复变函数的瓦尔斯泰拉斯分解定理的推广：无穷乘积表示整函数的因子分解与零点分布

字数 3271 2025-12-23 19:17:48

复变函数的瓦尔斯泰拉斯分解定理的推广：无穷乘积表示整函数的因子分解与零点分布

我们开始讲解这个重要的定理。先从最基础的概念讲起，确保每一步都清晰。

第一步：核心问题的提出——整函数的构造
我们知道，一个多项式可以由其零点完全决定（至多相差一个常数因子）。例如，一个有根 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 的多项式可以写为 \(P(z) = c \prod_{k=1}^{n} (z - a_k)\)。那么，对于一个整函数（在整个复平面上全纯的函数，如 \(e^z, \sin z\)），如果它有无穷多个零点（如 \(\sin z\) 的零点在 \(z = n\pi\)），是否也能类似地表示为以其零点为因子的无穷乘积呢？这就是整函数的因子分解问题。

第二步：无穷乘积的收敛性基础
要将函数表示为无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty} u_n(z)\)，首先要保证该乘积收敛。我们通常研究无穷乘积的绝对收敛性。定义无穷乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n)\) 收敛（且不收敛于0），当且仅当级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log(1 + a_n)\) 收敛（需选定对数分支）。更实用的一个充分条件是：如果 \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\) 收敛，那么 \(\prod_{n=1}^{\infty} (1 + a_n)\) 收敛。对于依赖于参数 \(z\) 的乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty} (1 + f_n(z))\)，我们通常要求在 \(z\) 的任意紧集上级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(z)|\) 一致收敛，以保证乘积定义了一个全纯函数。

第三步：初等因子——处理远离原点的零点
如果零点序列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\sum_{n=1}^{\infty} 1/|a_n|\) 收敛（即零点“足够稀疏”），那么最简单的尝试是乘积 \(\prod_{n=1}^{\infty} (1 - z/a_n)\)。然而，对于更一般的零点序列（例如 \(\sum 1/|a_n|\) 发散），这个乘积可能不收敛。魏尔斯特拉斯引入了“初等因子”来修正每个因子，确保收敛。标准形式的初等因子定义为：

\[E_p(u) = (1-u) \exp\left( u + \frac{u^2}{2} + \cdots + \frac{u^p}{p} \right) \]

其中 \(p\) 是非负整数。这个函数在 \(u=0\) 处有单零点，且其关键性质是：当 \(|u| < 1\) 时，\(E_p(u)\) 近似于 \(1\)，且其对数的主支可以展开为 \(\log E_p(u) = -\sum_{k=p+1}^{\infty} \frac{u^k}{k}\)。通过选择合适的指数 \(p\)，可以控制修正项的增长，使得无穷乘积收敛。

第四步：经典魏尔斯特拉斯因子分解定理
定理（魏尔斯特拉斯）：设 \(f\) 是一个非常数的整函数，\(f(0) \neq 0\)，其零点为 \(\{a_n\}\)（按模长非递减排列，重数计算在内，且 \(a_n \neq 0\)）。则存在一个整数序列 \(\{p_n\}\) 和一个整函数 \(g(z)\)，使得

\[f(z) = e^{g(z)} \prod_{n=1}^{\infty} E_{p_n}\left( \frac{z}{a_n} \right)。 \]

其中，指数 \(p_n\) 可以取为使得级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (r/|a_n|)^{p_n+1}\) 对每个 \(r > 0\) 都收敛的值。一个典型且安全的选择是取 \(p_n = n-1\)，但更经济的取法是 \(p_n\) 不依赖于 \(n\)，仅与零点序列的增长密度有关。

第五步：定理的推广——与函数增长阶的联系
推广的核心是将因子分解的形式与整函数的“增长阶”精确联系起来。设整函数 \(f\) 的增长阶为 \(\rho\)（即 \(|f(z)| \leq A e^{B|z|^\rho}\)），其零点序列满足 \(\sum_{n} 1/|a_n|^{\rho+\epsilon} < \infty\) 对任意 \(\epsilon > 0\) 成立（此即零点的收敛指数与函数阶的关系）。那么，在因子分解中，我们可以对所有的 \(n\) 选取同一个 \(p\)，满足 \(p \leq \rho \leq p+1\)。具体地：
存在一个整数 \(p\)（\(p \geq 0\)）使得 \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^{-p-1} < \infty\) 但 \(\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^{-p}\) 可能发散。此时，分解式为：

\[f(z) = z^m e^{Q(z)} \prod_{n=1}^{\infty} E_p\left( \frac{z}{a_n} \right)， \]

其中 \(m\) 是 \(f\) 在 \(z=0\) 处的零点重数（若 \(f(0)\neq 0\) 则 \(m=0\)），\(Q(z)\) 是一个次数不超过 \(p\) 的多项式。这个多项式 \(Q(z)\) 的阶数由函数 \(f\) 的增长性决定。这是经典魏尔斯特拉斯定理的一个重要精化和推广。

第六步：典型例子

正弦函数：\(\sin \pi z\) 的零点为 \(z = n\)，\(n \in \mathbb{Z}\)。其收敛指数为1。经典乘积公式 \(\sin \pi z = \pi z \prod_{n \neq 0} (1 - z/n) e^{z/n}\) 正是采用了 \(p=1\) 的初等因子 \(E_1(z/n)\)，并且这里的 \(Q(z)\) 是常数（实际上为0），因为函数增长阶为1。
Γ函数的倒数：函数 \(1/\Gamma(z)\) 是整函数，零点为 \(z=0, -1, -2, \dots\)，增长阶为1。其魏尔斯特拉斯乘积为 \(1/\Gamma(z) = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} (1+z/n) e^{-z/n}\)，这里同样对应 \(p=1\)，且 \(Q(z) = \gamma z\) 是一次多项式。

第七步：推广的意义与应用
这个推广定理将整函数的解析性质（由指数因子 \(e^{Q(z)}\) 和无穷乘积部分表征）与其代数性质（零点分布）紧密联系起来。它表明：

零点分布控制增长：零点的密度（收敛指数）决定了所需初等因子的最小阶数 \(p\)，进而影响乘积部分的全纯性。
多项式部分反映超越性：指数上的多项式 \(Q(z)\) 编码了函数在无穷远处的增长行为。若 \(f\) 是有限阶的，则 \(Q(z)\) 是多项式；若 \(f\) 是零阶的，则 \(Q(z)\) 是常数。
应用于值分布论：该定理是研究整函数零点分布与增长阶关系的基石，也是证明诸如哈达玛德因子分解定理（将因子分解与最大模 \(M(r)\) 直接联系）的关键步骤。哈达玛德定理进一步指出，对于有限阶 \(\rho\) 的整函数，\(Q(z)\) 的次数恰好就是 \(\rho\) 的整数部分。

总结：从多项式因子分解的类比出发，通过引入保证收敛的初等因子，魏尔斯特拉斯定理将任何整函数表示为指数函数（反映增长）与以零点构成的无穷乘积（反映零点）的乘积。其推广版本则精细地揭示了零点集的收敛指数、整函数的增长阶以及分解式中多项式次数之间的深刻约束关系，成为连接复变函数零点论与增长论的桥梁。

复变函数的瓦尔斯泰拉斯分解定理的推广：无穷乘积表示整函数的因子分解与零点分布我们开始讲解这个重要的定理。先从最基础的概念讲起，确保每一步都清晰。第一步：核心问题的提出——整函数的构造我们知道，一个多项式可以由其零点完全决定（至多相差一个常数因子）。例如，一个有根 \(a_ 1, a_ 2, \dots, a_ n\) 的多项式可以写为 \(P(z) = c \prod_ {k=1}^{n} (z - a_ k)\)。那么，对于一个整函数（在整个复平面上全纯的函数，如 \(e^z, \sin z\)），如果它有无穷多个零点（如 \(\sin z\) 的零点在 \(z = n\pi\)），是否也能类似地表示为以其零点为因子的无穷乘积呢？这就是整函数的因子分解问题。第二步：无穷乘积的收敛性基础要将函数表示为无穷乘积 \(\prod_ {n=1}^{\infty} u_ n(z)\)，首先要保证该乘积收敛。我们通常研究无穷乘积的绝对收敛性。定义无穷乘积 \(\prod_ {n=1}^{\infty} (1 + a_ n)\) 收敛（且不收敛于0），当且仅当级数 \(\sum_ {n=1}^{\infty} \log(1 + a_ n)\) 收敛（需选定对数分支）。更实用的一个充分条件是：如果 \(\sum_ {n=1}^{\infty} |a_ n|\) 收敛，那么 \(\prod_ {n=1}^{\infty} (1 + a_ n)\) 收敛。对于依赖于参数 \(z\) 的乘积 \(\prod_ {n=1}^{\infty} (1 + f_ n(z))\)，我们通常要求在 \(z\) 的任意紧集上级数 \(\sum_ {n=1}^{\infty} |f_ n(z)|\) 一致收敛，以保证乘积定义了一个全纯函数。第三步：初等因子——处理远离原点的零点如果零点序列 \(\{a_ n\}\) 满足 \(\sum_ {n=1}^{\infty} 1/|a_ n|\) 收敛（即零点“足够稀疏”），那么最简单的尝试是乘积 \(\prod_ {n=1}^{\infty} (1 - z/a_ n)\)。然而，对于更一般的零点序列（例如 \(\sum 1/|a_ n|\) 发散），这个乘积可能不收敛。魏尔斯特拉斯引入了“初等因子”来修正每个因子，确保收敛。标准形式的初等因子定义为： \[ E_ p(u) = (1-u) \exp\left( u + \frac{u^2}{2} + \cdots + \frac{u^p}{p} \right) \] 其中 \(p\) 是非负整数。这个函数在 \(u=0\) 处有单零点，且其关键性质是：当 \(|u| < 1\) 时，\(E_ p(u)\) 近似于 \(1\)，且其对数的主支可以展开为 \(\log E_ p(u) = -\sum_ {k=p+1}^{\infty} \frac{u^k}{k}\)。通过选择合适的指数 \(p\)，可以控制修正项的增长，使得无穷乘积收敛。第四步：经典魏尔斯特拉斯因子分解定理定理（魏尔斯特拉斯）：设 \(f\) 是一个非常数的整函数，\(f(0) \neq 0\)，其零点为 \(\{a_ n\}\)（按模长非递减排列，重数计算在内，且 \(a_ n \neq 0\)）。则存在一个整数序列 \(\{p_ n\}\) 和一个整函数 \(g(z)\)，使得 \[ f(z) = e^{g(z)} \prod_ {n=1}^{\infty} E_ {p_ n}\left( \frac{z}{a_ n} \right)。 \] 其中，指数 \(p_ n\) 可以取为使得级数 \(\sum_ {n=1}^{\infty} (r/|a_ n|)^{p_ n+1}\) 对每个 \(r > 0\) 都收敛的值。一个典型且安全的选择是取 \(p_ n = n-1\)，但更经济的取法是 \(p_ n\) 不依赖于 \(n\)，仅与零点序列的增长密度有关。第五步：定理的推广——与函数增长阶的联系推广的核心是将因子分解的形式与整函数的“增长阶”精确联系起来。设整函数 \(f\) 的增长阶为 \(\rho\)（即 \(|f(z)| \leq A e^{B|z|^\rho}\)），其零点序列满足 \(\sum_ {n} 1/|a_ n|^{\rho+\epsilon} < \infty\) 对任意 \(\epsilon > 0\) 成立（此即零点的收敛指数与函数阶的关系）。那么，在因子分解中，我们可以对所有的 \(n\) 选取同一个 \(p\)，满足 \(p \leq \rho \leq p+1\)。具体地：存在一个整数 \(p\)（\(p \geq 0\)）使得 \(\sum_ {n=1}^{\infty} |a_ n|^{-p-1} < \infty\) 但 \(\sum_ {n=1}^{\infty} |a_ n|^{-p}\) 可能发散。此时，分解式为： \[ f(z) = z^m e^{Q(z)} \prod_ {n=1}^{\infty} E_ p\left( \frac{z}{a_ n} \right)， \] 其中 \(m\) 是 \(f\) 在 \(z=0\) 处的零点重数（若 \(f(0)\neq 0\) 则 \(m=0\)），\(Q(z)\) 是一个次数不超过 \(p\) 的多项式。这个多项式 \(Q(z)\) 的阶数由函数 \(f\) 的增长性决定。这是经典魏尔斯特拉斯定理的一个重要精化和推广。第六步：典型例子正弦函数：\(\sin \pi z\) 的零点为 \(z = n\)，\(n \in \mathbb{Z}\)。其收敛指数为1。经典乘积公式 \(\sin \pi z = \pi z \prod_ {n \neq 0} (1 - z/n) e^{z/n}\) 正是采用了 \(p=1\) 的初等因子 \(E_ 1(z/n)\)，并且这里的 \(Q(z)\) 是常数（实际上为0），因为函数增长阶为1。 Γ函数的倒数：函数 \(1/\Gamma(z)\) 是整函数，零点为 \(z=0, -1, -2, \dots\)，增长阶为1。其魏尔斯特拉斯乘积为 \(1/\Gamma(z) = z e^{\gamma z} \prod_ {n=1}^{\infty} (1+z/n) e^{-z/n}\)，这里同样对应 \(p=1\)，且 \(Q(z) = \gamma z\) 是一次多项式。第七步：推广的意义与应用这个推广定理将整函数的解析性质（由指数因子 \(e^{Q(z)}\) 和无穷乘积部分表征）与其代数性质（零点分布）紧密联系起来。它表明：零点分布控制增长：零点的密度（收敛指数）决定了所需初等因子的最小阶数 \(p\)，进而影响乘积部分的全纯性。多项式部分反映超越性：指数上的多项式 \(Q(z)\) 编码了函数在无穷远处的增长行为。若 \(f\) 是有限阶的，则 \(Q(z)\) 是多项式；若 \(f\) 是零阶的，则 \(Q(z)\) 是常数。应用于值分布论：该定理是研究整函数零点分布与增长阶关系的基石，也是证明诸如哈达玛德因子分解定理（将因子分解与最大模 \(M(r)\) 直接联系）的关键步骤。哈达玛德定理进一步指出，对于有限阶 \(\rho\) 的整函数，\(Q(z)\) 的次数恰好就是 \(\rho\) 的整数部分。总结：从多项式因子分解的类比出发，通过引入保证收敛的初等因子，魏尔斯特拉斯定理将任何整函数表示为指数函数（反映增长）与以零点构成的无穷乘积（反映零点）的乘积。其推广版本则精细地揭示了零点集的收敛指数、整函数的增长阶以及分解式中多项式次数之间的深刻约束关系，成为连接复变函数零点论与增长论的桥梁。