模的Auslander转置
首先，我们从一个已知概念出发。您已经熟悉模的Hom函子和模的Ext函子。设 \(R\) 是一个环， \(M\) 和 \(N\) 是右 \(R\)-模。我们知道 \(\operatorname{Hom}_R(M, N)\) 是一个阿贝尔群，并且 \(\operatorname{Ext}_R^n(M, N)\) 是导出的函子。
- 第一步：有限表示模与首Syzygy模
为了定义Auslander转置，我们需要一个合适的模类。设 \(M\) 是一个有限表示模（您已学过这个词条）。这意味着存在一个正合序列：
\[ R^m \xrightarrow{f} R^n \xrightarrow{} M \to 0 \]
其中 \(m, n\) 是正整数。这个表示给出了 \(M\) 的一个有限展示。考虑这个展示，我们取第一个Syzygy模（也称为关系模）。具体来说，设：
\[ P_1 \xrightarrow{f} P_0 \xrightarrow{} M \to 0 \]
是一个有限自由表示，其中 \(P_0, P_1\) 是有限生成自由 \(R\)-模。我们记 \(\Omega^1 M = \operatorname{Ker}(P_0 \to M) = \operatorname{Im}(f) \subseteq P_0\)。由于 \(P_1\) 自由，且 \(f: P_1 \to P_0\) 是一个单同态到 \(P_0\) 中，所以 \(\Omega^1 M\) 是一个有限生成模（作为 \(P_1\) 的同态像），但它不一定自由。这个 \(\Omega^1 M\) 被称为 \(M\) 的**（首）Syzygy模**。
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第二步：对偶与转置的动机
现在，对给定的有限表示模 \(M\)，考虑其对偶模 \(M^* = \operatorname{Hom}_R(M, R)\)。由于 \(M\) 是有限生成的，\(M^*\) 是有限生成的。但我们想构造一个与对偶性相关，但能捕捉更多同调信息的操作。Auslander转置 \(\operatorname{Tr} M\) 的构造源于以下观察：从自由表示 \(P_1 \to P_0 \to M \to 0\) 出发，应用Hom函子 \(\operatorname{Hom}_R(-, R)\)，我们得到一个反变函子下的序列，但序列的方向会反转。为了得到一个“转置”模，我们需要处理这个反转的序列，并使其正合。 -
第三步：转置模的构造
取有限自由表示 \(P_1 \xrightarrow{f} P_0 \xrightarrow{\pi} M \to 0\)。应用对偶函子 \((-)^* = \operatorname{Hom}_R(-, R)\)，得到序列：
\[ 0 \to M^* \xrightarrow{\pi^*} P_0^* \xrightarrow{f^*} P_1^* \to \operatorname{Coker}(f^*) \to 0 \]
由于 \(P_0, P_1\) 是有限生成自由模，它们自然同构于其对偶模（通过选择基）。更精确地，\(P_0^*\) 和 \(P_1^*\) 也是有限生成自由模。序列在 \(P_0^* \to P_1^*\) 处不一定正合，但我们可以取余核。定义 \(M\) 的 Auslander转置 \(\operatorname{Tr} M\) 为：
\[ \operatorname{Tr} M = \operatorname{Coker}(f^*) = P_1^* / \operatorname{Im}(f^*) \]
因此，我们有正合序列：
\[ P_0^* \xrightarrow{f^*} P_1^* \xrightarrow{} \operatorname{Tr} M \to 0 \]
这表明 \(\operatorname{Tr} M\) 是一个有限生成模（因为它是有限生成自由模的商）。注意，这个构造依赖于自由表示的选择，但我们可以证明，不同的有限自由表示给出的 \(\operatorname{Tr} M\) 是稳定等价的，即在模去投射模的意义下唯一。更准确地说，如果 \(\operatorname{Tr} M\) 和 \(\operatorname{Tr}’ M\) 是两个这样的构造，则存在投射模 \(P\) 和 \(Q\) 使得 \(\operatorname{Tr} M \oplus P \cong \operatorname{Tr}’ M \oplus Q\)。
- 第四步：基本性质与对偶性
Auslander转置具有以下关键性质：
- 对任意有限表示模 \(M\)，\(\operatorname{Tr} M\) 也是有限表示的。
- 转置操作是一个反变函子：给定一个模同态 \(\alpha: M \to N\)（其中 \(M, N\) 有限表示），通过提升到自由表示之间的映射，可以诱导一个同态 \(\operatorname{Tr} \alpha: \operatorname{Tr} N \to \operatorname{Tr} M\)。
- 最重要的性质之一是它与Ext函子的关系。对任意模 \(X\)，存在一个自然同构（在稳定范畴中）：
\[ \underline{\operatorname{Ext}}_R^1(M, X) \cong \underline{\operatorname{Tor}}_1^R(\operatorname{Tr} M, X) \]
这里 \(\underline{\operatorname{Ext}}\) 和 \(\underline{\operatorname{Tor}}\) 表示稳定函子（模去投射模部分）。这表明转置将Ext群的信息转化为Tor群的信息。
- 特别地，有Auslander-Bridger公式：对任意有限表示模 \(M\)，其Gorenstein维数（您已学过）满足：
\[ G\text{-}\operatorname{dim}_R(M) < \infty \quad \text{当且仅当} \quad \operatorname{Ext}_R^i(\operatorname{Tr} M, R) = 0 \quad \text{对所有} \ i \ge 1。 \]
这个公式将模的同调性质与其转置模的性质联系起来。
- 第五步：与稳定范畴的联系
在模的稳定范畴（您已学过）中，Auslander转置给出了一个重要的自等价。稳定范畴的对象是所有有限生成模，但将投射模模去。在这个范畴中，转置函子 \(\operatorname{Tr}\) 是一个正合函子，并且满足 \(\operatorname{Tr}^2 \cong \Omega^2\)，其中 \(\Omega\) 是Syzygy函子。这意味着，在稳定范畴中，两次转置操作等价于取两次Syzygy。这个性质是Auslander-Reiten理论（您已学过）的基石，其中Auslander-Reiten平移 \(\tau\) 就定义为 \(\tau M = D \operatorname{Tr} M\)，这里 \(D\) 是标准对偶（例如，对Artin代数，\(D = \operatorname{Hom}_k(-, k)\)）。
总结来说，模的Auslander转置 是一个从有限表示模范畴到自身的反变函子，它将一个模的自由表示的“对偶余核”作为转置模。它建立了Ext和Tor之间的对偶关系，是研究模的稳定等价类、Gorenstein同调维数以及Auslander-Reiten表示论的核心工具。