粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题（续）
字数 2881 2025-12-23 13:56:36

粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题（续）

我们之前已初步探讨了粘弹性流体中这两个经典问题的物理背景和基本方程。现在我们将更深入地分析它们的解析求解方法、核心数学技巧以及物理内涵的差异。

第一步：重温控制方程与问题定义

对于一个线性粘弹性流体，在简单剪切流动中，其本构关系通常用一个记忆积分（或对应的微分算子）来描述。对于斯托克斯第一和第二问题，我们考虑在无限大平板（位于y=0平面）上方（y>0）的半无限大流体区域。流体初始静止。x方向的速度u(y, t)满足由运动方程和本构关系导出的、关于y和t的积分-微分方程。

  • 斯托克斯第一问题（突然启动的平板）：在t=0⁺时刻，平板突然以恒定速度U₀沿x方向运动，并保持此速度。边界条件为：
    u(0, t) = U₀， 对于 t > 0
    u(y, 0) = 0， 对于 y > 0
    u(∞, t) = 0， 对于 t ≥ 0

  • 斯托克斯第二问题（平板作简谐振荡）：平板在t>0时沿x方向作角频率为ω的简谐振荡。边界条件为：
    u(0, t) = U₀ cos(ωt) 或 U₀ e^{-iωt}的实部
    u(y, 0) = 0， 对于 y > 0
    u(∞, t) 有界

核心方程：对于许多线性粘弹性模型（如麦克斯韦流体、Oldroyd-B流体等），在剪切流假设下，控制方程可化简为：
∂u/∂t = ∫₀ᵗ G(t - τ) (∂²u/∂y²)(y, τ) dτ
其中G(t)是应力松弛模量，它是材料特性的核心。对于牛顿流体，G(t) = ν δ(t)（狄拉克函数），方程退化为标准的扩散方程 ∂u/∂t = ν ∂²u/∂y²。

第二步：求解斯托克斯第一问题的通用积分变换法

  1. 应用拉普拉斯变换：对时间变量t进行拉普拉斯变换是处理此类具有记忆效应的初值问题的有力工具。定义 ū(y, s) = L{u(y, t)} = ∫₀∞ u(y, t) e^{-st} dt。

  2. 变换控制方程：利用拉普拉斯变换的卷积定理，原积分-微分方程变为：
    sū(y, s) = Ḡ(s) * (∂²ū/∂y²)(y, s)
    这里Ḡ(s)是松弛模量G(t)的拉普拉斯变换。注意到sū(y, s)包含了初始条件u(y,0)=0。方程重排为：
    (∂²ū/∂y²)(y, s) - [s / Ḡ(s)] ū(y, s) = 0
    这是一个关于空间变量y的常微分方程，其中s是参数。

  3. 求解变换域中的方程：上述方程的通解形式为：
    ū(y, s) = A(s) e^{-q(s) y} + B(s) e^{q(s) y}， 其中 q(s) = √[s / Ḡ(s)]
    根据边界有界性条件（u(∞, t)有界意味着ū(∞, s)有界），必须取B(s)=0。再代入边界条件u(0, t)=U₀的拉普拉斯变换 ū(0, s)=U₀/s，可得A(s)=U₀/s。因此：
    ū(y, s) = (U₀ / s) * exp[ -y √(s / Ḡ(s)) ]

  4. 核心难点：逆变换与物理诠释：速度场的解由拉普拉斯逆变换给出：
    u(y, t) = (U₀ / (2πi)) ∫_{γ-i∞}^{γ+i∞} (1/s) * exp[ st - y √(s / Ḡ(s)) ] ds
    这个积分的计算强烈依赖于具体材料模型对应的Ḡ(s)（即具体的本构关系）。物理图像是，一个“剪切波”从平板处发出，向流体内部传播。由于粘弹性流体的“记忆”特性，这个波前是弥散的，波形在传播过程中会发生变化，不再像牛顿流体那样是一个简单的误差函数轮廓。

第三步：求解斯托克斯第二问题与复模量

  1. 寻找稳态周期解：对于第二问题，我们通常关心在初始瞬态衰减后达到的稳态振荡。因此，我们寻求形如 u(y, t) = Re[ f(y) e^{-iωt} ] 的解。

  2. 代入控制方程：将上述形式的解代入控制方程。这里的关键技巧是注意到对于线性系统，对时间的简谐振荡（e^{-iωt}）会导致时间卷积积分变成乘法。具体地，本构关系中的记忆积分会引入一个与频率ω相关的复数系数，即复粘度或复剪切模量 G*(ω)。可以证明，控制方程简化为关于f(y)的常微分方程：
    d²f/dy² + (iρω / G*(ω)) f = 0
    其中G*(ω) = G‘(ω) + iG’‘(ω) 是复剪切模量，与松弛模量的关系为 G*(ω) = iω ∫₀∞ G(t) e^{-iωt} dt。

  3. 求解与“穿透深度”：上述方程的解为 f(y) = A e^{-k y}， 其中复波数 k = √(iρω / G*(ω))。利用边界条件f(0)=U₀，得到A=U₀。因此稳态解为：
    u(y, t) = U₀ Re{ exp[ -iωt - k y ] }
    将复波数k写成 k = α + iβ， 则解变为：
    u(y, t) = U₀ e^{-α y} cos(ωt - β y)
    这是一个沿y方向传播的衰减剪切波。

    • 衰减系数α：决定了扰动能够渗透到流体内部的深度，δ = 1/α 称为趋肤深度或穿透深度。粘弹性（特别是弹性）会显著影响这个深度。
    • 波数β：决定了波在空间中的振荡相位。

  4. 与第一问题的联系：第二问题的解（在频率域）与第一问题的解（在拉普拉斯变换域）通过解析延拓 s → -iω 存在形式上的联系。这反映了线性响应理论中瞬态响应（阶跃应变）与动态响应（振荡应变）通过傅里叶/拉普拉斯变换相关联。

第四步：经典模型示例与比较

  • 牛顿流体：G*(ω) = iηω， 代入可得 k = √(iρω/η) = (1+i)√(ρω/(2η))。此时 α = β = √(ρω/(2η))， 穿透深度 δ ~ √(η/(ρω))。第一问题的解是著名的误差函数解。

  • 麦克斯韦流体：G*(ω) = (G₀ iωλ) / (1 + iωλ)， 其中G₀是弹性模量，λ是松弛时间。此时：
    k = √[ (ρω²/G₀) * (1 + iωλ) / (iωλ) ]
    当ωλ >> 1（高频/弹性主导）， k ≈ √(ρω²/G₀)， 波速接近 √(G₀/ρ)（弹性波特性），衰减较弱。当ωλ << 1（低频/粘性主导）， 行为近似牛顿流体。第一问题的解可解析求出，包含一个传播波前和拖尾的扩散部分。

总结：
粘弹性流体的斯托克斯问题，其数学核心在于处理含有记忆积分（时间卷积）的扩散型方程。第一问题（瞬态启动）的求解主要依赖拉普拉斯变换，其解揭示了粘弹性剪切波的传播与弥散。第二问题（稳态振荡）的求解则自然引出复模量这一描述线性粘弹性动态响应的关键概念，其解表现为空间衰减的剪切波，穿透深度由流体的弹性和粘性共同决定。通过这两个经典问题的对比，可以深刻理解材料的松弛特性（由G(t)描述）与动态响应特性（由G*(ω)描述）之间的内在数学联系（通过拉普拉斯/傅里叶变换），这是线性粘弹性理论的基础。

粘弹性流体中的斯托克斯第一问题与第二问题（续） 我们之前已初步探讨了粘弹性流体中这两个经典问题的物理背景和基本方程。现在我们将更深入地分析它们的解析求解方法、核心数学技巧以及物理内涵的差异。 第一步：重温控制方程与问题定义 对于一个线性粘弹性流体，在简单剪切流动中，其本构关系通常用一个 记忆积分 （或对应的微分算子）来描述。对于斯托克斯第一和第二问题，我们考虑在无限大平板（位于y=0平面）上方（y>0）的半无限大流体区域。流体初始静止。x方向的速度u(y, t)满足由运动方程和本构关系导出的、关于y和t的积分-微分方程。 斯托克斯第一问题（突然启动的平板） ：在t=0⁺时刻，平板突然以恒定速度U₀沿x方向运动，并保持此速度。边界条件为： u(0, t) = U₀， 对于 t > 0 u(y, 0) = 0， 对于 y > 0 u(∞, t) = 0， 对于 t ≥ 0 斯托克斯第二问题（平板作简谐振荡） ：平板在t>0时沿x方向作角频率为ω的简谐振荡。边界条件为： u(0, t) = U₀ cos(ωt) 或 U₀ e^{-iωt}的实部 u(y, 0) = 0， 对于 y > 0 u(∞, t) 有界 核心方程 ：对于许多线性粘弹性模型（如麦克斯韦流体、Oldroyd-B流体等），在剪切流假设下，控制方程可化简为： ∂u/∂t = ∫₀ᵗ G(t - τ) (∂²u/∂y²)(y, τ) dτ 其中G(t)是 应力松弛模量 ，它是材料特性的核心。对于牛顿流体，G(t) = ν δ(t)（狄拉克函数），方程退化为标准的扩散方程 ∂u/∂t = ν ∂²u/∂y²。 第二步：求解斯托克斯第一问题的通用积分变换法 应用拉普拉斯变换 ：对时间变量t进行拉普拉斯变换是处理此类具有记忆效应的初值问题的有力工具。定义 ū(y, s) = L{u(y, t)} = ∫₀∞ u(y, t) e^{-st} dt。 变换控制方程 ：利用拉普拉斯变换的卷积定理，原积分-微分方程变为： sū(y, s) = Ḡ(s) * (∂²ū/∂y²)(y, s) 这里Ḡ(s)是松弛模量G(t)的拉普拉斯变换。注意到sū(y, s)包含了初始条件u(y,0)=0。方程重排为： (∂²ū/∂y²)(y, s) - [ s / Ḡ(s) ] ū(y, s) = 0 这是一个关于空间变量y的常微分方程，其中s是参数。 求解变换域中的方程 ：上述方程的通解形式为： ū(y, s) = A(s) e^{-q(s) y} + B(s) e^{q(s) y}， 其中 q(s) = √[ s / Ḡ(s) ] 根据边界有界性条件（u(∞, t)有界意味着ū(∞, s)有界），必须取B(s)=0。再代入边界条件u(0, t)=U₀的拉普拉斯变换 ū(0, s)=U₀/s，可得A(s)=U₀/s。因此： ū(y, s) = (U₀ / s) * exp[ -y √(s / Ḡ(s)) ] 核心难点：逆变换与物理诠释 ：速度场的解由 拉普拉斯逆变换 给出： u(y, t) = (U₀ / (2πi)) ∫_ {γ-i∞}^{γ+i∞} (1/s) * exp[ st - y √(s / Ḡ(s)) ] ds 这个积分的计算强烈依赖于具体材料模型对应的Ḡ(s)（即具体的本构关系）。物理图像是，一个“剪切波”从平板处发出，向流体内部传播。由于粘弹性流体的“记忆”特性，这个波前是 弥散 的，波形在传播过程中会发生变化，不再像牛顿流体那样是一个简单的误差函数轮廓。 第三步：求解斯托克斯第二问题与复模量 寻找稳态周期解 ：对于第二问题，我们通常关心在初始瞬态衰减后达到的 稳态振荡 。因此，我们寻求形如 u(y, t) = Re[ f(y) e^{-iωt} ] 的解。 代入控制方程 ：将上述形式的解代入控制方程。这里的关键技巧是注意到对于线性系统，对时间的简谐振荡（e^{-iωt}）会导致时间卷积积分变成乘法。具体地，本构关系中的记忆积分会引入一个与频率ω相关的 复数 系数，即 复粘度 或 复剪切模量 G* (ω)。可以证明，控制方程简化为关于f(y)的常微分方程： d²f/dy² + (iρω / G* (ω)) f = 0 其中G* (ω) = G‘(ω) + iG’‘(ω) 是复剪切模量，与松弛模量的关系为 G* (ω) = iω ∫₀∞ G(t) e^{-iωt} dt。 求解与“穿透深度” ：上述方程的解为 f(y) = A e^{-k y}， 其中复波数 k = √(iρω / G* (ω))。利用边界条件f(0)=U₀，得到A=U₀。因此稳态解为： u(y, t) = U₀ Re{ exp[ -iωt - k y ] } 将复波数k写成 k = α + iβ， 则解变为： u(y, t) = U₀ e^{-α y} cos(ωt - β y) 这是一个沿y方向传播的 衰减剪切波 。 衰减系数α ：决定了扰动能够渗透到流体内部的深度，δ = 1/α 称为 趋肤深度 或 穿透深度 。粘弹性（特别是弹性）会显著影响这个深度。 波数β ：决定了波在空间中的振荡相位。 与第一问题的联系 ：第二问题的解（在频率域）与第一问题的解（在拉普拉斯变换域）通过解析延拓 s → -iω 存在形式上的联系。这反映了线性响应理论中瞬态响应（阶跃应变）与动态响应（振荡应变）通过傅里叶/拉普拉斯变换相关联。 第四步：经典模型示例与比较 牛顿流体 ：G* (ω) = iηω， 代入可得 k = √(iρω/η) = (1+i)√(ρω/(2η))。此时 α = β = √(ρω/(2η))， 穿透深度 δ ~ √(η/(ρω))。第一问题的解是著名的误差函数解。 麦克斯韦流体 ：G* (ω) = (G₀ iωλ) / (1 + iωλ)， 其中G₀是弹性模量，λ是松弛时间。此时： k = √[ (ρω²/G₀) * (1 + iωλ) / (iωλ) ] 当ωλ >> 1（高频/弹性主导）， k ≈ √(ρω²/G₀)， 波速接近 √(G₀/ρ)（弹性波特性），衰减较弱。当ωλ < < 1（低频/粘性主导）， 行为近似牛顿流体。第一问题的解可解析求出，包含一个传播波前和拖尾的扩散部分。 总结 ： 粘弹性流体的斯托克斯问题，其数学核心在于处理含有记忆积分（时间卷积）的扩散型方程。 第一问题 （瞬态启动）的求解主要依赖 拉普拉斯变换 ，其解揭示了粘弹性剪切波的传播与弥散。 第二问题 （稳态振荡）的求解则自然引出 复模量 这一描述线性粘弹性动态响应的关键概念，其解表现为空间衰减的剪切波， 穿透深度 由流体的弹性和粘性共同决定。通过这两个经典问题的对比，可以深刻理解材料的 松弛特性 （由G(t)描述）与 动态响应特性 （由G* (ω)描述）之间的内在数学联系（通过拉普拉斯/傅里叶变换），这是线性粘弹性理论的基础。