分离变量法
-
基本思想与动机
分离变量法是求解偏微分方程的一种经典而强大的解析方法，其核心思想是：假设一个多元函数（例如，依赖于空间 \(x\) 和时间 \(t\) 的函数 \(u(x, t)\)）可以表示为几个单变量函数的乘积。通过这种假设，可以将一个复杂的偏微分方程（PDE）转化为一组更简单的常微分方程（ODE），从而大大简化求解过程。它特别适用于定义在规则区域（如矩形、圆形、球体）上的线性偏微分方程，例如我们之前讨论过的波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。 -
核心步骤：以一维波动方程为例
我们以一维齐次波动方程的初边值问题作为范例，来具体说明分离变量法的实施步骤。问题描述如下：
\[ \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, & 0 < x < L, \, t > 0 \quad \text{(控制方程)} \\ u(0, t) = 0, \, u(L, t) = 0, & t \ge 0 \quad \text{(边界条件)} \\ u(x, 0) = f(x), \, \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = g(x), & 0 \le x \le L \quad \text{(初始条件)} \end{cases} \]
**步骤一：分离变量假设**
我们首先假设波动方程的解 \(u(x, t)\) 可以写成两个单变量函数的乘积，其中一个只与空间 \(x\) 有关，另一个只与时间 \(t\) 有关：
\[ u(x, t) = X(x)T(t) \]
将这个试探解形式代入偏微分方程 \(u_{tt} = c^2 u_{xx}\)：
\[ X(x)T''(t) = c^2 X''(x)T(t) \]
**步骤二：分离方程**
将上述方程两边同时除以 \(c^2 X(x)T(t)\)（假设解不为零），将变量分离开：
\[ \frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} \]
这个等式要成立，等式的两边必须等于同一个常数，我们称这个常数为 \(-\lambda\)（引入负号是为了后续得到振动解）。于是我们得到两个独立的方程：
\[ \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda \quad \text{和} \quad \frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = -\lambda \]
整理后，得到两个常微分方程：
\[ \begin{aligned} \text{(空间方程)} &\quad X''(x) + \lambda X(x) = 0 \\ \text{(时间方程)} &\quad T''(t) + \lambda c^2 T(t) = 0 \end{aligned} \]
至此，我们成功地将一个偏微分方程分离成了两个常微分方程。
**步骤三：求解本征值问题**
现在我们需要利用边界条件。将 \(u(0,t)=X(0)T(t)=0\) 和 \(u(L,t)=X(L)T(t)=0\) 应用于分离变量解。由于 \(T(t)\) 不恒为零（否则是平凡解），我们必须有：
\[ X(0) = 0 \quad \text{和} \quad X(L) = 0 \]
这样，空间方程 \(X'' + \lambda X = 0\) 与边界条件 \(X(0)=0, X(L)=0\) 构成了一个施图姆-刘维尔型本征值问题。这个问题的解不是对任意常数 \(\lambda\) 都存在的。只有当 \(\lambda\) 取一系列特定的值时，才有非零解。这些特定的 \(\lambda\) 称为本征值，对应的非零解 \(X(x)\) 称为本征函数。
通过求解这个常微分方程边值问题（需要分 \(\lambda < 0, \lambda=0, \lambda>0\) 三种情况讨论），我们可以确定：
-
本征值：\(\lambda_n = \left( \frac{n\pi}{L} \right)^2\)，其中 \(n = 1, 2, 3, \dots\)
-
本征函数：\(X_n(x) = \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right)\)，其中 \(n = 1, 2, 3, \dots\)
步骤四：求解时间方程
对于每一个确定的本征值 \(\lambda_n\)，我们将其代入时间方程 \(T'' + \lambda_n c^2 T = 0\)：
\[ T''_n(t) + \left( \frac{n\pi c}{L} \right)^2 T_n(t) = 0 \]
这是一个简谐振动方程，其通解为：
\[ T_n(t) = A_n \cos\left( \frac{n\pi c}{L} t \right) + B_n \sin\left( \frac{n\pi c}{L} t \right) \]
其中 \(A_n\) 和 \(B_n\) 是待定常数。
**步骤五：构造特解并叠加**
对于每一个正整数 \(n\)，我们都得到了一个满足波动方程和边界条件的特解：
\[ u_n(x, t) = X_n(x)T_n(t) = \left[ A_n \cos\left( \frac{n\pi c}{L} t \right) + B_n \sin\left( \frac{n\pi c}{L} t \right) \right] \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
由于波动方程是线性的，这些特解的任意线性叠加仍然是方程的解。因此，我们构造形式解（也称为通解）为所有特解的叠加：
\[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ A_n \cos\left( \frac{n\pi c}{L} t \right) + B_n \sin\left( \frac{n\pi c}{L} t \right) \right] \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \]
**步骤六：利用初始条件确定系数**
最后，我们利用初始条件来确定系数 \(A_n\) 和 \(B_n\)。
由初始位移条件 \(u(x,0) = f(x)\) 可得：
\[ u(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) = f(x) \]
这恰好是函数 \(f(x)\) 在区间 \([0, L]\) 上的傅里叶正弦展开。因此，系数 \(A_n\) 由傅里叶正弦系数公式给出：
\[ A_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \]
由初始速度条件 \(\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = g(x)\) 可得：
\[ \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \left( \frac{n\pi c}{L} \right) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) = g(x) \]
这同样是 \(g(x)\) 的傅里叶正弦展开。因此，系数 \(B_n\) 由下式确定：
\[ B_n \left( \frac{n\pi c}{L} \right) = \frac{2}{L} \int_0^L g(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \quad \Rightarrow \quad B_n = \frac{2}{n\pi c} \int_0^L g(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \]
将求得的 \(A_n\) 和 \(B_n\) 代入形式解，就得到了原初边值问题的最终解。
- 方法的推广与适用范围
分离变量法可以推广到更高维度和不同类型的方程。
- 高维问题：例如，对于矩形区域上的二维拉普拉斯方程，可以假设 \(u(x,y) = X(x)Y(y)\)，分离后得到两个常微分方程。对于圆形区域，则通常采用极坐标并假设 \(u(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta)\)，这会引出贝塞尔方程和三角方程。
- 其他方程类型：该方法同样适用于热传导方程（时间部分是指数衰减解）、亥姆霍兹方程（空间部分的本征值问题）等。
- 局限性：分离变量法的成功严重依赖于方程的线性性和定义区域的规则性。边界条件需要是齐次的（或可化为齐次），并且坐标系需要与区域的边界相匹配（如在球域中用球坐标）。对于非线性方程或不规则区域，该方法通常不适用。