复变函数的茹利亚型整函数与亏值分布 好的，我们现在开始一个新词条的学习。我将为你系统性地讲解“复变函数的茹利亚型整函数与亏值分布”这个概念。这是一个连接整函数理论、值分布论（又称奈望林纳理论）和函数动力学性质的深刻主题。 第一步：前置概念回顾与问题引入 整函数 ：首先，我们需要明确什么是整函数。一个在整个复平面 C 上全纯（解析）的函数，称为整函数。多项式、指数函数 \( e^z \)，正弦函数 \( \sin z \) 等都是经典的例子。 皮卡定理 ：回忆一个强大的定理—— 皮卡小定理 。它指出：一个非常数的整函数，其取值范围能取到整个复平面，至多“错过”（我们称之为“不取”）一个复数。这个被“错过”的值，称为整函数的 亏值 。例如，\( e^z \) 不取0，所以0是它的亏值。 问题 ：皮卡定理告诉我们，非常数整函数最多有一个亏值。但这是“全局”性质的描述。一个自然的问题是：在 局部 ，或者说在函数增长（或振荡）的某些特定方向（“茹利亚方向”）上，函数的取值行为是怎样的？它是否在这些方向上“错过”更多的值？这就是“茹利亚型整函数”与亏值分布理论所要研究的核心。 第二步：茹利亚方向的定义与几何直观 定义 ：设 \( f(z) \) 是一个超越整函数（即不是多项式的整函数）。一条从原点出发的射线 \( J: \arg z = \theta_ 0 \) 称为 \( f \) 的一条 茹利亚方向 ，如果对于任意包含该射线的角状区域 \( \Omega: |\arg z - \theta_ 0| < \epsilon \)（无论 \( \epsilon \) 多小），函数 \( f \) 在该区域 \( \Omega \) 中 不能取到最多有限个复数 。换句话说，在任意以 \( J \) 为中轴的开角域内，\( f \) 几乎取遍了所有复数值（至多有限个例外）。 直观理解 ： 想象复平面。一条茹利亚方向是一条从原点出发的射线（例如正实轴方向）。 在这条射线附近任意“狭窄”的一个扇形区域内，函数 \( f(z) \) 的取值都异常“狂野”和“丰富”。 在这个小扇形里，函数值可以无限接近（甚至等于）几乎所有的复数。它像一个“漩涡”，将几乎整个值域“吸引”到这一方向附近。 茹利亚方向揭示了整函数取值的一种极端不均匀性：虽然整体上（皮卡定理）最多只有一个值永远取不到，但在某些特定方向上，函数的表现力达到了极致，几乎无所不取；而在其他方向，函数行为可能相对“平静”。 第三步：茹利亚型整函数 定义 ：如果一个超越整函数 \( f(z) \) 至少存在 一条 茹利亚方向，则称 \( f \) 为一个 茹利亚型整函数 。 重要性 ：茹利亚在20世纪初证明了一个关键定理： 有限正级 的整函数必定是茹利亚型的。这里“级”是刻画整函数增长速度的量（例如，\( e^z \) 是1级，\( \cos \sqrt{z} \) 是1/2级）。这个定理告诉我们，具有“中等”或更快增长速度的整函数，其取值行为必然存在至少一个“狂野”的方向（茹利亚方向）。反之，存在非茹利亚型的整函数（例如零级整函数，或增长极慢的无限级整函数），它们的取值在所有方向上都相对“温和”。 第四步：亏值与茹利亚方向的关联（亏值分布） 这是本词条最核心、最深刻的部分。它研究的是整函数“不取”的值（亏值）与函数“最活跃”的方向（茹利亚方向）之间的几何关系。 基本观察 ：根据定义，在茹利亚方向任意小的邻角域内，函数能取到几乎所有值。那么，一个自然的推测是：函数的 亏值 （那些整体上很少被取到的值） 不可能成为这个角域内的“聚集”值 。换句话说，亏值似乎应该“远离”茹利亚方向附近的“疯狂”取值行为。 关键定理（布卢门塔尔猜想与杨-阁俊定理） ：这个直观后来被精确化为著名的 亏值分布定理 。其核心结论可简述为：对于一个有限正级的整函数，它的任一 亏值 ，其对应的 亏量 （一个衡量该值被“遗漏”程度的量，介于0和1之间）必须满足一个几何约束—— 该亏值所对应的“亏量”的辐角，必须位于由所有茹利亚方向构成的集合的补集之中 。更形象地说，如果将每个亏值 \( a \) 看成一个复数点，那么从原点（函数定义的中心）指向 \( a \) 的射线方向， 不能是 茹利亚方向。 一个精炼的推论 ： 有限正级整函数的亏值个数不超过其茹利亚方向条数的两倍 。这建立了一个漂亮的量化联系：函数取值行为越“复杂”（茹利亚方向越多），它可能“错过”的值（亏值）理论上也可以更多。但亏值的分布位置（方向）受到严格限制。 第五步：实例与图像 让我们以最经典的例子 \( f(z) = e^z \) 来说明。 性质 ：\( e^z \) 是1级整函数，因此它是茹利亚型的。 茹利亚方向 ：可以证明，对于 \( e^z \)， 正实轴 和 负实轴 （即辐角为0和π的两条射线）是它的两条茹利亚方向。为什么？ 考虑 \( z = x + iy \)，则 \( e^z = e^x (\cos y + i \sin y) \)。 在任意靠近正实轴（\( y \approx 0 \)）的角域内，\( e^z \approx e^x \)，模长变化剧烈，但辐角被限制在0附近。然而，通过调整 \( x \) 和 \( y \)，可以使其取到几乎所有模长大、辐角接近0的值。严谨的证明需要用到其增长性，但直观上，正实轴方向是函数“爆炸”式增长的方向。 在负实轴（\( y \approx π \)）附近， \( e^z \approx -e^x \)，是函数“衰减”的方向，但同样，其取值行为非常丰富。 亏值 ：我们知道 \( e^z \) 的亏值是 \( 0 \)（因为它永不为零）。 关联分析 ：亏值 \( 0 \) 位于复平面的原点。从原点指向 \( 0 \) 的“方向”是退化的（没有明确射线）。但在更广义的球面几何（复球面）下看，0对应的点是原点，而原点与无穷远点通过球极投影对应。实际上，在值分布论中，通常也把 \( \infty \) 视为一个可能的值。对于 \( e^z \) 而言，0是它的 有穷亏值 ，而 \( \infty \) 通常不被认为是它的亏值，因为 \( e^z \) 在水平带上能取到无穷大的值（尽管它不是皮卡例外值）。但无论如何，这个例子说明了亏值（0）并不位于茹利亚方向（正/负实轴）上，符合前述理论。 总结 茹利亚方向 是超越整函数取值行为“极度活跃、几乎满射”的特定射线方向。 茹利亚型整函数 是至少有一条茹利亚方向的整函数，有限正级整函数必属此类。 亏值分布理论 深刻地指出，整函数“缺失”的值（亏值）在几何方向上必须“避开”那些取值最“丰富”的茹利亚方向。这揭示了整函数值域的整体缺失性与局部稠密性之间存在着精妙的、受函数增长性制约的互补关系，是复分析中一个将函数论、几何和度量性质紧密结合的优美典范。