向量

字数 2324 2025-10-27 00:51:10

向量

向量是同时具有大小和方向的量。与标量（只有大小）不同，向量可以用来表示位移、速度、力等物理量。在几何中，向量是描述点、线、面位置和方向关系的强大工具。

1. 向量的基本表示
一个向量通常用一个带箭头的线段（有向线段）来表示。线段的长度表示向量的大小（也称为模或长度），箭头的指向表示向量的方向。在书写时，向量常用粗体小写字母表示，如 a、v，或者在字母上方加箭头表示，如 \(\vec{a}\)、\(\vec{v}\)。向量的起点称为初始点，终点称为终点。

2. 向量的模
向量的大小称为向量的模。对于向量 \(\vec{v}\)，其模记作 \(|\vec{v}|\)。如果向量在直角坐标系中表示为 \(\vec{v} = (x, y)\)，那么它的模可以通过勾股定理计算：\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)。模为零的向量称为零向量，其方向是任意的。

3. 向量的基本运算：加法和减法
向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。

三角形法则：将向量 \(\vec{a}\) 的终点作为向量 \(\vec{b}\) 的起点，那么从 \(\vec{a}\) 的起点指向 \(\vec{b}\) 的终点的向量就是 \(\vec{a} + \vec{b}\)。
平行四边形法则：以两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边作一个平行四边形，从它们共同的起点出发的对角线就是和向量 \(\vec{a} + \vec{b}\)。
向量的减法是加法的逆运算。\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)，其中 \(-\vec{b}\) 是与 \(\vec{b}\) 大小相等、方向相反的向量。

4. 向量的数乘
一个向量 \(\vec{a}\) 与一个实数（标量）\(k\) 相乘，结果是一个新的向量 \(k\vec{a}\)。这个新向量的大小是 \(|k| \cdot |\vec{a}|\)，方向则取决于 \(k\) 的符号：当 \(k > 0\) 时，方向与 \(\vec{a}\) 相同；当 \(k < 0\) 时，方向与 \(\vec{a}\) 相反。数乘的几何意义是对原向量进行缩放。

5. 向量的坐标表示
为了进行更精确的运算，我们通常将向量置于坐标系中。在平面直角坐标系中，可以定义一个向量 \(\vec{v}\) 在 x 轴和 y 轴方向的分量，记为 \(\vec{v} = (v_x, v_y)\)。此时，向量的加法和数乘变得非常简单：

加法：\(\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)\)
数乘：\(k\vec{a} = (ka_x, ka_y)\)
模：\(|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}\)

6. 向量的点积（内积）
向量的点积是一种运算，结果是一个标量。对于两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的点积定义为：
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\)
其中 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。
在坐标表示下，点积有更简单的计算公式：
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\)
点积具有重要的几何意义：

它可以用来判断两个向量是否垂直：若 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则 \(\vec{a} \perp \vec{b}\)（前提是都不是零向量）。
它可以用来计算两个向量之间的夹角：\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)。
一个向量与自身的点积是其模的平方：\(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)。

7. 向量的叉积（外积，仅限于三维空间）
向量的叉积是另一种向量乘法，但其结果是一个向量，而不是标量。它只在三维空间中有定义。对于两个三维向量 \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) 和 \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)，它们的叉积 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 是一个新向量，其计算方式由行列式给出：
\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\)
叉积的结果向量具有以下性质：

方向：垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所在的平面，方向由右手定则确定（右手四指从 \(\vec{a}\) 弯向 \(\vec{b}\)，拇指所指方向即为叉积方向）。
大小：其大小等于 \(|\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta\)，几何上表示以 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边的平行四边形的面积。
叉积常用于计算平面的法向量、三维空间中点到直线的距离等。

向量向量是同时具有大小和方向的量。与标量（只有大小）不同，向量可以用来表示位移、速度、力等物理量。在几何中，向量是描述点、线、面位置和方向关系的强大工具。 1. 向量的基本表示一个向量通常用一个带箭头的线段（有向线段）来表示。线段的长度表示向量的大小（也称为模或长度），箭头的指向表示向量的方向。在书写时，向量常用粗体小写字母表示，如 a 、 v ，或者在字母上方加箭头表示，如 \(\vec{a}\)、\(\vec{v}\)。向量的起点称为初始点，终点称为终点。 2. 向量的模向量的大小称为向量的模。对于向量 \(\vec{v}\)，其模记作 \(|\vec{v}|\)。如果向量在直角坐标系中表示为 \(\vec{v} = (x, y)\)，那么它的模可以通过勾股定理计算：\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)。模为零的向量称为零向量，其方向是任意的。 3. 向量的基本运算：加法和减法向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。三角形法则：将向量 \(\vec{a}\) 的终点作为向量 \(\vec{b}\) 的起点，那么从 \(\vec{a}\) 的起点指向 \(\vec{b}\) 的终点的向量就是 \(\vec{a} + \vec{b}\)。平行四边形法则：以两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边作一个平行四边形，从它们共同的起点出发的对角线就是和向量 \(\vec{a} + \vec{b}\)。向量的减法是加法的逆运算。\(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)，其中 \(-\vec{b}\) 是与 \(\vec{b}\) 大小相等、方向相反的向量。 4. 向量的数乘一个向量 \(\vec{a}\) 与一个实数（标量）\(k\) 相乘，结果是一个新的向量 \(k\vec{a}\)。这个新向量的大小是 \(|k| \cdot |\vec{a}|\)，方向则取决于 \(k\) 的符号：当 \(k > 0\) 时，方向与 \(\vec{a}\) 相同；当 \(k < 0\) 时，方向与 \(\vec{a}\) 相反。数乘的几何意义是对原向量进行缩放。 5. 向量的坐标表示为了进行更精确的运算，我们通常将向量置于坐标系中。在平面直角坐标系中，可以定义一个向量 \(\vec{v}\) 在 x 轴和 y 轴方向的分量，记为 \(\vec{v} = (v_ x, v_ y)\)。此时，向量的加法和数乘变得非常简单：加法：\(\vec{a} + \vec{b} = (a_ x + b_ x, a_ y + b_ y)\) 数乘：\(k\vec{a} = (ka_ x, ka_ y)\) 模：\(|\vec{a}| = \sqrt{a_ x^2 + a_ y^2}\) 6. 向量的点积（内积）向量的点积是一种运算，结果是一个标量。对于两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的点积定义为： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta\) 其中 \(\theta\) 是两向量之间的夹角。在坐标表示下，点积有更简单的计算公式： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_ x b_ x + a_ y b_ y\) 点积具有重要的几何意义：它可以用来判断两个向量是否垂直：若 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则 \(\vec{a} \perp \vec{b}\)（前提是都不是零向量）。它可以用来计算两个向量之间的夹角：\(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)。一个向量与自身的点积是其模的平方：\(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)。 7. 向量的叉积（外积，仅限于三维空间）向量的叉积是另一种向量乘法，但其结果是一个向量，而不是标量。它只在三维空间中有定义。对于两个三维向量 \(\vec{a} = (a_ x, a_ y, a_ z)\) 和 \(\vec{b} = (b_ x, b_ y, b_ z)\)，它们的叉积 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 是一个新向量，其计算方式由行列式给出： \(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_ x & a_ y & a_ z \\ b_ x & b_ y & b_ z \end{vmatrix} = (a_ y b_ z - a_ z b_ y, a_ z b_ x - a_ x b_ z, a_ x b_ y - a_ y b_ x)\) 叉积的结果向量具有以下性质：方向：垂直于 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所在的平面，方向由右手定则确定（右手四指从 \(\vec{a}\) 弯向 \(\vec{b}\)，拇指所指方向即为叉积方向）。大小：其大小等于 \(|\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta\)，几何上表示以 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 为邻边的平行四边形的面积。叉积常用于计算平面的法向量、三维空间中点到直线的距离等。