泊松积分公式
字数 1290 2025-10-26 22:42:32

泊松积分公式

  1. 引入背景：调和函数与边值问题
    在实分析中，拉普拉斯方程 \(\Delta u = 0\) 的解称为调和函数，例如静电场中的电势分布。在复变函数中，解析函数 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) 的实部 \(u\) 和虚部 \(v\) 均为调和函数。一个自然的问题是：能否通过调和函数在区域边界上的值（狄利克雷边值条件）唯一确定其在区域内部的值？泊松积分公式给出了单位圆盘上此问题的解。

  2. 公式的推导思路
    设 \(u(z)\) 在单位圆盘 \(|z| < 1\) 内调和，且在闭圆盘上连续。利用柯西积分公式，可构造解析函数 \(f(z)\) 使 \(u = \operatorname{Re} f\)。通过将 \(f\) 展开为幂级数，并结合单位圆边界 \(|\zeta|=1\) 上的积分表示，可推导出泊松核：

\[ P(r, \theta) = \frac{1}{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2}, \]

其中 \(r = |z|\)，\(\theta\) 为辐角差。最终得到泊松积分公式：

\[ u(re^{i\phi}) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\theta - \phi) + r^2} u(e^{i\theta}) d\theta. \]

  1. 泊松核的性质

    • 非负性与归一性：对 \(0 \le r < 1\)，有 \(P(r, \theta) \ge 0\) 且 \(\int_0^{2\pi} P(r, \theta)d\theta = 1\)。
    • 逼近性质：当 \(r \to 1^-\) 时，\(P(r, \theta)\) 在 \(\theta \neq 0\) 处趋于 0，而在 \(\theta=0\) 附近尖锐隆起，表现为狄拉克δ函数的近似。这一性质保证了边界值的连续恢复。

  2. 应用与推广

    • 单位圆盘的狄利克雷问题：给定边界连续函数 \(u(e^{i\theta})\)，公式直接给出圆盘内的调和函数解。
    • 上半平面的推广：通过共形映射将单位圆映到上半平面，可得上半平面的泊松核 \(P(x, y) = \frac{1}{\pi} \frac{y}{(x - \xi)^2 + y^2}\)，用于解决上半平面的边值问题。
    • 调和函数的均值性质：当 \(r=0\) 时，公式退化为 \(u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(e^{i\theta})d\theta\)，即调和函数在圆心的值等于其边界值的算术平均。

  3. 与解析函数的关系
    泊松公式可视为柯西积分公式的实部形式。若 \(f(z)\) 解析，则 \(u = \operatorname{Re} f\) 的泊松表示可通过柯西公式的实部导出，体现了调和函数与解析函数的内在联系。

泊松积分公式 引入背景：调和函数与边值问题 在实分析中，拉普拉斯方程 \( \Delta u = 0 \) 的解称为调和函数，例如静电场中的电势分布。在复变函数中，解析函数 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) 的实部 \( u \) 和虚部 \( v \) 均为调和函数。一个自然的问题是：能否通过调和函数在区域边界上的值（狄利克雷边值条件）唯一确定其在区域内部的值？泊松积分公式给出了单位圆盘上此问题的解。 公式的推导思路 设 \( u(z) \) 在单位圆盘 \( |z| < 1 \) 内调和，且在闭圆盘上连续。利用柯西积分公式，可构造解析函数 \( f(z) \) 使 \( u = \operatorname{Re} f \)。通过将 \( f \) 展开为幂级数，并结合单位圆边界 \( |\zeta|=1 \) 上的积分表示，可推导出泊松核： \[ P(r, \theta) = \frac{1}{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2}, \] 其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 为辐角差。最终得到泊松积分公式： \[ u(re^{i\phi}) = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\theta - \phi) + r^2} u(e^{i\theta}) d\theta. \] 泊松核的性质 非负性与归一性 ：对 \( 0 \le r < 1 \)，有 \( P(r, \theta) \ge 0 \) 且 \( \int_ 0^{2\pi} P(r, \theta)d\theta = 1 \)。 逼近性质 ：当 \( r \to 1^- \) 时，\( P(r, \theta) \) 在 \( \theta \neq 0 \) 处趋于 0，而在 \( \theta=0 \) 附近尖锐隆起，表现为狄拉克δ函数的近似。这一性质保证了边界值的连续恢复。 应用与推广 单位圆盘的狄利克雷问题 ：给定边界连续函数 \( u(e^{i\theta}) \)，公式直接给出圆盘内的调和函数解。 上半平面的推广 ：通过共形映射将单位圆映到上半平面，可得上半平面的泊松核 \( P(x, y) = \frac{1}{\pi} \frac{y}{(x - \xi)^2 + y^2} \)，用于解决上半平面的边值问题。 调和函数的均值性质 ：当 \( r=0 \) 时，公式退化为 \( u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_ 0^{2\pi} u(e^{i\theta})d\theta \)，即调和函数在圆心的值等于其边界值的算术平均。 与解析函数的关系 泊松公式可视为柯西积分公式的实部形式。若 \( f(z) \) 解析，则 \( u = \operatorname{Re} f \) 的泊松表示可通过柯西公式的实部导出，体现了调和函数与解析函数的内在联系。