测度变换 基本概念引入 测度变换是金融数学中连接现实世界概率与风险中性概率的核心工具。在概率论中，"测度"是给事件分配概率的规则。金融建模涉及两种重要测度： 现实世界测度（P测度）：反映资产价格的实际概率分布，包含风险溢价 风险中性测度（Q测度）：所有资产期望收益率等于无风险利率的虚拟概率空间 数学定义与性质 测度变换通过拉东-尼科迪姆导数实现。若存在函数Z满足： Z > 0 且 E[ Z ] = 1 对任意事件A，Q(A) = ∫_ A Z(ω) dP(ω) 则称Q关于P绝对连续，Z记为dQ/dP。在金融模型中，Z常取形式： Z = exp(-∫_ 0^T γ_ t dW_ t - 1/2∫_ 0^T γ_ t² dt) 其中γ_ t为风险的市场价格，W_ t为P测度下的布朗运动 吉萨诺夫定理的应用 该定理指出：若W_ t是P测度下的布朗运动，则变换 dW_ t^Q = dW_ t + γ_ t dt 使得W_ t^Q成为Q测度下的布朗运动。具体到布莱克-舒尔斯模型： 资产价格遵循dS_ t = μS_ t dt + σS_ t dW_ t 通过取γ = (μ - r)/σ，变换后得到： dS_ t = rS_ t dt + σS_ t dW_ t^Q 此时所有资产贴现后价格在Q测度下成为鞅 多测度体系构建 复杂衍生品定价需引入多个测度： 即期测度：以银行存款账户为计价单位 T远期测度：以T时刻到期的零息债券为计价单位 互换测度：用于利率互换定价 测度变换公式：若X和Y为资产价格，则 E^X[ F_ T] = E^Y[ F_ T * (Y_ T/X_ T) * (X_ 0/Y_ 0) ] 实际应用示例 考虑欧式看涨期权定价： 在风险中性测度Q下，期权价格 C = e^{-rT} E^Q[ max(S_ T - K, 0) ] 通过测度变换到以股票为计价单位的测度S： C = S_ 0 E^S[ 1_ {S_ T>K}] - Ke^{-rT} Q(S_ T>K) 其中第二项概率可直接用布莱克-舒尔斯公式计算，体现了测度变换简化计算的优越性