圆的位似轴
字数 2237 2025-12-23 18:29:08

圆的位似轴

圆的位似轴是两个圆在给定位似中心下的重要几何概念，它直观地反映了两个圆之间位似变换的对应关系。我们从最基础的圆和位似变换出发，循序渐进地理解它。

第一步：位似变换的回顾与明确
首先，我们需要清晰理解“位似变换”。位似变换是一种缩放变换，由一个中心点 \(O\)（即位似中心）和一个非零的位似比 \(k\) 确定。平面上任意一点 \(P\)， 其位似对应点 \(P'\) 满足 \(\overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP}\)。当 \(k>0\) 时，\(P\) 和 \(P'\) 位于 \(O\) 的同侧，称为外位似；当 \(k<0\) 时，它们位于 \(O\) 的异侧，称为内位似。位似变换保持图形形状不变，只改变大小，并且所有对应点的连线都通过位似中心 \(O\)。

第二步：两圆之间的位似中心
对于平面上的两个给定的圆（记作圆 \(C_1\) 和圆 \(C_2\)， 半径分别为 \(r_1\) 和 \(r_2\)， 圆心分别为 \(O_1\) 和 \(O_2\)）， 可以存在多个位似变换将一个圆映射为另一个圆。但其中最自然的两个位似中心是：

  1. 外位似中心 \(E\)： 位于两圆心连线 \(O_1O_2\) 上， 且满足 \(\overrightarrow{EO_2} = \frac{r_2}{r_1} \overrightarrow{EO_1}\)， 这里位似比 \(k = r_2 / r_1 > 0\)。 此时， 两圆在 \(E\) 的同侧。
  2. 内位似中心 \(I\)： 同样位于直线 \(O_1O_2\) 上， 但位于两圆心之间（若两圆外离）或一个圆的圆心之外（若两圆相交、内切或内含）， 满足 \(\overrightarrow{IO_2} = -\frac{r_2}{r_1} \overrightarrow{IO_1}\)， 位似比 \(k = -r_2 / r_1 < 0\)。 此时， 两圆在 \(I\) 的异侧。

第三步：位似轴的引入与定义
现在，考虑两圆和它们的一对位似中心（外位似中心 \(E\) 和内位似中心 \(I\)）。 位似轴 就是连接这两个位似中心的直线， 即直线 \(EI\)。 这是位似轴最直接的定义。
但位似轴有更深刻的几何意义：它是两圆所有“反向相等”的幂的点的轨迹。 这是什么意思呢？

  • 一个点 \(P\) 对于圆 \(C_1\) 的幂是 \(\Pi_1 = PO_1^2 - r_1^2\)。
  • 一个点 \(P\) 对于圆 \(C_2\) 的幂是 \(\Pi_2 = PO_2^2 - r_2^2\)。
    所谓“反向相等”， 指的是 \(\Pi_1 = -\Pi_2\)。 满足这个条件的点 \(P\) 的集合， 经过代数化简， 其方程恰好是一条直线， 这条直线就是位似轴。 它垂直于两圆的连心线 \(O_1O_2\)。

第四步：位似轴的几何构造与关键性质
我们可以不通过计算， 用尺规作图找到位似轴。 经典方法是利用两圆的外公切线和内公切线（如果存在的话）：

  1. 分别作出两圆的两条外公切线， 它们相交于一点， 这个点就是外位似中心 \(E\)。
  2. 分别作出两圆的两条内公切线， 它们相交于一点， 这个点就是内位似中心 \(I\)。
  3. 连接 \(E\) 和 \(I\) 的直线， 即为位似轴。

性质： 位似轴具有以下核心性质：

  • 它垂直于两圆的连心线 \(O_1O_2\)。
  • 如果两圆相交于两点 \(A\) 和 \(B\)， 那么位似轴就是这两个交点的连线， 即公共弦 \(AB\) 所在的直线。 这是因为交点对两圆的幂均为0， 满足“反向相等”的条件。
  • 如果两圆相切（内切或外切）于点 \(T\)， 那么位似轴就是过切点 \(T\) 且垂直于连心线 \(O_1O_2\) 的直线， 也就是它们的内公切线（或公共切线）。 此时， 外位似中心和内位似中心重合于切点 \(T\)， 位似轴是过该点的垂线。
  • 位似轴是两圆的根轴的一种特殊情况（当两圆非同心时， 根轴是满足 \(\Pi_1 = \Pi_2\) 的点的轨迹）。 位似轴（\(\Pi_1 = -\Pi_2\)）与根轴（\(\Pi_1 = \Pi_2\)）互相垂直， 且都垂直于连心线。

第五步：位似轴的应用与推广
位似轴是解决平面几何问题， 特别是与两圆相关问题的有力工具。

  1. 共点性： 对于三个圆， 两两确定的位似轴（共三条）必然交于一点， 这个点称为这三个圆的位似心。 这是位似轴的一个重要定理。
  2. 反演变换下的对应： 在位似变换下， 一个圆上任一点的切线， 其位似对应线是位似对应圆上对应点的切线。 而位似轴正是这些成对切线交点（如果它们不平行）的轨迹之一。
  3. 阿波罗尼奥斯问题： 在位似轴的概念下， 著名的“作一圆与三个给定圆相切”的阿波罗尼奥斯问题， 可以通过寻找适当的位似中心和利用位似轴来求解。

总结来说， 圆的位似轴是一条连接两圆外、内位似中心的特殊直线。 它不仅是位似中心的连线， 更本质地描述了两圆之间一种对称的幂关系， 并且在两圆相交或相切时退化为公共弦或公切线， 是联系两圆位置与度量关系的优美桥梁。

圆的位似轴 圆的位似轴是两个圆在给定位似中心下的重要几何概念，它直观地反映了两个圆之间位似变换的对应关系。我们从最基础的圆和位似变换出发，循序渐进地理解它。 第一步：位似变换的回顾与明确 首先，我们需要清晰理解“位似变换”。位似变换是一种缩放变换，由一个中心点 \(O\)（即位似中心）和一个非零的位似比 \(k\) 确定。平面上任意一点 \(P\)， 其位似对应点 \(P'\) 满足 \( \overrightarrow{OP'} = k \cdot \overrightarrow{OP} \)。当 \(k>0\) 时，\(P\) 和 \(P'\) 位于 \(O\) 的同侧，称为 外位似 ；当 \(k<0\) 时，它们位于 \(O\) 的异侧，称为 内位似 。位似变换保持图形形状不变，只改变大小，并且所有对应点的连线都通过位似中心 \(O\)。 第二步：两圆之间的位似中心 对于平面上的两个给定的圆（记作圆 \(C_ 1\) 和圆 \(C_ 2\)， 半径分别为 \(r_ 1\) 和 \(r_ 2\)， 圆心分别为 \(O_ 1\) 和 \(O_ 2\)）， 可以存在多个位似变换将一个圆映射为另一个圆。但其中最自然的两个位似中心是： 外位似中心 \(E\) ： 位于两圆心连线 \(O_ 1O_ 2\) 上， 且满足 \( \overrightarrow{EO_ 2} = \frac{r_ 2}{r_ 1} \overrightarrow{EO_ 1} \)， 这里位似比 \(k = r_ 2 / r_ 1 > 0\)。 此时， 两圆在 \(E\) 的同侧。 内位似中心 \(I\) ： 同样位于直线 \(O_ 1O_ 2\) 上， 但位于两圆心之间（若两圆外离）或一个圆的圆心之外（若两圆相交、内切或内含）， 满足 \( \overrightarrow{IO_ 2} = -\frac{r_ 2}{r_ 1} \overrightarrow{IO_ 1} \)， 位似比 \(k = -r_ 2 / r_ 1 < 0\)。 此时， 两圆在 \(I\) 的异侧。 第三步：位似轴的引入与定义 现在，考虑两圆和它们的一对位似中心（外位似中心 \(E\) 和内位似中心 \(I\)）。 位似轴 就是连接这两个位似中心的直线， 即直线 \(EI\)。 这是位似轴最直接的定义。 但位似轴有更深刻的几何意义： 它是两圆所有“反向相等”的幂的点的轨迹 。 这是什么意思呢？ 一个点 \(P\) 对于圆 \(C_ 1\) 的幂是 \( \Pi_ 1 = PO_ 1^2 - r_ 1^2 \)。 一个点 \(P\) 对于圆 \(C_ 2\) 的幂是 \( \Pi_ 2 = PO_ 2^2 - r_ 2^2 \)。 所谓“反向相等”， 指的是 \( \Pi_ 1 = -\Pi_ 2 \)。 满足这个条件的点 \(P\) 的集合， 经过代数化简， 其方程恰好是一条直线， 这条直线就是位似轴。 它垂直于两圆的连心线 \(O_ 1O_ 2\)。 第四步：位似轴的几何构造与关键性质 我们可以不通过计算， 用尺规作图找到位似轴。 经典方法是利用两圆的 外公切线 和 内公切线 （如果存在的话）： 分别作出两圆的两条外公切线， 它们相交于一点， 这个点就是 外位似中心 \(E\) 。 分别作出两圆的两条内公切线， 它们相交于一点， 这个点就是 内位似中心 \(I\) 。 连接 \(E\) 和 \(I\) 的直线， 即为位似轴。 性质 ： 位似轴具有以下核心性质： 它垂直于两圆的连心线 \(O_ 1O_ 2\)。 如果两圆相交于两点 \(A\) 和 \(B\)， 那么位似轴就是这两个交点的连线， 即公共弦 \(AB\) 所在的直线。 这是因为交点对两圆的幂均为0， 满足“反向相等”的条件。 如果两圆相切（内切或外切）于点 \(T\)， 那么位似轴就是过切点 \(T\) 且垂直于连心线 \(O_ 1O_ 2\) 的直线， 也就是它们的内公切线（或公共切线）。 此时， 外位似中心和内位似中心重合于切点 \(T\)， 位似轴是过该点的垂线。 位似轴是两圆的 根轴 的一种特殊情况（当两圆非同心时， 根轴是满足 \( \Pi_ 1 = \Pi_ 2 \) 的点的轨迹）。 位似轴（\( \Pi_ 1 = -\Pi_ 2 \)）与根轴（\( \Pi_ 1 = \Pi_ 2 \)）互相垂直， 且都垂直于连心线。 第五步：位似轴的应用与推广 位似轴是解决平面几何问题， 特别是与两圆相关问题的有力工具。 共点性 ： 对于三个圆， 两两确定的位似轴（共三条）必然交于一点， 这个点称为这三个圆的 位似心 。 这是位似轴的一个重要定理。 反演变换下的对应 ： 在位似变换下， 一个圆上任一点的切线， 其位似对应线是位似对应圆上对应点的切线。 而位似轴正是这些成对切线交点（如果它们不平行）的轨迹之一。 阿波罗尼奥斯问题 ： 在位似轴的概念下， 著名的“作一圆与三个给定圆相切”的阿波罗尼奥斯问题， 可以通过寻找适当的位似中心和利用位似轴来求解。 总结来说， 圆的位似轴是一条连接两圆外、内位似中心的特殊直线。 它不仅是位似中心的连线， 更本质地描述了两圆之间一种对称的幂关系， 并且在两圆相交或相切时退化为公共弦或公切线， 是联系两圆位置与度量关系的优美桥梁。