特征标

特征标是群表示论中的一个核心概念，它通过将群元素映射到一个域（通常是复数域）中的标量，来刻画群的线性表示的本质信息。

1. 从群表示出发
   首先，我们需要一个群的线性表示。一个群 G 在域 F 上的一个 n 维线性表示，是指一个从群 G 到一般线性群 GL(n, F) 的群同态 ρ。这里，GL(n, F) 是由所有 n×n 可逆矩阵构成的群。简单来说，表示 ρ 将群 G 中的每一个元素 g 对应到一个可逆矩阵 ρ(g)，并且保持群的乘法运算，即 ρ(g₁g₂) = ρ(g₁)ρ(g₂)。

2. 定义特征标
   给定群 G 的一个表示 ρ，我们定义这个表示的特征标 χρ 为一个从群 G 到域 F 的函数。对于任意群元素 g ∈ G，特征标在 g 上的取值 χρ(g) 被定义为表示矩阵 ρ(g) 的迹（Trace），即该矩阵主对角线上所有元素的和。
   用公式表示为：χρ: G → F, χρ(g) = Tr(ρ(g))。

3. 特征标的基本性质
   特征标拥有一些非常重要的性质，这些性质使得它比表示本身更容易处理和分析：

   • 在共轭类上为常数：如果两个群元素 g 和 h 是共轭的（即存在某个群元素 x，使得 h = xgx⁻¹），那么它们的特征标值相等，χρ(g) = χρ(h)。这意味着特征标实际上是一个定义在群的共轭类上的函数。
   • 特征标与直和：如果一个表示 ρ 是两个表示 ρ₁ 和 ρ₂ 的直和（即表示矩阵是分块对角的），那么该表示的特征标等于两个子表示的特征标之和，即 χρ(g) = χρ₁(g) + χρ₂(g)。
   • 特征标与张量积：两个表示 ρ 和 σ 的张量积表示的特征标，等于这两个表示的特征标的乘积，即 χρ⊗σ(g) = χρ(g) · χσ(g)。

4. 不可约表示与不可约特征标
   如果一个表示不能分解为两个更小的非平凡表示的直和，则称其为不可约表示。相应地，不可约表示的特征标称为不可约特征标。不可约表示是构建所有表示的“原子”，而不可约特征标则包含了表示理论中最核心的信息。

5. 特征标的正交关系
   当群 G 是有限群且域 F 是复数域 C 时，不可约特征标满足一组强大的正交关系。这组关系表明，不同的不可约特征标作为定义在群上的函数，是相互“正交”的（在某种特定的内积定义下）。这个性质使得我们可以：

   • 判断一个表示是否不可约（通过计算其特征标与自身的内积）。
   • 将一个任意表示分解为不可约表示的直和（通过计算该表示的特征标与各个不可约特征标的内积）。
   • 确定群的所有不等价的不可约表示的个数（等于群的共轭类的个数）。

6. 特征标表
   对于一个有限群 G，我们将它的所有不等价的不可约特征标及其在所有共轭类上的取值列成一个表格，这个表格就称为该群的特征标表。特征标表是有限群表示论中一个极其强大的工具，它以一种紧凑的形式封装了群的大量结构信息。通过研究特征标表，我们可以推导出群的许多性质，如子群、正规子群、群的换位子群等。