曲面的第二基本形式与法曲率的关系 1. 从曲面的局部形状说起 我们之前学习了曲面的 第一基本形式 ，它描述了曲面上的度量（如弧长、角度、面积），这是曲面的 内蕴几何 。但要刻画曲面在三维空间中的“弯曲”形状，仅靠第一基本形式是不够的，我们需要引入描述曲面“弯曲程度”的工具。 2. 曲面的法向量与法曲率的直观思想 给定曲面 \(S\) 上一点 \(P\)，过 \(P\) 有唯一的 切平面 \(T_ P S\) 和单位 法向量 \(\mathbf{n}\)。现在考虑过 \(P\) 点在曲面上的一条曲线 \(\gamma(s)\)（\(s\) 为弧长参数），它在 \(P\) 点的 曲率向量 \(\kappa \mathbf{N}\)（\(\mathbf{N}\) 是曲线的主法向）可以分解为： 沿曲面法向量 \(\mathbf{n}\) 的分量： 法曲率 \(k_ n\) 在切平面内的分量： 测地曲率 \(k_ g\) 法曲率 \(k_ n = \kappa \, (\mathbf{N} \cdot \mathbf{n})\) 衡量了曲线在 \(P\) 点处“偏离切平面”的程度，也就是曲面在该方向的弯曲程度。 3. 第二基本形式的引入 设曲面参数化为 \(\mathbf{r}(u,v)\)，记： \[ \mathbf{r}_ u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \quad \mathbf{r}_ v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \] 单位法向量为： \[ \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}_ u \times \mathbf{r} v}{\|\mathbf{r} u \times \mathbf{r} v\|} \] 考虑曲面上一条曲线 \(\gamma(s) = \mathbf{r}(u(s), v(s))\)，其切向量为： \[ \mathbf{t} = \mathbf{r} u u' + \mathbf{r} v v' \] 曲率向量为： \[ \frac{d\mathbf{t}}{ds} = \mathbf{r} {uu} (u')^2 + 2\mathbf{r} {uv} u'v' + \mathbf{r} {vv} (v')^2 + \mathbf{r} u u'' + \mathbf{r} v v'' \] 其中，前三个项与曲线的“方向”有关，后两个项是切向分量。 法曲率 \(k_ n\) 是 \(\frac{d\mathbf{t}}{ds}\) 在法向量 \(\mathbf{n}\) 上的投影，即： \[ k_ n = \frac{d\mathbf{t}}{ds} \cdot \mathbf{n} \] 代入上式，并利用 \(\mathbf{r} u \cdot \mathbf{n} = 0\) 和 \(\mathbf{r} v \cdot \mathbf{n} = 0\)，得： \[ k_ n = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n} \, (u')^2 + 2\mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n} \, u'v' + \mathbf{r} {vv} \cdot \mathbf{n} \, (v')^2 \] 我们引入记号： \[ L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{n}, \quad M = \mathbf{r} {uv} \cdot \mathbf{n}, \quad N = \mathbf{r} {vv} \cdot \mathbf{n} \] 这 \(L, M, N\) 称为 第二类基本量 。于是： \[ k_ n = \frac{L (du)^2 + 2M du dv + N (dv)^2}{ds^2} \] 分母 \(ds^2\) 正是第一基本形式： \[ ds^2 = E (du)^2 + 2F du dv + G (dv)^2 \] 其中 \(E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u, F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v, G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v\)。 定义 第二基本形式 为二次微分形式： \[ \mathrm{II} = L (du)^2 + 2M du dv + N (dv)^2 \] 则法曲率可写为： \[ k_ n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} \] 其中 \(\mathrm{I} = ds^2\) 是第一基本形式。 4. 几何解释 第二基本形式 \(\mathrm{II}\) 衡量了曲面相对于切平面的“偏离速度”。具体来说，曲面在点 \(P\) 附近可近似为二次曲面： \[ z = \frac{1}{2} (L x^2 + 2M xy + N y^2) + \cdots \] 其中 \((x,y)\) 是切平面上的坐标，\(z\) 是法向高度。\(\mathrm{II}\) 正是这个二次型的系数矩阵对应的二次型。 5. 法曲率的极值与主曲率 由于 \(k_ n = \mathrm{II} / \mathrm{I}\) 依赖于方向 \((du:dv)\)，在切平面上所有单位切方向中，\(k_ n\) 有最大值和最小值，称为 主曲率 \(k_ 1, k_ 2\)，对应的方向称为 主方向 。 利用拉格朗日乘子法可导出主曲率满足方程： \[ (EG - F^2) k^2 - (EN - 2FM + GL) k + (LN - M^2) = 0 \] 这个方程称为 曲率特征方程 。 6. 与高斯曲率、平均曲率的关系 主曲率 \(k_ 1, k_ 2\) 与第二基本形式的关系为： 高斯曲率 \(K = k_ 1 k_ 2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}\) 平均曲率 \(H = \frac{k_ 1 + k_ 2}{2} = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)}\) 因此，第二基本形式与第一基本形式结合，完全确定了曲面的局部弯曲信息。 7. 示例：球面的第二基本形式 球面半径 \(R\)，参数化为 \(\mathbf{r}(\theta,\phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta)\)。 计算可得： \[ \mathbf{r} \theta = (R\cos\theta\cos\phi, R\cos\theta\sin\phi, -R\sin\theta) \] \[ \mathbf{r} \phi = (-R\sin\theta\sin\phi, R\sin\theta\cos\phi, 0) \] 法向量 \(\mathbf{n} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)\)（外法向）。 进一步： \[ \mathbf{r} {\theta\theta} = (-R\sin\theta\cos\phi, -R\sin\theta\sin\phi, -R\cos\theta) = -R \mathbf{n} \] \[ \mathbf{r} {\theta\phi} = (-R\cos\theta\sin\phi, R\cos\theta\cos\phi, 0) \] \[ \mathbf{r} {\phi\phi} = (-R\sin\theta\cos\phi, -R\sin\theta\sin\phi, 0) \] 于是： \[ L = \mathbf{r} {\theta\theta} \cdot \mathbf{n} = -R, \quad M = \mathbf{r} {\theta\phi} \cdot \mathbf{n} = 0, \quad N = \mathbf{r} {\phi\phi} \cdot \mathbf{n} = -R\sin^2\theta \] 所以第二基本形式为： \[ \mathrm{II} = -R (d\theta)^2 - R\sin^2\theta (d\phi)^2 \] 此时第一基本形式为 \(\mathrm{I} = R^2 (d\theta)^2 + R^2\sin^2\theta (d\phi)^2\)，故： \[ k_ n = \frac{\mathrm{II}}{\mathrm{I}} = -\frac{1}{R} \] （负号因法向取向，绝对值即为曲率 \(1/R\)）。 总结 第二基本形式 \(\mathrm{II}\) 与第一基本形式 \(\mathrm{I}\) 共同描述了曲面的局部几何：\(\mathrm{I}\) 给出内蕴度量，\(\mathrm{II}\) 给出外在弯曲。法曲率 \(k_ n = \mathrm{II}/\mathrm{I}\) 是方向函数，其极值为主曲率，进而导出高斯曲率与平均曲率。这是曲面微分几何的核心框架之一。