有限群的表示与模表示论基础

字数 4522 2025-12-23 15:14:09

有限群的表示与模表示论基础

好的，我们来循序渐进地讲解“有限群的表示与模表示论基础”这个词条。

第一步：从群表示到模表示——核心思想的转变

线性表示（经典观点）：一个有限群 \(G\) 在域 \(F\) 上的一个 线性表示 本质上是一个群同态 \(\rho: G \rightarrow \mathrm{GL}(V)\)，其中 \(V\) 是域 \(F\) 上的一个有限维向量空间。这个同态告诉我们，群 \(G\) 的每个元素 \(g\) 如何作用（即左乘）在向量空间 \(V\) 上，成为一个可逆线性变换 \(\rho(g)\)。
群代数——关键的桥梁：为了将“群的作用”转化为“代数上的模结构”，我们构造一个代数对象——群代数 \(F[G]\)。

作为集合，\(F[G]\) 是所有形式和 \(\sum_{g \in G} a_g g\) 的集合，其中系数 \(a_g \in F\)。
它的加法和标量乘法按分量进行：\((\sum a_g g) + (\sum b_g g) = \sum (a_g + b_g)g\)， \(\lambda (\sum a_g g) = \sum (\lambda a_g)g\)。
它的乘法由群的乘法线性扩张而来：\((\sum a_g g) \cdot (\sum b_h h) = \sum_{g, h \in G} (a_g b_h) (gh)\)。这使 \(F[G]\) 成为一个结合 \(F\)-代数。

模的观点：给定一个 \(F[G]\)-模 \(M\)（即一个赋予了左 \(F[G]\)-模结构的阿贝尔群，满足结合律和分配律）。这个模结构完全等价于一个线性表示：

一方面，由表示 \(\rho: G \rightarrow \mathrm{GL}(V)\)，我们可以定义 \(F[G]\) 在 \(V\) 上的作用：\((\sum a_g g) \cdot v = \sum a_g \rho(g)(v)\)，这使 \(V\) 成为一个 \(F[G]\)-模。
另一方面，若 \(M\) 是一个 \(F[G]\)-模，那么限制作用到 \(G\) 的元素上（即 \(g \cdot m\)），就给出了一个群同态 \(G \rightarrow \mathrm{Aut}(M)\)。如果 \(M\) 在 \(F\) 上是有限维的，且 \(F\) 的作用与 \(F[G]\) 的作用相容，那么 \(\mathrm{Aut}(M) \cong \mathrm{GL}(\dim_F M, F)\)，这就回到了线性表示。

模表示论的优势：使用模的语言（\(F[G]\)-模）而非纯表示的语言，使得我们可以直接运用同调代数和环与模论中强大的工具来研究群表示。例如，子模、商模、直和、正合序列、单模、半单模、投射模、内射模等概念都可以直接移植过来，为分析和分解群表示提供了一个系统化的框架。

第二步：基本概念与Maschke定理

\(F[G]\)-子模与不可约模：

一个 \(F[G]\)-模 \(M\) 的一个子空间 \(N\)，如果对所有的 \(g \in G\) 和 \(n \in N\) 都有 \(g \cdot n \in N\)，那么 \(N\) 就是一个 \(F[G]\)-子模。
如果一个非零 \(F[G]\)-模 \(M\) 除了 \(\{0\}\) 和它自身外没有其他子模，则称 \(M\) 为 不可约模（或单模）。在线性表示的语言中，这对应一个不可约表示。

完全可约性与半单性：

一个 \(F[G]\)-模 \(M\) 如果可以写成一些不可约子模的（有限）直和 \(M = \bigoplus_{i} M_i\)，则称 \(M\) 是完全可约的。
如果群代数 \(F[G]\) 本身（视作左正则模）是完全可约的，或者等价地，如果所有 \(F[G]\)-模都是完全可约的，那么我们称 \(F[G]\)（或群 \(G\) 在域 \(F\) 上的表示）是半单的。

Maschke定理——半单性的判定基石：

定理内容：设 \(G\) 为有限群，\(F\) 是一个域，且 \(G\) 的阶 \(|G|\) 在 \(F\) 中可逆（即 \(\mathrm{char}(F)\) 不整除 \(|G|\)）。那么群代数 \(F[G]\) 是半单的。
直观解释：这个定理给出了一个极其简洁的充分条件。在特征零的域（如复数域 \(\mathbb{C}\)）或有理数域 \(\mathbb{Q}\)）上，任何有限群的表示都是完全可约的。这意味着任何表示都可以分解为不可约表示的直和，极大地简化了研究。
证明思路（核心技巧）：给定一个 \(F[G]\)-模 \(M\) 及其子模 \(N\)，我们想证明存在一个 \(F[G]\)-子模 \(L\) 使得 \(M = N \oplus L\)。从一个任意的向量空间补 \(L_0\)（即 \(M = N \oplus L_0\) 作为向量空间）出发，定义“平均”投影算子 \(\pi: M \rightarrow N\)， \(\pi(m) = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} g \cdot p_0(g^{-1} \cdot m)\)，其中 \(p_0\) 是到 \(N\) 的向量空间投影。可以验证 \(\pi\) 是一个 \(F[G]\)-模同态，且 \(\mathrm{Ker}(\pi)\) 就是我们要找的 \(F[G]\)-模补空间 \(L\)。这里 \(\frac{1}{|G|}\) 的使用要求 \(|G|\) 在 \(F\) 中可逆。
反例：如果域的特征 \(p\) 整除 \(|G|\)（称为模表示论或模特征情形），则 \(F[G]\) 不再是半单的。此时存在不可分解但不是不可约的模，结构变得异常复杂和丰富，这也是模表示论研究的核心领域。

第三步：模表示论的核心问题与工具（模特征情形）

当 \(\mathrm{char}(F) = p > 0\) 且 \(p \mid |G|\) 时，Maschke定理失效，我们进入“模表示论”的深水区。

不可分解模：在非半单情形下，最基本的分解单元不再是不可约模，而是不可分解模——即不能写成两个非零子模直和的模。每个有限维 \(F[G]\)-模都可以唯一地（在重排意义下）分解为不可分解模的直和（Krull-Schmidt定理）。
投射模与主不可分解模：

投射模：一个 \(F[G]\)-模 \(P\) 称为投射模，如果对于任何满同态 \(f: M \rightarrow N\) 和同态 \(h: P \rightarrow N\)，都存在同态 \(\tilde{h}: P \rightarrow M\) 使得 \(f \circ \tilde{h} = h\)（即提升性质）。在群代数中，投射模是自由模的直和项。
主不可分解模：它们是群代数 \(F[G]\) 作为左正则模分解成不可分解子模直和时，出现的那些不可分解直和项。每个主不可分解模都是投射的，并且有一个唯一的单商模（称为它的“顶”）。在同构意义下，主不可分解模与单模一一对应。

Cartan矩阵与分解矩阵：为了刻画模表示的结构，引入两个关键矩阵：

分解矩阵 \(D\)：它记录了在模特征 \(p\) 下，普通特征零表示（通过模 \(p\) 约化）如何分解为模 \(p\) 不可约表示的组合。连接了特征零和特征 \(p\) 的表示理论。
Cartan矩阵 \(C\)：其元素 \(c_{ij}\) 等于第 \(j\) 个主不可分解模的合成列中，第 \(i\) 个单模出现的次数（即重数）。它编码了群代数 \(F[G]\) 的本性结构。一个著名的定理指出 \(C = D^T D\)，这建立了两种矩阵的深刻联系。

Block理论（块理论）：为了进一步组织复杂的模表示，我们将群代数 \(F[G]\) 的中心 \(Z(F[G])\) 进行原幂等元分解，这诱导了群代数本身的一个直积分解 \(F[G] = B_1 \times B_2 \times \cdots \times B_n\)。每个直积因子 \(B_i\) 称为一个块。每个不可分解 \(F[G]\)-模都属于唯一的一个块。块可以按其亏群（一个 \(p\)-子群）来分类，这由Brauer等人发展的理论所描述，是模表示论的核心成就之一。

第四步：与特征零理论的联系——Brauer特征标理论

即使在模特征下，我们仍希望恢复一些类似于特征零（复数域上）特征标的优美性质。

问题：在特征 \(p\) 的域上，迹函数取值在 \(F\) 中，信息可能丢失（例如，单位矩阵的迹是 \(n \cdot 1_F\)，可能为0）。
解决方案（Brauer）：引入 \(p\)-模系统。取一个足够大的特征零完全离散赋值环 \(R\)（例如 \(\mathbb{Z}_p\) 的有限扩张），使得其剩余域 \(R/\mathfrak{p} \cong F\)（\(\mathfrak{p}\) 是极大理想）。并且要求 \(R\) 的分式域 \(K\) 包含足够多的单位根，使得 \(G\) 的所有表示都能在 \(K\) 上实现。
Brauer特征标：对于一个 \(F[G]\)-模 \(M\)，我们可以将其“提升”到一个 \(R[G]\)-模 \(\tilde{M}\)（自由 \(R\)-模），使得 \(\tilde{M} \otimes_R F \cong M\)。考虑 \(K[G]\)-模 \(\tilde{M} \otimes_R K\)，取其通常的特征标 \(\chi\)（取值在 \(K\) 中，实际上是代数整数）。将这个特征标在 \(G\) 的 \(p'\)-元素（阶与 \(p\) 互素的元素）上的取值模掉 \(\mathfrak{p}\)，得到的从 \(p'\)-元素集合到复数域（通过嵌入）的函数，称为 \(M\) 的 Brauer特征标。
意义：Brauer特征标取值在特征零的域中，携带了丰富的信息。所有不可约 \(F[G]\)-模的Brauer特征标构成一个线性无关集合。它与普通复特征标通过分解矩阵紧密相连，是计算和研究有限群模表示不可或缺的工具。

通过以上四个步骤，我们从经典的线性表示过渡到模的语言，理解了半单与非半单情形的分界（Maschke定理），初步接触了模表示论在非半单情况下的核心对象（不可分解模、投射模、块）和核心工具（Cartan矩阵、分解矩阵、Brauer特征标），从而建立起对“有限群的表示与模表示论基础”的一个系统性认识。

有限群的表示与模表示论基础好的，我们来循序渐进地讲解“有限群的表示与模表示论基础”这个词条。第一步：从群表示到模表示——核心思想的转变线性表示（经典观点）：一个有限群 \(G\) 在域 \(F\) 上的一个线性表示本质上是一个群同态 \(\rho: G \rightarrow \mathrm{GL}(V)\)，其中 \(V\) 是域 \(F\) 上的一个有限维向量空间。这个同态告诉我们，群 \(G\) 的每个元素 \(g\) 如何作用（即左乘）在向量空间 \(V\) 上，成为一个可逆线性变换 \(\rho(g)\)。群代数——关键的桥梁：为了将“群的作用”转化为“代数上的模结构”，我们构造一个代数对象—— 群代数 \(F[ G ]\)。作为集合，\(F[ G]\) 是所有形式和 \(\sum_ {g \in G} a_ g g\) 的集合，其中系数 \(a_ g \in F\)。它的加法和标量乘法按分量进行：\((\sum a_ g g) + (\sum b_ g g) = \sum (a_ g + b_ g)g\)， \(\lambda (\sum a_ g g) = \sum (\lambda a_ g)g\)。它的乘法由群的乘法线性扩张而来：\((\sum a_ g g) \cdot (\sum b_ h h) = \sum_ {g, h \in G} (a_ g b_ h) (gh)\)。这使 \(F[ G ]\) 成为一个结合 \(F\)-代数。模的观点：给定一个 \(F[ G]\)-模 \(M\)（即一个赋予了左 \(F[ G ]\)-模结构的阿贝尔群，满足结合律和分配律）。这个模结构完全等价于一个线性表示：一方面，由表示 \(\rho: G \rightarrow \mathrm{GL}(V)\)，我们可以定义 \(F[ G]\) 在 \(V\) 上的作用：\((\sum a_ g g) \cdot v = \sum a_ g \rho(g)(v)\)，这使 \(V\) 成为一个 \(F[ G ]\)-模。另一方面，若 \(M\) 是一个 \(F[ G]\)-模，那么限制作用到 \(G\) 的元素上（即 \(g \cdot m\)），就给出了一个群同态 \(G \rightarrow \mathrm{Aut}(M)\)。如果 \(M\) 在 \(F\) 上是有限维的，且 \(F\) 的作用与 \(F[ G]\) 的作用相容，那么 \(\mathrm{Aut}(M) \cong \mathrm{GL}(\dim_ F M, F)\)，这就回到了线性表示。模表示论的优势：使用模的语言（\(F[ G]\)-模）而非纯表示的语言，使得我们可以直接运用同调代数和环与模论中强大的工具来研究群表示。例如，子模、商模、直和、正合序列、单模、半单模、投射模、内射模等概念都可以直接移植过来，为分析和分解群表示提供了一个系统化的框架。第二步：基本概念与Maschke定理 \(F[ G]\)-子模与不可约模：一个 \(F[ G]\)-模 \(M\) 的一个子空间 \(N\)，如果对所有的 \(g \in G\) 和 \(n \in N\) 都有 \(g \cdot n \in N\)，那么 \(N\) 就是一个 \(F[ G]\)- 子模。如果一个非零 \(F[ G]\)-模 \(M\) 除了 \(\{0\}\) 和它自身外没有其他子模，则称 \(M\) 为不可约模（或单模）。在线性表示的语言中，这对应一个不可约表示。完全可约性与半单性：一个 \(F[ G]\)-模 \(M\) 如果可以写成一些不可约子模的（有限）直和 \(M = \bigoplus_ {i} M_ i\)，则称 \(M\) 是完全可约的。如果群代数 \(F[ G]\) 本身（视作左正则模）是完全可约的，或者等价地，如果所有 \(F[ G]\)-模都是完全可约的，那么我们称 \(F[ G]\)（或群 \(G\) 在域 \(F\) 上的表示）是半单的。 Maschke定理——半单性的判定基石：定理内容：设 \(G\) 为有限群，\(F\) 是一个域，且 \(G\) 的阶 \(|G|\) 在 \(F\) 中可逆（即 \(\mathrm{char}(F)\) 不整除 \(|G|\)）。那么群代数 \(F[ G ]\) 是半单的。直观解释：这个定理给出了一个极其简洁的充分条件。在特征零的域（如复数域 \(\mathbb{C}\)）或有理数域 \(\mathbb{Q}\)）上，任何有限群的表示都是完全可约的。这意味着任何表示都可以分解为不可约表示的直和，极大地简化了研究。证明思路（核心技巧）：给定一个 \(F[ G]\)-模 \(M\) 及其子模 \(N\)，我们想证明存在一个 \(F[ G]\)-子模 \(L\) 使得 \(M = N \oplus L\)。从一个任意的向量空间补 \(L_ 0\)（即 \(M = N \oplus L_ 0\) 作为向量空间）出发，定义“平均”投影算子 \(\pi: M \rightarrow N\)， \(\pi(m) = \frac{1}{|G|} \sum_ {g \in G} g \cdot p_ 0(g^{-1} \cdot m)\)，其中 \(p_ 0\) 是到 \(N\) 的向量空间投影。可以验证 \(\pi\) 是一个 \(F[ G]\)-模同态，且 \(\mathrm{Ker}(\pi)\) 就是我们要找的 \(F[ G ]\)-模补空间 \(L\)。这里 \(\frac{1}{|G|}\) 的使用要求 \(|G|\) 在 \(F\) 中可逆。反例：如果域的特征 \(p\) 整除 \(|G|\)（称为模表示论或模特征情形），则 \(F[ G ]\) 不再是半单的。此时存在不可分解但不是不可约的模，结构变得异常复杂和丰富，这也是模表示论研究的核心领域。第三步：模表示论的核心问题与工具（模特征情形）当 \(\mathrm{char}(F) = p > 0\) 且 \(p \mid |G|\) 时，Maschke定理失效，我们进入“模表示论”的深水区。不可分解模：在非半单情形下，最基本的分解单元不再是不可约模，而是不可分解模 ——即不能写成两个非零子模直和的模。每个有限维 \(F[ G ]\)-模都可以唯一地（在重排意义下）分解为不可分解模的直和（Krull-Schmidt定理）。投射模与主不可分解模：投射模：一个 \(F[ G ]\)-模 \(P\) 称为投射模，如果对于任何满同态 \(f: M \rightarrow N\) 和同态 \(h: P \rightarrow N\)，都存在同态 \(\tilde{h}: P \rightarrow M\) 使得 \(f \circ \tilde{h} = h\)（即提升性质）。在群代数中，投射模是自由模的直和项。主不可分解模：它们是群代数 \(F[ G]\) 作为左正则模分解成不可分解子模直和时，出现的那些不可分解直和项。每个主不可分解模都是投射的，并且有一个唯一的单商模（称为它的“顶”）。在同构意义下，主不可分解模与单模一一对应。 Cartan矩阵与分解矩阵：为了刻画模表示的结构，引入两个关键矩阵：分解矩阵 \(D\)：它记录了在模特征 \(p\) 下，普通特征零表示（通过模 \(p\) 约化）如何分解为模 \(p\) 不可约表示的组合。连接了特征零和特征 \(p\) 的表示理论。 Cartan矩阵 \(C\)：其元素 \(c_ {ij}\) 等于第 \(j\) 个主不可分解模的合成列中，第 \(i\) 个单模出现的次数（即重数）。它编码了群代数 \(F[ G ]\) 的本性结构。一个著名的定理指出 \(C = D^T D\)，这建立了两种矩阵的深刻联系。 Block理论（块理论）：为了进一步组织复杂的模表示，我们将群代数 \(F[ G]\) 的中心 \(Z(F[ G])\) 进行原幂等元分解，这诱导了群代数本身的一个直积分解 \(F[ G] = B_ 1 \times B_ 2 \times \cdots \times B_ n\)。每个直积因子 \(B_ i\) 称为一个块。每个不可分解 \(F[ G]\)-模都属于唯一的一个块。块可以按其亏群（一个 \(p\)-子群）来分类，这由Brauer等人发展的理论所描述，是模表示论的核心成就之一。第四步：与特征零理论的联系——Brauer特征标理论即使在模特征下，我们仍希望恢复一些类似于特征零（复数域上）特征标的优美性质。问题：在特征 \(p\) 的域上，迹函数取值在 \(F\) 中，信息可能丢失（例如，单位矩阵的迹是 \(n \cdot 1_ F\)，可能为0）。解决方案（Brauer）：引入 \(p\)- 模系统。取一个足够大的特征零完全离散赋值环 \(R\)（例如 \(\mathbb{Z}_ p\) 的有限扩张），使得其剩余域 \(R/\mathfrak{p} \cong F\)（\(\mathfrak{p}\) 是极大理想）。并且要求 \(R\) 的分式域 \(K\) 包含足够多的单位根，使得 \(G\) 的所有表示都能在 \(K\) 上实现。 Brauer特征标：对于一个 \(F[ G]\)-模 \(M\)，我们可以将其“提升”到一个 \(R[ G]\)-模 \(\tilde{M}\)（自由 \(R\)-模），使得 \(\tilde{M} \otimes_ R F \cong M\)。考虑 \(K[ G]\)-模 \(\tilde{M} \otimes_ R K\)，取其通常的特征标 \(\chi\)（取值在 \(K\) 中，实际上是代数整数）。将这个特征标在 \(G\) 的 \(p'\)-元素（阶与 \(p\) 互素的元素）上的取值模掉 \(\mathfrak{p}\)，得到的从 \(p'\)-元素集合到复数域（通过嵌入）的函数，称为 \(M\) 的 Brauer特征标。意义：Brauer特征标取值在特征零的域中，携带了丰富的信息。所有不可约 \(F[ G ]\)-模的Brauer特征标构成一个线性无关集合。它与普通复特征标通过分解矩阵紧密相连，是计算和研究有限群模表示不可或缺的工具。通过以上四个步骤，我们从经典的线性表示过渡到模的语言，理解了半单与非半单情形的分界（Maschke定理），初步接触了模表示论在非半单情况下的核心对象（不可分解模、投射模、块）和核心工具（Cartan矩阵、分解矩阵、Brauer特征标），从而建立起对“有限群的表示与模表示论基础”的一个系统性认识。