模的余根基（Cosocle）的进一步刻画与性质
字数 6660 2025-12-22 21:26:09

模的余根基（Cosocle）的进一步刻画与性质

我们来探讨模的余根基（Cosocle）的一些更深入的刻画和性质。在抽象代数，特别是模论中，余根基是理解模结构，尤其是不可分解模和局部模的关键工具。我们会从基本定义出发，逐步深入到它在同调代数和表示论中的应用。

1. 核心定义的回顾
首先，我们回顾最核心的定义。给定一个环 \(R\) 和一个左 \(R\)-模 \(M\)。模 \(M\) 的余根基（Cosocle），记作 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 或 \(\operatorname{soc}^*(M)\)，是指 \(M\) 的所有极大子模的交的补概念的对偶，但更标准的定义是：
\(\operatorname{cosoc}(M)\) 是 \(M\) 的所有极大子模的交的补概念的对偶，但更标准的定义是：\(\operatorname{cosoc}(M)\) 是 \(M\) 的所有极大子模的交的商模，但为了正确定义，我们采用以下等价且更清晰的说法：
\(M\) 的余根基是 \(M\) 的所有单商模的和的像在同构意义下的对偶概念。更准确地说，先定义单商模：一个商模 \(M/N\) 是单的，当且仅当 \(N\) 是 \(M\) 的极大子模。所有极大子模的交记为 \(\operatorname{Rad}(M)\)，称为 \(M\) 的根（Radical）。那么，商模 \(M / \operatorname{Rad}(M)\) 被称为 \(M\) 的顶（Top）。然而，余根基通常定义为 \(M\) 的所有单子模的和的对偶概念，但为了保持清晰，我们采用以下常见定义：余根基是 \(M\) 的 socle 的对偶，而 socle 是所有单子模的和。对偶地，余根基可定义为 \(M\) 的所有单商模的交的核，但更常见的处理是：在有限长度模或有足够投射模的情况下，余根基定义为 \(M\) 的内射包的socle 的对偶。我们采用一个更直接适用于一般模的定义（尤其适用于 Artin 代数上的模）：
设 \(M\) 是左 \(R\)-模。\(M\) 的余根基，记为 \(\operatorname{cosoc}(M)\)，是 \(M\) 的所有单商模的直和的像的最小概念，但为了避免集合论问题，我们常通过内射包来刻画。一个实用的定义是：取 \(M\) 的内射包络 \(E(M)\)。则 \(E(M)\) 有 socle，记为 \(\operatorname{soc}(E(M))\)。那么 \(M\) 的余根基可定义为 \(M\) 在 \(\operatorname{soc}(E(M))\) 中的原像，但更常见的做法是，当 \(M\) 是有限生成时，利用对偶函子：设 \(D\) 是一个对偶函子（例如，对于 Artin 代数，取 \(D = \operatorname{Hom}_k(-, k)\) 其中 \(k\) 是基域）。则 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 定义为 \(D^{-1}(\operatorname{soc}(D(M)))\)，但这需要 \(D\) 是一个对偶。为了循序渐进，我们从一个更初等、更具体的刻画开始，这适用于局部环上的模或有限长度模。

2. 通过极大子模的交来定义
实际上，在模论中，余根基 常被定义为模的根（Radical） 的对偶概念。我们知道：

  • \(\operatorname{Rad}(M) = \bigcap \{ N \subseteq M : N \text{ 是极大子模} \}\) 称为 \(M\) 的根。
  • 对偶地，我们可以考虑 \(M\) 的所有极大子模的交 的补。但子模之交并非直接对偶于商模之并。对偶概念应该是：考虑 \(M\) 的所有单商模。每个单商模对应于一个极大子模 \(N\)（即 \(M/N\) 是单模）。所有这样的单商模的直积（或某种意义上的“和”）的核就是所有极大子模的交，即 \(\operatorname{Rad}(M)\)。所以，对偶地，我们可以考虑 \(M\) 的所有单子模的和，那就是 socle，记作 \(\operatorname{soc}(M)\)。那么，余根基应当是 socle 的对偶。在有限长度模范畴中，对偶函子 \(D\) 将单模映为单模，将子模对应为商模。因此，我们有：\(D(\operatorname{soc}(M)) = M/\operatorname{Rad}(M)\)（在同构意义下）。反过来，\(D(M/\operatorname{Rad}(M)) = \operatorname{soc}(D(M))\)。这启示我们，对于模 \(M\)，可以定义 \(\operatorname{cosoc}(M) = M/\operatorname{Rad}(M)\)。这正是常用的定义：模 \(M\) 的余根基就是它的顶（top），即 \(M / \operatorname{Rad}(M)\)。

然而，有些文献中余根基（Cosocle）被用来指代别的概念，比如内射包的基础结构。为了避免混淆，我们明确：在本词条中，我们采用以下定义，这在有限生成模特别是有限长度模中非常常见：

\[\operatorname{cosoc}(M) := M / \operatorname{Rad}(M) \]

其中 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 的所有极大子模的交。当 \(M\) 没有极大子模时，我们约定 \(\operatorname{Rad}(M) = M\)，此时 \(\operatorname{cosoc}(M) = 0\)。

3. 余根基的基本性质
现在，基于定义 \(\operatorname{cosoc}(M) = M / \operatorname{Rad}(M)\)，我们来推导它的基本性质。

  • 半单性：\(\operatorname{cosoc}(M)\) 是一个半单模。这是因为 \(\operatorname{Rad}(\operatorname{cosoc}(M)) = \operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = 0\)。对于一个模 \(N\)，如果 \(\operatorname{Rad}(N) = 0\)，则 \(N\) 是半单的（这需要一些条件，例如当 \(R\) 是 Artin 代数或 \(N\) 是有限生成时成立）。所以，\(\operatorname{cosoc}(M)\) 是半单的。
  • 泛性质：对于任意同态 \(f: M \to S\)，其中 \(S\) 是半单模，存在唯一的同态 \(\bar{f}: \operatorname{cosoc}(M) \to S\) 使得 \(f = \bar{f} \circ \pi\)，其中 \(\pi: M \to M/\operatorname{Rad}(M)\) 是自然投影。这是因为 \(\operatorname{Rad}(M)\) 包含在 \(\ker f\) 中：由于 \(S\) 半单，其子模都是直和项，特别地，\(f(\operatorname{Rad}(M))\) 是 \(S\) 的子模，但另一方面，\(\operatorname{Rad}(M)\) 的像在 \(S\) 中若不为零，则由于 \(S\) 半单，可找到极大子模，但这会与 \(\operatorname{Rad}(M)\) 的定义矛盾（严格论证需用到 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是“多余”子模的性质）。更直接地，由根的性质：\(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 的所有多余子模（superfluous submodule）的和，而到半单模的同态核包含所有多余子模。因此，\(f\) 过 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 分解。
  • 与投射覆盖的关系：如果 \(P \to M\) 是 \(M\) 的投射覆盖，那么 \(P/\operatorname{Rad}(P) \cong M/\operatorname{Rad}(M) = \operatorname{cosoc}(M)\)。这是因为投射覆盖的核包含在 \(\operatorname{Rad}(P)\) 中，且 \(\operatorname{Rad}(P)\) 是 \(P\) 的多余子模，所以 \(P/\operatorname{Rad}(P) \cong M/\operatorname{Rad}(M)\)。这说明 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 决定了 \(M\) 的投射覆盖的顶，从而在同构意义下决定了投射覆盖。

4. 在有限长度模范畴中的具体刻画
假设 \(R\) 是 Artin 代数（或更一般地，左 Artin 环），且 \(M\) 是有限长度模。则 \(M\) 有合成列：

\[0 = M_0 \subset M_1 \subset \cdots \subset M_n = M \]

其合成因子 \(S_i = M_i / M_{i-1}\) 是单模。那么：

  • \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 的唯一极大子模（在有限长度情况下，所有极大子模的交就是唯一的极大子模，如果 \(M\) 是局部模；否则，它是所有极大子模的交，但可能不是极大的）。
  • \(\operatorname{cosoc}(M) = M/\operatorname{Rad}(M)\) 是单模的直和。具体地，设 \(M\) 的分解为不可分解模的直和：\(M = \bigoplus_{i=1}^t M_i\)，其中每个 \(M_i\) 是局部模（具有唯一极大子模）。则 \(\operatorname{Rad}(M) = \bigoplus_{i=1}^t \operatorname{Rad}(M_i)\)，且 \(\operatorname{cosoc}(M) = \bigoplus_{i=1}^t (M_i / \operatorname{Rad}(M_i))\)。每个 \(M_i / \operatorname{Rad}(M_i)\) 是一个单模，记为 \(S_i\)。所以，\(\operatorname{cosoc}(M) \cong \bigoplus_{i=1}^t S_i\)，且不同不可分解直和项可能对应同构的单模。因此，\(\operatorname{cosoc}(M)\) 是 \(M\) 的所有合成因子中出现在“顶部”的那些单模的直和（每个不可分解直和项贡献一个单模，即其顶）。

5. 与对偶函子的关系
设 \(R\) 是 Artin 代数，\(D = \operatorname{Hom}_k(-, k)\) 是标准的对偶函子，其中 \(k\) 是中心域。则对任意有限生成左 \(R\)-模 \(M\)，我们有：

\[D(\operatorname{soc}(M)) \cong \operatorname{cosoc}(D(M)) \quad \text{和} \quad D(\operatorname{cosoc}(M)) \cong \operatorname{soc}(D(M)) \]

更具体地：

  • \(\operatorname{soc}(M)\) 是 \(M\) 的所有单子模的和。
  • \(D(\operatorname{soc}(M))\) 是 \(D(M)\) 的商模，且同构于 \(D(M) / \operatorname{Rad}(D(M)) = \operatorname{cosoc}(D(M))\)。
  • 反过来，\(D(\operatorname{cosoc}(M)) = D(M/\operatorname{Rad}(M)) \cong \operatorname{soc}(D(M))\)。
    这表明 socle 和 cosocle 在对偶下互换。因此，在研究有限维代数的表示时，常通过考虑模的顶（即 cosocle）来了解其不可分解直和项的结构。

6. 在不可分解投射模中的作用
设 \(P\) 是一个不可分解投射模（在有限维代数中，这样的 \(P\) 对应于一个本原幂等元 \(e\)，即 \(P = Re\)）。则 \(\operatorname{cosoc}(P) = P/\operatorname{Rad}(P)\) 是一个单模。事实上，所有单模都同构于某个不可分解投射模的顶。因此，不可分解投射模由其顶（一个单模）决定，在同构意义下唯一。更一般地，任意有限生成投射模 \(P\) 的余根基是半单模，其单直和项的个数等于 \(P\) 的不可分解直和项的个数。

7. 在同调代数中的应用：极小投射分解
在构造模 \(M\) 的极小投射分解时，余根基起关键作用。设 \(\cdots \to P_1 \to P_0 \to M \to 0\) 是一个极小投射分解。则 \(P_0\) 是 \(M\) 的投射覆盖，且 \(P_0 / \operatorname{Rad}(P_0) \cong M/\operatorname{Rad}(M) = \operatorname{cosoc}(M)\)。类似地，第 \(i\) 个投射模 \(P_i\) 的余根基同构于第 \(i\) 个同调模的某种商。这使我们能够通过 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 的信息来研究 \(M\) 的同调维数。

8. 推广：余根基与内射包
对于任意模 \(M\)（不一定有限生成），我们可以通过内射包来定义余根基。设 \(E(M)\) 是 \(M\) 的内射包。则 \(E(M)\) 有 socle，记为 \(\operatorname{soc}(E(M))\)。定义 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 为 \(M\) 在 \(E(M)\) 中与 \(\operatorname{soc}(E(M))\) 的交的商模，即 \(\operatorname{cosoc}(M) = (M + \operatorname{soc}(E(M))) / M\)，但更常见的做法是定义 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 为 \(M\) 的所有单商模的和的像。然而，在无限生成情况下，这可能导致集合论问题，因此通常我们更关注有限生成模。在有限生成模情形，这个定义与 \(M/\operatorname{Rad}(M)\) 一致。

总结
模的余根基 \(\operatorname{cosoc}(M)\) 最常用且清晰的定义是 \(M / \operatorname{Rad}(M)\)，即模的顶（top）。它是半单模，具有泛性质，并且在对偶下与 socle 互换。在有限长度模或有限生成模的情况下，它完全描述了模的不可分解直和项的“顶部”单模结构，是研究模的投射覆盖、同调性质以及代数表示论中不可分解模分类的关键不变量。

模的余根基（Cosocle）的进一步刻画与性质 我们来探讨模的余根基（Cosocle）的一些更深入的刻画和性质。在抽象代数，特别是模论中，余根基是理解模结构，尤其是不可分解模和局部模的关键工具。我们会从基本定义出发，逐步深入到它在同调代数和表示论中的应用。 1. 核心定义的回顾 首先，我们回顾最核心的定义。给定一个环 \( R \) 和一个左 \( R \)-模 \( M \)。模 \( M \) 的 余根基 （Cosocle），记作 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 或 \( \operatorname{soc}^* (M) \)，是指 \( M \) 的所有极大子模的交的 补概念 的对偶，但更标准的定义是： \( \operatorname{cosoc}(M) \) 是 \( M \) 的所有 极大子模 的交的 补概念 的对偶，但更标准的定义是：\( \operatorname{cosoc}(M) \) 是 \( M \) 的 所有极大子模的交 的 商模 ，但为了正确定义，我们采用以下等价且更清晰的说法： \( M \) 的余根基是 \( M \) 的所有 单商模 的和的像在同构意义下的对偶概念。更准确地说，先定义 单商模 ：一个商模 \( M/N \) 是单的，当且仅当 \( N \) 是 \( M \) 的极大子模。所有极大子模的交记为 \( \operatorname{Rad}(M) \)，称为 \( M \) 的根（Radical）。那么，商模 \( M / \operatorname{Rad}(M) \) 被称为 \( M \) 的 顶 （Top）。然而，余根基通常定义为 \( M \) 的 所有单子模的和 的 对偶概念 ，但为了保持清晰，我们采用以下常见定义： 余根基是 \( M \) 的 socle 的对偶 ，而 socle 是所有单子模的和。对偶地，余根基可定义为 \( M \) 的 所有单商模的交的核 ，但更常见的处理是：在有限长度模或有足够投射模的情况下，余根基定义为 \( M \) 的 内射包 的 socle 的对偶 。我们采用一个更直接适用于一般模的定义（尤其适用于 Artin 代数上的模）： 设 \( M \) 是左 \( R \)-模。\( M \) 的 余根基 ，记为 \( \operatorname{cosoc}(M) \)，是 \( M \) 的 所有单商模的直和 的 像 的最小概念，但为了避免集合论问题，我们常通过内射包来刻画。一个实用的定义是：取 \( M \) 的 内射包络 \( E(M) \)。则 \( E(M) \) 有 socle，记为 \( \operatorname{soc}(E(M)) \)。那么 \( M \) 的余根基可定义为 \( M \) 在 \( \operatorname{soc}(E(M)) \) 中的原像，但更常见的做法是，当 \( M \) 是有限生成时，利用对偶函子：设 \( D \) 是一个对偶函子（例如，对于 Artin 代数，取 \( D = \operatorname{Hom}_ k(-, k) \) 其中 \( k \) 是基域）。则 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 定义为 \( D^{-1}(\operatorname{soc}(D(M))) \)，但这需要 \( D \) 是一个对偶。为了循序渐进，我们从一个更初等、更具体的刻画开始，这适用于局部环上的模或有限长度模。 2. 通过极大子模的交来定义 实际上，在模论中， 余根基 常被定义为模的 根（Radical） 的对偶概念。我们知道： \( \operatorname{Rad}(M) = \bigcap \{ N \subseteq M : N \text{ 是极大子模} \} \) 称为 \( M \) 的根。 对偶地，我们可以考虑 \( M \) 的 所有极大子模的交 的 补 。但子模之交并非直接对偶于商模之并。对偶概念应该是：考虑 \( M \) 的所有 单商模 。每个单商模对应于一个极大子模 \( N \)（即 \( M/N \) 是单模）。所有这样的单商模的直积（或某种意义上的“和”）的核就是所有极大子模的交，即 \( \operatorname{Rad}(M) \)。所以，对偶地，我们可以考虑 \( M \) 的所有 单子模 的和，那就是 socle，记作 \( \operatorname{soc}(M) \)。那么，余根基应当是 socle 的对偶。在有限长度模范畴中，对偶函子 \( D \) 将单模映为单模，将子模对应为商模。因此，我们有：\( D(\operatorname{soc}(M)) = M/\operatorname{Rad}(M) \)（在同构意义下）。反过来，\( D(M/\operatorname{Rad}(M)) = \operatorname{soc}(D(M)) \)。这启示我们，对于模 \( M \)，可以定义 \( \operatorname{cosoc}(M) = M/\operatorname{Rad}(M) \)。 这正是常用的定义 ：模 \( M \) 的余根基就是它的顶（top），即 \( M / \operatorname{Rad}(M) \)。 然而，有些文献中余根基（Cosocle）被用来指代别的概念，比如内射包的基础结构。为了避免混淆，我们明确：在本词条中，我们采用以下定义，这在有限生成模特别是有限长度模中非常常见： \[ \operatorname{cosoc}(M) := M / \operatorname{Rad}(M) \] 其中 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 的所有极大子模的交。当 \( M \) 没有极大子模时，我们约定 \( \operatorname{Rad}(M) = M \)，此时 \( \operatorname{cosoc}(M) = 0 \)。 3. 余根基的基本性质 现在，基于定义 \( \operatorname{cosoc}(M) = M / \operatorname{Rad}(M) \)，我们来推导它的基本性质。 半单性 ：\( \operatorname{cosoc}(M) \) 是一个半单模。这是因为 \( \operatorname{Rad}(\operatorname{cosoc}(M)) = \operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = 0 \)。对于一个模 \( N \)，如果 \( \operatorname{Rad}(N) = 0 \)，则 \( N \) 是半单的（这需要一些条件，例如当 \( R \) 是 Artin 代数或 \( N \) 是有限生成时成立）。所以，\( \operatorname{cosoc}(M) \) 是半单的。 泛性质 ：对于任意同态 \( f: M \to S \)，其中 \( S \) 是半单模，存在唯一的同态 \( \bar{f}: \operatorname{cosoc}(M) \to S \) 使得 \( f = \bar{f} \circ \pi \)，其中 \( \pi: M \to M/\operatorname{Rad}(M) \) 是自然投影。这是因为 \( \operatorname{Rad}(M) \) 包含在 \( \ker f \) 中：由于 \( S \) 半单，其子模都是直和项，特别地，\( f(\operatorname{Rad}(M)) \) 是 \( S \) 的子模，但另一方面，\( \operatorname{Rad}(M) \) 的像在 \( S \) 中若不为零，则由于 \( S \) 半单，可找到极大子模，但这会与 \( \operatorname{Rad}(M) \) 的定义矛盾（严格论证需用到 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是“多余”子模的性质）。更直接地，由根的性质：\( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 的所有多余子模（superfluous submodule）的和，而到半单模的同态核包含所有多余子模。因此，\( f \) 过 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 分解。 与投射覆盖的关系 ：如果 \( P \to M \) 是 \( M \) 的投射覆盖，那么 \( P/\operatorname{Rad}(P) \cong M/\operatorname{Rad}(M) = \operatorname{cosoc}(M) \)。这是因为投射覆盖的核包含在 \( \operatorname{Rad}(P) \) 中，且 \( \operatorname{Rad}(P) \) 是 \( P \) 的多余子模，所以 \( P/\operatorname{Rad}(P) \cong M/\operatorname{Rad}(M) \)。这说明 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 决定了 \( M \) 的投射覆盖的顶，从而在同构意义下决定了投射覆盖。 4. 在有限长度模范畴中的具体刻画 假设 \( R \) 是 Artin 代数（或更一般地，左 Artin 环），且 \( M \) 是有限长度模。则 \( M \) 有合成列： \[ 0 = M_ 0 \subset M_ 1 \subset \cdots \subset M_ n = M \] 其合成因子 \( S_ i = M_ i / M_ {i-1} \) 是单模。那么： \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 的唯一极大子模（在有限长度情况下，所有极大子模的交就是唯一的极大子模，如果 \( M \) 是局部模；否则，它是所有极大子模的交，但可能不是极大的）。 \( \operatorname{cosoc}(M) = M/\operatorname{Rad}(M) \) 是单模的直和。具体地，设 \( M \) 的分解为不可分解模的直和：\( M = \bigoplus_ {i=1}^t M_ i \)，其中每个 \( M_ i \) 是局部模（具有唯一极大子模）。则 \( \operatorname{Rad}(M) = \bigoplus_ {i=1}^t \operatorname{Rad}(M_ i) \)，且 \( \operatorname{cosoc}(M) = \bigoplus_ {i=1}^t (M_ i / \operatorname{Rad}(M_ i)) \)。每个 \( M_ i / \operatorname{Rad}(M_ i) \) 是一个单模，记为 \( S_ i \)。所以，\( \operatorname{cosoc}(M) \cong \bigoplus_ {i=1}^t S_ i \)，且不同不可分解直和项可能对应同构的单模。因此，\( \operatorname{cosoc}(M) \) 是 \( M \) 的所有合成因子中出现在“顶部”的那些单模的直和（每个不可分解直和项贡献一个单模，即其顶）。 5. 与对偶函子的关系 设 \( R \) 是 Artin 代数，\( D = \operatorname{Hom}_ k(-, k) \) 是标准的对偶函子，其中 \( k \) 是中心域。则对任意有限生成左 \( R \)-模 \( M \)，我们有： \[ D(\operatorname{soc}(M)) \cong \operatorname{cosoc}(D(M)) \quad \text{和} \quad D(\operatorname{cosoc}(M)) \cong \operatorname{soc}(D(M)) \] 更具体地： \( \operatorname{soc}(M) \) 是 \( M \) 的所有单子模的和。 \( D(\operatorname{soc}(M)) \) 是 \( D(M) \) 的商模，且同构于 \( D(M) / \operatorname{Rad}(D(M)) = \operatorname{cosoc}(D(M)) \)。 反过来，\( D(\operatorname{cosoc}(M)) = D(M/\operatorname{Rad}(M)) \cong \operatorname{soc}(D(M)) \)。 这表明 socle 和 cosocle 在对偶下互换。因此，在研究有限维代数的表示时，常通过考虑模的顶（即 cosocle）来了解其不可分解直和项的结构。 6. 在不可分解投射模中的作用 设 \( P \) 是一个不可分解投射模（在有限维代数中，这样的 \( P \) 对应于一个本原幂等元 \( e \)，即 \( P = Re \)）。则 \( \operatorname{cosoc}(P) = P/\operatorname{Rad}(P) \) 是一个单模。事实上，所有单模都同构于某个不可分解投射模的顶。因此，不可分解投射模由其顶（一个单模）决定，在同构意义下唯一。更一般地，任意有限生成投射模 \( P \) 的余根基是半单模，其单直和项的个数等于 \( P \) 的不可分解直和项的个数。 7. 在同调代数中的应用：极小投射分解 在构造模 \( M \) 的极小投射分解时，余根基起关键作用。设 \( \cdots \to P_ 1 \to P_ 0 \to M \to 0 \) 是一个极小投射分解。则 \( P_ 0 \) 是 \( M \) 的投射覆盖，且 \( P_ 0 / \operatorname{Rad}(P_ 0) \cong M/\operatorname{Rad}(M) = \operatorname{cosoc}(M) \)。类似地，第 \( i \) 个投射模 \( P_ i \) 的余根基同构于第 \( i \) 个同调模的某种商。这使我们能够通过 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 的信息来研究 \( M \) 的同调维数。 8. 推广：余根基与内射包 对于任意模 \( M \)（不一定有限生成），我们可以通过内射包来定义余根基。设 \( E(M) \) 是 \( M \) 的内射包。则 \( E(M) \) 有 socle，记为 \( \operatorname{soc}(E(M)) \)。定义 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 为 \( M \) 在 \( E(M) \) 中与 \( \operatorname{soc}(E(M)) \) 的交的商模，即 \( \operatorname{cosoc}(M) = (M + \operatorname{soc}(E(M))) / M \)，但更常见的做法是定义 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 为 \( M \) 的 所有单商模的和 的像。然而，在无限生成情况下，这可能导致集合论问题，因此通常我们更关注有限生成模。在有限生成模情形，这个定义与 \( M/\operatorname{Rad}(M) \) 一致。 总结 模的余根基 \( \operatorname{cosoc}(M) \) 最常用且清晰的定义是 \( M / \operatorname{Rad}(M) \)，即模的顶（top）。它是半单模，具有泛性质，并且在对偶下与 socle 互换。在有限长度模或有限生成模的情况下，它完全描述了模的不可分解直和项的“顶部”单模结构，是研究模的投射覆盖、同调性质以及代数表示论中不可分解模分类的关键不变量。