好的，我们接下来讲解的词条是：
复变函数的双曲正弦与双曲余弦函数
第一步：从实数域到复数域的推广
在实数微积分中，双曲正弦（sinh x）和双曲余弦（cosh x）是通过指数函数定义的：
\[\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \]
对于复变函数，我们完全沿用此定义，只是将自变量 \(x\) 推广为复变量 \(z\)：
\[\sinh z = \frac{e^{z} - e^{-z}}{2}, \quad \cosh z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2} \]
由于 \(e^z\) 在复平面上是整函数（处处解析），且加减、数乘和除法（分母不为零的常数2）都保持解析性，因此 \(\sinh z\) 和 \(\cosh z\) 在整个复平面上也是整函数。
第二步：基本性质与恒等式
复双曲函数继承了实双曲函数的许多代数恒等式，证明方法完全一样（利用指数定义展开即可）。例如：
- 导数关系：
\[\frac{d}{dz} \sinh z = \cosh z, \quad \frac{d}{dz} \cosh z = \sinh z \]
- 平方差公式（类似于三角函数的 \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)，但符号不同）：
\[\cosh^2 z - \sinh^2 z = 1 \]
- 和角公式：
\[\sinh(z_1 + z_2) = \sinh z_1 \cosh z_2 + \cosh z_1 \sinh z_2 \]
\[ \cosh(z_1 + z_2) = \cosh z_1 \cosh z_2 + \sinh z_1 \sinh z_2 \]
第三步：与三角函数的关键联系（欧拉公式的桥梁）
这是复变函数中最精彩的部分之一。回想欧拉公式：\(e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta\)。将其代入定义，并进行纯虚数自变量 \(z = iy\) （其中 \(y\) 为实数）的运算：
\[\sinh(iy) = \frac{e^{iy} - e^{-iy}}{2} = \frac{(\cos y + i\sin y) - (\cos y - i\sin y)}{2} = i\sin y \]
\[ \cosh(iy) = \frac{e^{iy} + e^{-iy}}{2} = \frac{(\cos y + i\sin y) + (\cos y - i\sin y)}{2} = \cos y \]
我们得到了核心关系：
\[\sinh(iy) = i\sin y, \quad \cosh(iy) = \cos y \]
这表明，在虚轴上，双曲函数的行为本质上就是三角函数（相差一个虚数单位因子）。这是实数域中看不到的深刻统一性。
第四步：一般复变量下的实部与虚部表达式
对于一个一般的复数 \(z = x + iy\)，我们可以利用和角公式和第三步的结论，推导出其直角坐标形式：
\[\sinh(z) = \sinh(x + iy) = \sinh x \cosh(iy) + \cosh x \sinh(iy) = \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \]
\[ \cosh(z) = \cosh(x + iy) = \cosh x \cosh(iy) + \sinh x \sinh(iy) = \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \]
于是：
- \(\sinh z\) 的实部为 \(\sinh x \cos y\)，虚部为 \(\cosh x \sin y\)。
- \(\cosh z\) 的实部为 \(\cosh x \cos y\)，虚部为 \(\sinh x \sin y\)。
第五步：周期性、零点与奇点
- 周期性：由实部与虚部表达式可知，双曲函数的实部与虚部都包含因子 \(\cos y\) 和 \(\sin y\)，这些函数以 \(2\pi\) 为周期。因此，\(\sinh z\) 和 \(\cosh z\) 是周期为 \(2\pi i\) 的函数：
\[\sinh(z + 2\pi i) = \sinh z, \quad \cosh(z + 2\pi i) = \cosh z \]
这是因为给 \(z\) 加上 \(2\pi i\) 相当于只给 \(y\) 加上 \(2\pi\)，而 \(\cos\) 和 \(\sin\) 函数周期为 \(2\pi\)。
- 零点（解方程）：
- 求 \(\sinh z = 0\)：由定义 \( \frac{e^z - e^{-z}}{2} = 0\)，可得 \(e^{2z} = 1\)。令 \(2z = 2\pi i k\)（其中 \(k \in \mathbb{Z}\)），解得 \(z = \pi i k\)。所以，\(\sinh z\) 的零点全部位于虚轴上，为 \(z = 0, \pm \pi i, \pm 2\pi i, \dots\)。
- 求 \(\cosh z = 0\)：由定义 \( \frac{e^z + e^{-z}}{2} = 0\)，可得 \(e^{2z} = -1 = e^{\pi i}\)。所以 \(2z = \pi i + 2\pi i k\)，解得 \(z = \frac{\pi i}{2} + \pi i k\)。这些零点也全部位于虚轴上，为 \(z = \pm \frac{\pi i}{2}, \pm \frac{3\pi i}{2}, \dots\)。
- 奇点：由于它们是整函数，所以在有限复平面上没有奇点。无穷远点是它们的本性奇点。
第六步：与三角函数的统一公式（奥斯古德公式）
我们可以将第三步的结论反过来，得到用双曲函数表示三角函数的公式。对于任意复数 \(z\)：
\[\sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = -i \sinh(iz) \]
\[ \cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = \cosh(iz) \]
或者写成更对称的形式：
\[\sinh(z) = -i \sin(iz), \quad \cosh(z) = \cos(iz) \]
这组公式表明，双曲函数和三角函数在复平面上本质上是同一类函数，只是通过一个旋转 \(z \to iz\) 和/或伸缩 \(乘 i\) 相联系。它们统称为圆函数和双曲函数，都是指数函数的线性组合。
总结
复变函数中的双曲正弦与双曲余弦，通过指数函数的自然推广，从实变量完美延拓到复平面。它们不仅是整函数，更重要的是，通过欧拉公式与三角函数建立了深刻的联系，揭示了在复数域中，圆函数与双曲函数的边界被打破，它们统一于指数函数 \(e^z\) 之下。它们的周期性、零点分布等性质，都可以通过这种统一性轻松导出。