C*-代数的正规元与连续函数演算（Normal Elements and Continuous Functional Calculus in C*-Algebras）
字数 3241 2025-12-23 06:58:47

C*-代数的正规元与连续函数演算（Normal Elements and Continuous Functional Calculus in C*-Algebras）

我们来详细探讨C*-代数中一个核心概念：正规元，以及与之密切相关的连续函数演算。这个理论是连接抽象算子代数与经典复分析的桥梁，也是谱理论和量子力学数学基础的关键。

第一步：理解基本舞台——C*-代数

首先，我们需要明确讨论的舞台。

  • 什么是C*-代数？ 它是一个复数域ℂ上的巴拿赫代数（即完备的赋范代数），并且配备了一个满足特定性质的“*”运算（称为对合或伴随运算）。这些性质是：
    1. (x*)* = x （对合是它自己的逆）
    2. (x + y)* = x* + y*
    3. (λx)* = \bar{λ} x* （其中λ是复数，\bar{λ}是其共轭）
    4. (xy)* = y*x*
    5. C*恒等式：||x*x|| = ||x||² （这是最核心的恒等式，将代数结构、范数和*运算紧密联系起来）
  • 例子：
    • 例子A（具体）：复数ℂ本身，*运算就是复共轭，范数是绝对值。
    • 例子B（具体）：希尔伯特空间H上所有有界线性算子的集合B(H)，*运算是算子的伴随，范数是算子范数。
    • 例子C（抽象）：满足上述定义的任何抽象代数，比如某个交换C*-代数（由Gelfand表示定理，它本质上同构于一个函数代数）。

第二步：核心角色——正规元

在C*-代数A中，我们特别关注一类元素。

  • 定义（正规元）： 一个元素a ∈ A被称为正规的，如果它与其伴随可交换，即：

\[ a a^* = a^* a \]

  • 直观理解： 在算子代数B(H)的背景下，正规算子意味着它与其伴随算子可交换。在量子力学中，可观测量通常由自伴算子（一种特殊的正规算子，满足a* = a）表示，正规性是可对角化（或更一般地，有谱分解）的代数学先决条件。
  • 重要特例：
    1. 自伴元： 满足 a* = a。它们在物理上代表可观测量。
    2. 酉元： 满足 aa = aa = 1（单位元）。它们代表保持内积的变换（如旋转、平移）。
    3. 投影元： 满足 p* = p 且 p² = p。它们代表到闭子空间上的正交投影。

第三步：目标——建立“函数演算”

我们希望实现一个强大的想法：对于一个正规元a，我们可以有意义地谈论像f(a)这样的表达式，其中f是一个复值连续函数。 例如，如果a是自伴的，我们希望能定义sin(a)， exp(ia)， √a（如果谱非负）等等。

  • 动机： 在有限维矩阵情形，如果正规矩阵N可以对角化，即 N = UDU*，其中D是对角矩阵，那么很自然地定义 f(N) = U f(D) U*，其中f(D)就是对对角元（即特征值）逐个应用f。连续函数演算将这个想法推广到了无穷维的C*-代数上。
  • 关键工具：交换C*-子代数： 对于一个固定的正规元a，考虑由a， a和单位元1生成的（最小的）C-子代数，记作C*(a, 1)。这是一个交换C*-代数。这个交换性至关重要，因为它允许我们利用Gelfand表示定理。

第四步：构建桥梁——Gelfand表示

这是实现函数演算的理论核心。

  • 回顾Gelfand表示： 对于一个交换C*-代数B，存在一个紧致豪斯多夫空间X（称为B的谱或极大理想空间），使得B等距同构于X上所有复值连续函数构成的C-代数C(X)。这个同构称为Gelfand变换，记为 ^: B → C(X)。对于b ∈ B，对应的函数 \hat{b} 在点φ（X中的一个点，对应一个复同态）处的取值就是 φ(b)。
  • 应用到我们的情况： 取 B = C*(a, 1)。那么存在一个紧豪斯多夫空间 σ(a)（实际上就是a的谱集）和一个等距*同构：

\[ \Gamma: C^*(a, 1) \longrightarrow C(\sigma(a)) \]

这个同构将单位元1映到常值函数1，将元素a映到**恒等函数**：

\[ \Gamma(a) = \text{id}, \quad \text{其中} \ \text{id}(z) = z \ \text{对所有} \ z \in \sigma(a) \text{成立。} \]

这个事实是深刻的：在交换子代数C*(a,1)中，元素a的表现**完全就像**其谱集σ(a)上的恒等坐标函数z ↦ z。

第五步：定义连续函数演算

有了上面的同构，定义就变得自然而严格。

  • 定义： 设a是C*-代数A中的正规元，f ∈ C(σ(a))（即f是a的谱集上的连续复值函数）。我们定义 f(a) 为：

\[ f(a) := \Gamma^{-1}(f) \]

也就是说，f(a)是C*(a,1)中那个唯一的元素，其在Gelfand表示下恰好对应于函数f。
  • 这意味着什么？ 我们通过以下交换图来理解：

\[ \begin{array}{ccc} a \in C^*(a,1) & \xrightarrow{\Gamma} & \text{id} \in C(\sigma(a)) \\ \downarrow{\text{定义}f(a)} & & \downarrow{\text{代入}f} \\ f(a) \in C^*(a,1) & \xrightarrow[\cong]{\Gamma} & f \in C(\sigma(a)) \end{array} \]

从代数角度看，映射 f ↦ f(a) 是从函数代数 C(σ(a)) 到算子代数 C*(a,1) ⊆ A 的一个等距*同构。

第六步：连续函数演算的基本性质

这个构造满足一系列极其优美且符合直觉的性质（设f， g ∈ C(σ(a))， λ ∈ ℂ）：

  1. 代数同态性： (f+g)(a) = f(a) + g(a)， (λf)(a) = λ f(a)， (fg)(a) = f(a)g(a)。 特别地，f(a)与g(a)可交换。
  2. 保持对合： (\bar{f})(a) = (f(a))*，其中\bar{f}是f的复共轭函数。
  3. 谱映射定理： σ(f(a)) = f(σ(a))。这是该理论中最有用的结论之一：对正规元做连续函数演算，其谱就是原谱在函数f下的像。
  4. 保范性： ||f(a)|| = sup_{z \in σ(a)} |f(z)|。右边的上确界就是函数f在谱集σ(a)上的上确界范数。
  5. 唯一性： 满足上述性质（特别是将恒等函数id映到a，将常值函数1映到单位元1）的从C(σ(a))到A的代数*同态是唯一的。

第七步：意义与应用

连续函数演算是一个基础性工具，其重要性体现在：

  • 功能强大： 它允许我们像处理数字或函数一样，对正规算子进行各种连续操作。例如，我们可以定义|a| = √(a*a)（使用f(z)=√(|z|²)），对于自伴元可以定义其正部a⁺和负部a⁻。
  • 构造投影： 通过取特征函数（如f = χ_{[λ1, λ2]}），我们可以得到代数中的投影元，这是通向谱定理（将正规元表示为谱积分）的关键步骤。
  • 理论基石： 它是更高级函数演算（如博雷尔函数演算，允许使用有界可测函数）的起点，也是研究算子代数、量子力学中观测量的数学表述以及指标理论等领域的核心。

总结： 通过引入正规元的概念，并利用交换C*-代数的Gelfand表示，我们为正规元a建立了一个完美的对应：将其谱集σ(a)视为一个“定义域”，将包含a的最小交换子代数中的元素视为这个定义域上的“连续函数”。连续函数演算正是这个对应的逆映射，它系统地将任何谱集上的连续函数f，赋予一个C*-代数中唯一的元素f(a)，并保持了所有预期的代数、对合和拓扑关系。这是泛函分析中将算子“函数化”处理的典范。

C* -代数的正规元与连续函数演算（Normal Elements and Continuous Functional Calculus in C* -Algebras） 我们来详细探讨C* -代数中一个核心概念： 正规元 ，以及与之密切相关的 连续函数演算 。这个理论是连接抽象算子代数与经典复分析的桥梁，也是谱理论和量子力学数学基础的关键。 第一步：理解基本舞台——C* -代数 首先，我们需要明确讨论的舞台。 什么是C* -代数？ 它是一个复数域ℂ上的 巴拿赫代数 （即完备的赋范代数），并且配备了一个满足特定性质的“* ”运算（称为对合或伴随运算）。这些性质是： (x*)* = x （对合是它自己的逆） (x + y)* = x* + y* (λx)* = \bar{λ} x* （其中λ是复数，\bar{λ}是其共轭） (xy)* = y*x* C* 恒等式 ： ||x*x|| = ||x||² （这是最核心的恒等式，将代数结构、范数和* 运算紧密联系起来） 例子 ： 例子A（具体） ：复数ℂ本身，* 运算就是复共轭，范数是绝对值。 例子B（具体） ：希尔伯特空间H上所有 有界线性算子 的集合B(H)，* 运算是算子的伴随，范数是算子范数。 例子C（抽象） ：满足上述定义的任何抽象代数，比如某个交换C* -代数（由Gelfand表示定理，它本质上同构于一个函数代数）。 第二步：核心角色——正规元 在C* -代数A中，我们特别关注一类元素。 定义（正规元） ： 一个元素a ∈ A被称为 正规的 ，如果它与其伴随可交换，即： \[ a a^* = a^* a \] 直观理解 ： 在算子代数B(H)的背景下，正规算子意味着它与其伴随算子可交换。在量子力学中，可观测量通常由自伴算子（一种特殊的正规算子，满足a* = a）表示，正规性是可对角化（或更一般地，有谱分解）的代数学先决条件。 重要特例 ： 自伴元 ： 满足 a* = a。它们在物理上代表可观测量。 酉元 ： 满足 a a = aa = 1（单位元）。它们代表保持内积的变换（如旋转、平移）。 投影元 ： 满足 p* = p 且 p² = p。它们代表到闭子空间上的正交投影。 第三步：目标——建立“函数演算” 我们希望实现一个强大的想法： 对于一个正规元a，我们可以有意义地谈论像f(a)这样的表达式，其中f是一个复值连续函数。 例如，如果a是自伴的，我们希望能定义sin(a)， exp(ia)， √a（如果谱非负）等等。 动机 ： 在有限维矩阵情形，如果正规矩阵N可以对角化，即 N = UDU* ，其中D是对角矩阵，那么很自然地定义 f(N) = U f(D) U* ，其中f(D)就是对对角元（即特征值）逐个应用f。连续函数演算将这个想法推广到了无穷维的C* -代数上。 关键工具：交换C* -子代数 ： 对于一个固定的正规元a，考虑由a， a 和单位元1生成的（最小的）C -子代数，记作C* (a, 1)。这是一个 交换C* -代数 。这个交换性至关重要，因为它允许我们利用Gelfand表示定理。 第四步：构建桥梁——Gelfand表示 这是实现函数演算的理论核心。 回顾Gelfand表示 ： 对于一个交换C* -代数B，存在一个紧致豪斯多夫空间X（称为B的 谱 或极大理想空间），使得B等距 同构于X上所有复值连续函数构成的C -代数C(X)。这个同构称为 Gelfand变换 ，记为 ^: B → C(X)。对于b ∈ B，对应的函数 \hat{b} 在点φ（X中的一个点，对应一个复同态）处的取值就是 φ(b)。 应用到我们的情况 ： 取 B = C* (a, 1)。那么存在一个紧豪斯多夫空间 σ(a)（实际上就是a的谱集）和一个等距 同构： \[ \Gamma: C^ (a, 1) \longrightarrow C(\sigma(a)) \] 这个同构将单位元1映到常值函数1，将元素a映到 恒等函数 ： \[ \Gamma(a) = \text{id}, \quad \text{其中} \ \text{id}(z) = z \ \text{对所有} \ z \in \sigma(a) \text{成立。} \] 这个事实是深刻的：在交换子代数C* (a,1)中，元素a的表现 完全就像 其谱集σ(a)上的恒等坐标函数z ↦ z。 第五步：定义连续函数演算 有了上面的同构，定义就变得自然而严格。 定义 ： 设a是C* -代数A中的正规元，f ∈ C(σ(a))（即f是a的谱集上的连续复值函数）。我们定义 f(a) 为： \[ f(a) := \Gamma^{-1}(f) \] 也就是说，f(a)是C* (a,1)中那个唯一的元素，其在Gelfand表示下恰好对应于函数f。 这意味着什么？ 我们通过以下交换图来理解： \[ \begin{array}{ccc} a \in C^ (a,1) & \xrightarrow{\Gamma} & \text{id} \in C(\sigma(a)) \\ \downarrow{\text{定义}f(a)} & & \downarrow{\text{代入}f} \\ f(a) \in C^ (a,1) & \xrightarrow[ \cong ]{\Gamma} & f \in C(\sigma(a)) \end{array} \] 从代数角度看，映射 f ↦ f(a) 是从函数代数 C(σ(a)) 到算子代数 C* (a,1) ⊆ A 的一个等距* 同构。 第六步：连续函数演算的基本性质 这个构造满足一系列极其优美且符合直觉的性质（设f， g ∈ C(σ(a))， λ ∈ ℂ）： 代数同态性 ： (f+g)(a) = f(a) + g(a) ， (λf)(a) = λ f(a) ， (fg)(a) = f(a)g(a) 。 特别地，f(a)与g(a)可交换。 保持对合 ： (\bar{f})(a) = (f(a))* ，其中\bar{f}是f的复共轭函数。 谱映射定理 ： σ(f(a)) = f(σ(a)) 。这是该理论中最有用的结论之一：对正规元做连续函数演算，其谱就是原谱在函数f下的像。 保范性 ： ||f(a)|| = sup_{z \in σ(a)} |f(z)| 。右边的上确界就是函数f在谱集σ(a)上的上确界范数。 唯一性 ： 满足上述性质（特别是将恒等函数id映到a，将常值函数1映到单位元1）的从C(σ(a))到A的代数* 同态是唯一的。 第七步：意义与应用 连续函数演算是一个基础性工具，其重要性体现在： 功能强大 ： 它允许我们像处理数字或函数一样，对正规算子进行各种连续操作。例如，我们可以定义|a| = √(a* a)（使用f(z)=√(|z|²)），对于自伴元可以定义其正部a⁺和负部a⁻。 构造投影 ： 通过取特征函数（如f = χ_ {[ λ1, λ2]}），我们可以得到代数中的投影元，这是通向 谱定理 （将正规元表示为谱积分）的关键步骤。 理论基石 ： 它是更高级函数演算（如 博雷尔函数演算 ，允许使用有界可测函数）的起点，也是研究算子代数、量子力学中观测量的数学表述以及指标理论等领域的核心。 总结 ： 通过引入 正规元 的概念，并利用交换C* -代数的 Gelfand表示 ，我们为正规元a建立了一个完美的对应：将其谱集σ(a)视为一个“定义域”，将包含a的最小交换子代数中的元素视为这个定义域上的“连续函数”。 连续函数演算 正是这个对应的逆映射，它系统地将任何谱集上的连续函数f，赋予一个C* -代数中唯一的元素f(a)，并保持了所有预期的代数、对合和拓扑关系。这是泛函分析中将算子“函数化”处理的典范。