量子力学中的Keldysh编时框架
字数 2593 2025-12-23 12:23:45

量子力学中的Keldysh编时框架

我将为你讲解量子力学中的Keldysh编时框架。这是一个处理非平衡量子统计物理的核心数学工具。下面我将分步深入介绍。

第一步：基本背景与问题起源
在量子力学中，描述系统平衡态的性质通常使用零温的基态理论或有限温度下的Matsubara虚时形式。然而，许多物理过程（如在外场驱动下的系统、量子淬火、输运问题等）都涉及系统远离平衡态的情况。此时，系统没有明确定义的单一温度，时间平移不变性被破坏，传统的平衡态微扰论不再适用。Keldysh编时框架正是为统一处理这类非平衡问题而发展出的形式体系。它的核心目标是将非平衡格林函数（也称为实时格林函数）组织成一种类似于平衡态理论中矩阵形式的紧凑结构，从而能够系统地进行微扰展开。

第二步：闭合时间路径（Keldysh回路）的基本构造
Keldysh框架的核心是一个特殊的时间路径，称为闭合时间路径或Keldysh回路。我们考虑从某个初始时刻t₀（通常取为-∞）出发，沿着实时间轴正向演化到未来某个充分大的时间（或+∞），然后立即“折返”，沿着另一条实时间路径反向演化回初始时刻t₀。这个回路形成了一个闭合的路径C。它之所以被称为“闭合”，是因为虽然时间在物理上是单向的，但我们通过数学上的两条分支（正向分支C+和反向分支C-）构成了一个闭合的回路。在正向分支C+上，时间参数从t₀演化到+∞；在反向分支C-上，时间参数（沿路径的方向）从+∞演化回t₀。场算符在此回路上的编时排序定义遵循路径顺序：路径上更靠后的点，其算符在编时积中位置更靠左。

第三步：两点格林函数的矩阵表示（Keldysh空间）
系统的核心物理信息包含在各种格林函数中。在Keldysh框架中，定义在闭合时间路径上的两点编时格林函数G_C(t, t') = -i ⟨T_C ψ(t) ψ†(t')⟩ 可以通过将时间参数t和t'分别分配到正向（+）或反向（-）分支上，分解为四个独立的实时间格林函数：

  1. 时序格林函数 G^++(t, t') = G^T(t, t')：当t和t'都在正向分支上，且t在路径顺序上晚于t'。
  2. 反时序格林函数 G^--(t, t') = G^̃T(t, t')：当t和t'都在反向分支上，且t在路径顺序上晚于t'。
  3. 大于格林函数 G^>(t, t')：当t在正向分支，t'在正向分支，但t晚于t'（或跨分支关系之一）。
  4. 小于格林函数 G^<(t, t')：当t在正向分支，t'在正向分支，但t早于t'（或跨分支关系之一）。
    更常见和紧凑的做法是，将它们组合成一个2x2矩阵，称为“Keldysh空间”中的格林函数矩阵：
    Ĝ(t, t') = [ G^R(t, t') G^K(t, t')
    0 G^A(t, t') ]
    不过，更标准的Keldysh旋转后基是：我们通常进行一个线性变换，定义“经典”分量和“量子”分量，或者等价地使用推迟、超前和Keldysh分量：
  • 推迟格林函数 G^R = G^T - G^< = G^> - G^̃T
  • 超前格林函数 G^A = G^T - G^> = G^< - G^̃T
  • Keldysh格林函数 G^K = G^T + G^̃T = G^> + G^<
    在平衡态下，这三个函数不独立，由涨落耗散定理联系。但在非平衡态下，它们是三个独立的函数。矩阵形式变为：
    Ĝ = [ G^R G^K
    0 G^A ]

第四步：运动方程与Dyson方程
在Keldysh形式下，自由格林函数可以通过对相应平衡态理论的结果做解析延拓得到，但具有上述矩阵结构。当存在相互作用时，关键方程是Dyson方程。在Keldysh矩阵表示下，Dyson方程取非常紧凑的形式：
Ĝ = Ĝ₀ + Ĝ₀ ⊗ Σ̂ ⊗ ėĜ
这里Ĝ₀是自由格林函数矩阵，Σ̂是自能矩阵（也具有相同的2x2 Keldysh结构），符号⊗表示在时间和空间坐标上的卷积积分（通常也包含矩阵乘法）。由于是矩阵方程，它同时包含了G^R, G^A, G^K的耦合方程。特别地，推迟和超前格林函数的Dyson方程形式上与平衡态类似：G^{R/A} = G₀^{R/A} + G₀^{R/A} Σ^{R/A} G^{R/A}。而Keldysh分量的方程则给出：G^K = G^R Σ^K G^A + (1 + G^R Σ^R) G₀^K (1 + Σ^A G^A)。这个方程描述了非平衡分布的信息如何被自能修正。

第五步：微扰论与Feynman规则
Keldysh框架的美妙之处在于，它允许我们像在零温度量子场论中一样，系统地发展微扰论。Feynman规则与平衡态理论类似，但需做如下调整：

  1. 所有传播子线对应2x2的矩阵格林函数Ĝ。
  2. 所有顶点携带一个额外的“分支指标”（+或-），相互作用顶点在+分支和-分支的形式可能不同（通常，+分支的顶点耦合常数为+g，-分支的为-g，这是因为作用量在闭合时间路径上的积分定义所致）。
  3. 对每个内部顶点，需要对所有内部时间积分，并对分支指标求和（+和-）。
  4. 由于路径闭合，微扰展开中会出现“真空图”，但它们会被分母的配分函数精确抵消，确保了归一化，这与平衡态理论中的情况类似。

第六步：稳态近似与量子动力学方程
在很多输运或稳态非平衡问题中，系统在长时间后会演化到一个与时间无关的稳态（但并非热平衡态）。在这种稳态下，时间平移不变性恢复，所有两点函数只依赖于时间差t-t'。此时，通过Fourier变换到频域，Keldysh矩阵方程可以简化。特别地，可以得到著名的Kadanoff-Baym方程或它的梯度展开形式（在Wigner表示下），它们是关于G^<和G^>的量子动力学方程，是研究量子输运的基础。在最低阶梯度展开下，它们可化为玻尔兹曼类型的输运方程。

第七步：扩展与应用
Keldysh框架是高度通用的，它可以应用于：

  • 介观系统的量子输运（Landauer-Büttiker公式的场论推导）。
  • 强关联电子系统在非平衡条件下的动力学平均场理论。
  • 量子淬火和热化问题。
  • 量子光学中的耗散系统。
  • 高能物理中的重离子碰撞产生的夸克-胶子等离子体早期演化。
    它的核心优势在于，它将非平衡统计物理纳入了与平衡态量子场论在形式上统一、可以系统做微扰和非微扰计算的框架之中。
量子力学中的Keldysh编时框架 我将为你讲解量子力学中的Keldysh编时框架。这是一个处理非平衡量子统计物理的核心数学工具。下面我将分步深入介绍。 第一步：基本背景与问题起源 在量子力学中，描述系统平衡态的性质通常使用零温的基态理论或有限温度下的Matsubara虚时形式。然而，许多物理过程（如在外场驱动下的系统、量子淬火、输运问题等）都涉及系统远离平衡态的情况。此时，系统没有明确定义的单一温度，时间平移不变性被破坏，传统的平衡态微扰论不再适用。Keldysh编时框架正是为统一处理这类非平衡问题而发展出的形式体系。它的核心目标是将非平衡格林函数（也称为实时格林函数）组织成一种类似于平衡态理论中矩阵形式的紧凑结构，从而能够系统地进行微扰展开。 第二步：闭合时间路径（Keldysh回路）的基本构造 Keldysh框架的核心是一个特殊的时间路径，称为闭合时间路径或Keldysh回路。我们考虑从某个初始时刻t₀（通常取为-∞）出发，沿着实时间轴正向演化到未来某个充分大的时间（或+∞），然后立即“折返”，沿着另一条实时间路径反向演化回初始时刻t₀。这个回路形成了一个闭合的路径C。它之所以被称为“闭合”，是因为虽然时间在物理上是单向的，但我们通过数学上的两条分支（正向分支C+和反向分支C-）构成了一个闭合的回路。在正向分支C+上，时间参数从t₀演化到+∞；在反向分支C-上，时间参数（沿路径的方向）从+∞演化回t₀。场算符在此回路上的编时排序定义遵循路径顺序：路径上更靠后的点，其算符在编时积中位置更靠左。 第三步：两点格林函数的矩阵表示（Keldysh空间） 系统的核心物理信息包含在各种格林函数中。在Keldysh框架中，定义在闭合时间路径上的两点编时格林函数G_ C(t, t') = -i ⟨T_ C ψ(t) ψ†(t')⟩ 可以通过将时间参数t和t'分别分配到正向（+）或反向（-）分支上，分解为四个独立的实时间格林函数： 时序格林函数 G^++(t, t') = G^T(t, t')：当t和t'都在正向分支上，且t在路径顺序上晚于t'。 反时序格林函数 G^--(t, t') = G^̃T(t, t')：当t和t'都在反向分支上，且t在路径顺序上晚于t'。 大于格林函数 G^>(t, t')：当t在正向分支，t'在正向分支，但t晚于t'（或跨分支关系之一）。 小于格林函数 G^ <(t, t')：当t在正向分支，t'在正向分支，但t早于t'（或跨分支关系之一）。 更常见和紧凑的做法是，将它们组合成一个2x2矩阵，称为“Keldysh空间”中的格林函数矩阵： Ĝ(t, t') = [ G^R(t, t') G^K(t, t') 0 G^A(t, t') ] 不过，更标准的Keldysh旋转后基是：我们通常进行一个线性变换，定义“经典”分量和“量子”分量，或者等价地使用推迟、超前和Keldysh分量： 推迟格林函数 G^R = G^T - G^ < = G^> - G^̃T 超前格林函数 G^A = G^T - G^> = G^ < - G^̃T Keldysh格林函数 G^K = G^T + G^̃T = G^> + G^ < 在平衡态下，这三个函数不独立，由涨落耗散定理联系。但在非平衡态下，它们是三个独立的函数。矩阵形式变为： Ĝ = [ G^R G^K 0 G^A ] 第四步：运动方程与Dyson方程 在Keldysh形式下，自由格林函数可以通过对相应平衡态理论的结果做解析延拓得到，但具有上述矩阵结构。当存在相互作用时，关键方程是Dyson方程。在Keldysh矩阵表示下，Dyson方程取非常紧凑的形式： Ĝ = Ĝ₀ + Ĝ₀ ⊗ Σ̂ ⊗ ėĜ 这里Ĝ₀是自由格林函数矩阵，Σ̂是自能矩阵（也具有相同的2x2 Keldysh结构），符号⊗表示在时间和空间坐标上的卷积积分（通常也包含矩阵乘法）。由于是矩阵方程，它同时包含了G^R, G^A, G^K的耦合方程。特别地，推迟和超前格林函数的Dyson方程形式上与平衡态类似：G^{R/A} = G₀^{R/A} + G₀^{R/A} Σ^{R/A} G^{R/A}。而Keldysh分量的方程则给出：G^K = G^R Σ^K G^A + (1 + G^R Σ^R) G₀^K (1 + Σ^A G^A)。这个方程描述了非平衡分布的信息如何被自能修正。 第五步：微扰论与Feynman规则 Keldysh框架的美妙之处在于，它允许我们像在零温度量子场论中一样，系统地发展微扰论。Feynman规则与平衡态理论类似，但需做如下调整： 所有传播子线对应2x2的矩阵格林函数Ĝ。 所有顶点携带一个额外的“分支指标”（+或-），相互作用顶点在+分支和-分支的形式可能不同（通常，+分支的顶点耦合常数为+g，-分支的为-g，这是因为作用量在闭合时间路径上的积分定义所致）。 对每个内部顶点，需要对所有内部时间积分，并对分支指标求和（+和-）。 由于路径闭合，微扰展开中会出现“真空图”，但它们会被分母的配分函数精确抵消，确保了归一化，这与平衡态理论中的情况类似。 第六步：稳态近似与量子动力学方程 在很多输运或稳态非平衡问题中，系统在长时间后会演化到一个与时间无关的稳态（但并非热平衡态）。在这种稳态下，时间平移不变性恢复，所有两点函数只依赖于时间差t-t'。此时，通过Fourier变换到频域，Keldysh矩阵方程可以简化。特别地，可以得到著名的Kadanoff-Baym方程或它的梯度展开形式（在Wigner表示下），它们是关于G^ <和G^>的量子动力学方程，是研究量子输运的基础。在最低阶梯度展开下，它们可化为玻尔兹曼类型的输运方程。 第七步：扩展与应用 Keldysh框架是高度通用的，它可以应用于： 介观系统的量子输运（Landauer-Büttiker公式的场论推导）。 强关联电子系统在非平衡条件下的动力学平均场理论。 量子淬火和热化问题。 量子光学中的耗散系统。 高能物理中的重离子碰撞产生的夸克-胶子等离子体早期演化。 它的核心优势在于，它将非平衡统计物理纳入了与平衡态量子场论在形式上统一、可以系统做微扰和非微扰计算的框架之中。