张是域论中的核心概念。设 \( E \) 是域 \( F \) 的扩域（即 \( F \subseteq E \)）。如果 \( E \) 中的每个元素都是 \( F \) 上的代数元（即存在非零多项式 \( f(x) \in F[ x ] \) 使得 \( f(\alpha) = 0 \)），则称 \( E \) 是 \( F \) 的代数扩张；否则称为超越扩张。 步骤1：代数元的定义 元素 \( \alpha \in E \) 称为 \( F \) 上的代数元，如果存在非零多项式 \( f(x) \in F[ x ] \) 使得 \( f(\alpha) = 0 \)。 例如，\( \sqrt{2} \in \mathbb{R} \) 是 \( \mathbb{Q} \) 上的代数元，因为它是 \( x^2 - 2 = 0 \) 的根。 若元素不是代数元，则称为超越元（如 \( \pi \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上）。 步骤2：最小多项式 若 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的代数元，则存在唯一的一个首一不可约多项式 \( m_ \alpha(x) \in F[ x] \)，称为 \( \alpha \) 在 \( F \) 上的最小多项式，满足 \( m_ \alpha(\alpha) = 0 \) 且次数最低。 例如，\( \sqrt{2} \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上的最小多项式是 \( x^2 - 2 \)。 步骤3：单代数扩张的结构 若 \( \alpha \) 是 \( F \) 上的代数元，则单扩张 \( F(\alpha) \)（包含 \( F \) 和 \( \alpha \) 的最小域）可表示为： \[ F(\alpha) \cong F[ x] / \langle m_ \alpha(x) \rangle, \] 其中 \( \langle m_ \alpha(x) \rangle \) 是由最小多项式生成的主理想。 该商环是一个域，其元素可表示为 \( a_ 0 + a_ 1\alpha + \dots + a_ {n-1}\alpha^{n-1} \)，其中 \( n = \deg(m_ \alpha) \)。 步骤4：有限扩张与代数扩张的关系 若扩域 \( E \) 作为 \( F \) 上的向量空间是有限维的，则称 \( E/F \) 为有限扩张，其维度记为 \( [ E:F ] \)。 关键定理 ：有限扩张一定是代数扩张，但反之不成立（例如所有代数数的集合是 \( \mathbb{Q} \) 的无限维代数扩张）。 步骤5：代数扩张的性质 传递性 ：若 \( E/F \) 和 \( K/E \) 均为代数扩张，则 \( K/F \) 也是代数扩张。 代数闭包 ：域 \( F \) 的代数闭包是包含 \( F \) 的最小代数封闭域（即所有多项式在其中有根），记作 \( \bar{F} \)。 代数元构成的子域 ：\( E \) 中所有在 \( F \) 上代数的元素构成 \( E \) 的子域，称为 \( F \) 在 \( E \) 中的代数闭包。 步骤6：应用与例子 代数数域 ：\( \mathbb{Q} \) 的有限扩张（如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \)）称为代数数域，是代数数论的研究对象。 尺规作图问题 ：可构造的数构成 \( \mathbb{Q} \) 的二次扩张链，与代数扩张的塔结构相关。 通过以上步骤，代数扩张的概念从基本定义扩展到结构与应用，形成了域论中研究域扩展的重要工具。