代数数 代数数是指满足整系数多项式方程的数。具体来说，若存在非零多项式 \( f(x) = a_ n x^n + a_ {n-1} x^{n-1} + \cdots + a_ 0 \)（其中 \( a_ i \in \mathbb{Z} \)，且 \( a_ n \neq 0 \)），使得 \( f(\alpha) = 0 \)，则称 \( \alpha \) 为代数数。例如： 有理数 \( \frac{p}{q} \) 是代数数，因为它是 \( qx - p = 0 \) 的根。 无理数 \( \sqrt{2} \) 是代数数，因为它是 \( x^2 - 2 = 0 \) 的根。 虚数单位 \( i \) 是代数数，因为它是 \( x^2 + 1 = 0 \) 的根。 1. 代数数的基本性质 代数数具有以下关键性质： 封闭性 ：代数数在加、减、乘、除（除数非零）下封闭。例如，若 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是代数数，则 \( \alpha + \beta \)、\( \alpha \beta \)、\( \alpha / \beta \) 仍是代数数。 可数性 ：代数数的集合是可数的（因为整系数多项式可枚举，每个多项式仅有有限个根）。 与非代数数的关系 ：不是代数数的实数称为超越数（如 \( \pi \)、\( e \)）。 2. 最小多项式与次数 每个代数数 \( \alpha \) 对应一个唯一的 首一不可约多项式 \( m_ \alpha(x) \in \mathbb{Q}[ x ] \)，称为其最小多项式，满足： \( m_ \alpha(\alpha) = 0 \)。 \( m_ \alpha \) 在 \( \mathbb{Q} \) 上不可约（即不能分解为更低次有理系数多项式的乘积）。 多项式次数 \( \deg(m_ \alpha) \) 称为 \( \alpha \) 的 次数 。 例如： \( \sqrt{2} \) 的最小多项式为 \( x^2 - 2 \)，次数为 2。 单位根 \( e^{2\pi i/n} \) 的最小多项式是分圆多项式，次数为 \( \phi(n) \)（欧拉函数）。 3. 代数数域 所有代数数的集合构成一个域，记为 \( \overline{\mathbb{Q}} \)。它是有理数域 \( \mathbb{Q} \) 的代数闭包（即包含 \( \mathbb{Q} \) 上所有多项式的根）。重要子域包括： 数域 ：\( \mathbb{Q} \) 的有限次扩张，如 \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \)。 代数整数环 ：代数数中最小多项式为首一整系数多项式的元素（如 \( \sqrt{2} \) 是代数整数，而 \( \frac{1}{2} \) 不是）。 4. 代数数与扩域理论 若 \( \alpha \) 是次数为 \( n \) 的代数数，则扩域 \( \mathbb{Q}(\alpha) \) 是 \( \mathbb{Q} \) 上的 \( n \) 维向量空间，其一组基为 \( \{1, \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{n-1}\} \)。例如： \( \mathbb{Q}(\sqrt[ 3]{2}) \) 的基为 \( \{1, \sqrt[ 3]{2}, (\sqrt[ 3]{2})^2\} \)，任意元素可表示为 \( a + b\sqrt[ 3]{2} + c\sqrt[ 3 ]{4} \)。 5. 应用与推广 代数数论 ：研究代数数域的算术性质（如唯一分解性、类数）。 超越数论 ：通过代数数的性质证明某些数为超越数（如林德曼-魏尔斯特拉斯定理证明 \( \pi \) 的超越性）。 现代数学 ：代数数域与模形式、椭圆曲线等联系，用于解决费马大定理等难题。 通过以上步骤，代数数的定义、性质、结构及其在数学中的地位得以系统化呈现。