广义索伯列夫空间（Sobolev Spaces of Fractional Order）
我将从您熟悉的概念出发，循序渐进地讲解“广义索伯列夫空间”（也称为分数阶索伯列夫空间）这一重要概念。
第一步：回顾经典索伯列夫空间
您已知的经典索伯列夫空间 \(W^{k, p}(\Omega)\) 是理解本概念的基础。我们快速回顾：
- 定义：设 \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) 是开集，\(k \in \mathbb{N}_0\) 是非负整数，\(1 \le p \le \infty\)。空间 \(W^{k, p}(\Omega)\) 由所有满足以下条件的函数 \(u\) 组成：\(u\) 及其所有（弱导数意义上的）阶数 \(\le k\) 的偏导数 \(D^\alpha u\) (\(|\alpha| \le k\)) 都属于勒贝格空间 \(L^p(\Omega)\)。
- 范数：其范数定义为 \(\|u\|_{W^{k,p}} = \left( \sum_{|\alpha| \le k} \|D^\alpha u\|^p_{L^p} \right)^{1/p}\)。该范数使其成为一个巴拿赫空间。
- 核心：经典索伯列夫空间的“光滑性阶数”被一个非负整数 \(k\) 刻画。
第二步：为何需要推广到分数阶？——动机
整数阶的限制在许多自然问题中显得不足。考虑以下情形：
- 迹定理的边界正则性：在迹算子理论中，函数在边界上的迹（限制）的空间，其光滑性阶数常为分数。例如，在足够光滑的有界区域上，迹算子将 \(W^{1, p}(\Omega)\) 连续地映射到空间 \(W^{1-1/p, p}(\partial\Omega)\) 中。这里的阶数 \(1-1/p\) 就是分数。
- 插值空间：许多索伯列夫空间恰好是两个整数阶索伯列夫空间通过实插值方法得到的中间空间，其光滑性参数是实数。
- 偏微分方程：某些方程的解或解的奇性传播自然地出现在分数阶空间中。
因此，我们需要一个光滑性阶数 \(s\) 为实数的索伯列夫空间定义。
第三步：广义索伯列夫空间的定义（重点）
存在几种等价定义。最常用的是基于Sobolev-Slobodeckij半范数的定义，它直观地刻画了函数的“分数阶光滑性”。
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设定：设 \(s > 0\) 是一个正实数，记 \(s = k + \sigma\)，其中 \(k = \lfloor s \rfloor\) 是 \(s\) 的整数部分，\(\sigma = s - k \in (0, 1)\) 是小数部分。仍设 \(1 \le p < \infty\)。
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定义1：通过Slobodeckij半范数
空间 \(W^{s, p}(\Omega)\) 定义为：
\[ W^{s, p}(\Omega) := \{ u \in W^{k, p}(\Omega) : |u|_{W^{s, p}} < \infty \} \]
其中，**Slobodeckij半范数**定义为：
\[ |u|^p_{W^{s, p}} := \sum_{|\alpha| = k} \iint_{\Omega \times \Omega} \frac{|D^\alpha u(x) - D^\alpha u(y)|^p}{|x-y|^{n + \sigma p}} \, dx \, dy \]
当 \(p=\infty\) 时，需对定义作适当修改（取上确界代替积分）。
**解释**：
- \(u\) 首先需要属于整数阶空间 \(W^{k, p}\)，即其直到 \(k\) 阶的导数属于 \(L^p\)。
- 额外的条件（半范数有限）衡量的是其最高阶（第 \(k\) 阶）导数的Hölder连续性（在平均意义下）。被积分的分子 \(|D^\alpha u(x) - D^\alpha u(y)|\) 衡量两点函数值的变化，分母 \(|x-y|^{n + \sigma p}\) 控制着这种变化的允许程度。如果这个积分有限，说明 \(k\) 阶导数具有某种“介于0阶和1阶导数之间”的正则性，精确地由 \(\sigma\) 刻画。\(\sigma\) 越接近1，函数越接近可微一次。
- 范数：空间 \(W^{s, p}(\Omega)\) 上的范数自然定义为：
\[ \|u\|_{W^{s, p}} := \left( \|u\|^p_{W^{k, p}} + |u|^p_{W^{s, p}} \right)^{1/p} \]
在此范数下，\(W^{s, p}(\Omega)\) 是一个巴拿赫空间。当 \(p=2\) 时，它是一个希尔伯特空间，通常记为 \(H^s(\Omega)\)。
- 定义2：通过傅里叶变换（全空间情形）
当 \(\Omega = \mathbb{R}^n\) 时，有另一种等价且更简洁的定义，它不依赖于分解 \(s = k+\sigma\)：
\[ H^s(\mathbb{R}^n) := \{ u \in L^2(\mathbb{R}^n) : (1+|\xi|^2)^{s/2} \hat{u}(\xi) \in L^2(\mathbb{R}^n) \} \]
其中 \(\hat{u}\) 是 \(u\) 的傅里叶变换。其范数为 \(\|u\|_{H^s} = \| (1+|\xi|^2)^{s/2} \hat{u} \|_{L^2}\)。
解释：这个定义从频率域出发。乘子 \((1+|\xi|^2)^{s/2}\) 的作用是“放大”高频成分。要求变换后的函数仍在 \(L^2\) 中，意味着原函数 \(u\) 的高频成分衰减足够快，其“光滑性”或“可微性”由实数 \(s\) 控制。这个定义可以自然地推广到 \(p \neq 2\) 的情形（Bessel位势空间）。
第四步：基本性质与例子
- 嵌套性：如果 \(s_1 > s_2\)，则有连续嵌入 \(W^{s_1, p}(\Omega) \hookrightarrow W^{s_2, p}(\Omega)\)。更光滑的函数自动属于要求较低的光滑空间。
- 稠密性：在大多数区域上，光滑函数（如 \(C^\infty\) 函数）在 \(W^{s, p}(\Omega)\) 中是稠密的。
- 与经典空间的关系：当 \(s\) 是整数时，\(W^{s, p}(\Omega)\) 与经典定义的空间是等同的（其范数是等价的）。
- 一个简单例子：函数 \(f(x) = |x|^r\)（在 \(\mathbb{R}^n\) 的原点附近考虑）属于某个 \(W^{s, p}\) 空间的条件，取决于 \(r, s, p, n\) 的关系。直观上，\(r\) 越大函数越光滑，但分数阶空间允许我们精确描述其介于整数阶之间的光滑性。
第五步：重要的推广定理——分数阶Sobolev嵌入定理
这是经典Sobolev嵌入定理的推广。例如：
- 到Holder空间的嵌入：假设 \(sp > n\)，且 \(\Omega\) 具有Lipschitz边界。那么存在连续嵌入 \(W^{s, p}(\Omega) \hookrightarrow C^{k, \lambda}(\overline{\Omega})\)，其中 \(k = \lfloor s - n/p \rfloor\)，\(\lambda = s - n/p - k\)（如果此数不是整数，否则需稍作调整）。这告诉我们，分数阶的正则性可以“兑换”成经典的Holder连续性。
- 到 \(L^q\) 空间的嵌入：如果 \(sp \le n\)，则有连续嵌入 \(W^{s, p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega)\)，其中 \(q\) 满足一定的关系（例如，当 \(sp < n\) 时，\(q \le p^* = np/(n-sp)\)）。
总结
广义索伯列夫空间 \(W^{s, p}\) 将光滑性阶数从整数推广到任意正实数。其核心思想是用差商积分（Slobodeckij范数）或频率衰减（傅里叶定义）来精确定义“分数阶可微性”。它是处理边界迹理论、插值空间、以及众多具有分数阶正则性的偏微分方程问题的基本框架。您可以将它视为经典索伯列夫空间理论在实数刻度上的完美延伸。