赫斯顿模型校准的最大似然估计方法（Maximum Likelihood Estimation for Calibrating the Heston Model）
字数 3930 2025-12-22 08:24:14

赫斯顿模型校准的最大似然估计方法（Maximum Likelihood Estimation for Calibrating the Heston Model）

接下来，我将为您系统性地讲解如何利用最大似然估计方法校准赫斯顿模型。校准是指利用市场上观察到的期权价格等数据，来倒推赫斯顿模型参数的过程。

第一步：理解校准的目标与赫斯顿模型的参数

在讲解方法之前，我们先明确目标。

  1. 赫斯顿模型的核心动态：模型假设资产价格 \(S_t\) 和其随机波动率 \(v_t\) 遵循以下随机微分方程组：

\[ \begin{aligned} dS_t &= \mu S_t dt + \sqrt{v_t} S_t dW_t^S \\ dv_t &= \kappa (\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_t^v \end{aligned} \]

其中， \(dW_t^S dW_t^v = \rho dt\)。
2. 待校准的参数集合：\(\Theta = \{ v_0, \theta, \kappa, \sigma, \rho \}\)。

  • \(v_0\)：初始方差。
  • \(\theta\)：长期平均方差。
  • \(\kappa\)：均值回归速度（方差回归到 \(\theta\) 的快慢）。
  • \(\sigma\)：波动率的波动率（vol of vol）。
  • \(\rho\)：资产价格与波动率过程之间的瞬时相关系数。
  1. 校准的输入数据：通常是某一时刻（例如某一天收盘时）针对同一标的资产（如某个股票指数）的一组期权市场价格，这些期权具有不同的行权价 \(K\) 和不同的到期日 \(T\)。

第二步：为什么选择最大似然估计？以及核心挑战

  1. 最大似然估计思想：在统计中，MLE的目标是找到一组参数 \(\Theta\)，使得在给定这组参数下，观测到当前实际市场数据的概率（似然度）最大。这是一种从数据中“学习”参数的原则性方法。
  2. 在赫斯顿模型中的直接挑战：我们无法直接观测到模型的核心状态变量——瞬时波动率 \(v_t\)。我们只能观测到资产价格 \(S_t\)（以及由 \(S_t\) 衍生出的期权价格）。\(v_t\) 是一个隐藏状态。
  3. 解决方案思路：我们需要一个方法，能够基于可观测的资产价格序列 \(\{ S_0, S_1, ..., S_N \}\)（例如每日收盘价），来估计隐藏的波动率路径和模型参数。这就是所谓的“状态空间模型”滤波问题。

第三步：构建状态空间模型与似然函数框架

我们将校准问题转化为一个滤波与估计问题。

  1. 状态方程（隐含的，由模型定义）：描述隐藏状态 \(v_t\) 的演化，即赫斯顿模型的方差过程：

\[ dv_t = \kappa (\theta - v_t) dt + \sigma \sqrt{v_t} dW_t^v \]

在离散时间（如每日）下，我们需要一个离散化的近似，例如欧拉离散化：

\[ v_{t+\Delta t} = v_t + \kappa (\theta - v_t) \Delta t + \sigma \sqrt{v_t} \sqrt{\Delta t} \, Z_t^v \]

其中 \(Z_t^v \sim N(0,1)\)。

  1. 观测方程：描述我们能观测到什么。这里有两种主流思路：

  • 思路A：基于资产收益率。观测对象是资产的对数收益率 \(r_t = \ln(S_t/S_{t-1})\)。在给定 \(v_{t-1}\) 的条件下，根据赫斯顿模型动态，\(r_t\) 近似服从一个均值为 \((\mu - \frac{1}{2}v_{t-1})\Delta t\)、方差为 \(v_{t-1}\Delta t\) 的正态分布，并且与驱动 \(v_t\) 的随机项相关（相关系数为 \(\rho\)）。

  • 思路B：基于期权价格。观测对象是期权价格。这更为复杂，因为期权价格是隐藏状态 \(v_t\) 和参数 \(\Theta\) 的非线性函数（通过特征函数或傅里叶反演得到）。

    对于纯时间序列校准（仅使用历史标的资产价格），我们采用思路A。其观测方程可以写为：

\[ r_t = (\mu - \frac{1}{2}v_{t-1})\Delta t + \sqrt{v_{t-1}\Delta t} \, \epsilon_t \]

其中， \(\begin{pmatrix} \epsilon_t \\ Z_t^v \end{pmatrix}\) 服从均值为0、协方差矩阵为 \(\begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\) 的二维标准正态分布。

  1. 似然函数：我们的目标是计算在给定参数 \(\Theta\) 下，观测到整个历史收益率序列 \(\mathbf{r} = (r_1, r_2, ..., r_N)\) 的联合概率密度（似然函数）\(L(\Theta; \mathbf{r})\)。
    由于 \(v_t\) 是隐藏的，这个联合密度需要对所有可能的波动率路径积分，这是一个高维积分，难以直接计算。

第四步：应用滤波技术近似似然函数——以平方根无迹卡尔曼滤波为例

为了解决隐藏状态问题，我们需要一个“滤波器”来递归地估计每一时刻的 \(v_t\)，并同时计算“一步预测”的似然值。

  1. 卡尔曼滤波及其局限性：标准的卡尔曼滤波要求状态方程和观测方程都是线性的，且噪声为高斯分布。赫斯顿模型的状态方程中，随机项有 \(\sqrt{v_t}\)，观测方程也可能非线性，这违背了线性假设。
  2. 推广：无迹卡尔曼滤波：UKF通过一种称为“无迹变换”的确定性采样方法来处理非线性。它选取一组精心设计的“Sigma点”来捕捉状态分布的均值和协方差，然后让这些点通过非线性方程传播，再重新组合得到变换后分布的统计量。
  3. 针对赫斯顿模型的SR-UKF流程：
  • 初始化：设定初始状态（方差）的估计 \(\hat{v}_{0|0}\) 和误差协方差 \(P_{0|0}\)。
    • 时间更新（预测）：
      a. 根据 \(\hat{v}_{t-1|t-1}\) 和 \(P_{t-1|t-1}\) 生成一组Sigma点。
      b. 将每个Sigma点通过赫斯顿方差过程的状态方程（离散化形式）进行传播。
      c. 组合传播后的Sigma点，得到预测的状态 \(\hat{v}_{t|t-1}\) 和预测误差协方差 \(P_{t|t-1}\)。
    • 测量更新（修正）：
      a. 再次基于预测值生成一组新的Sigma点。
      b. 将这些点通过观测方程（收益率方程）传播，得到预测的观测值（收益率）。
      c. 计算预测观测值的均值、协方差，以及与状态的互协方差。
      d. 当实际观测值 \(r_t^{obs}\) 到来时，计算卡尔曼增益，并更新对当前状态 \(\hat{v}_{t|t}\) 和协方差 \(P_{t|t}\) 的估计。
  • 计算单步似然：在得到预测的观测分布（均值为 \(\hat{r}_{t|t-1}\)，方差为 \(S_t\)）后，假设其服从正态分布，则实际观测值 \(r_t^{obs}\) 的对数似然为：

\[ \ell_t = -\frac{1}{2} \left[ \ln(2\pi S_t) + \frac{(r_t^{obs} - \hat{r}_{t|t-1})^2}{S_t} \right] \]

  1. 总对数似然：滤波器从 \(t=1\) 运行到 \(t=N\)，将每一步的对数似然累加，就得到在参数 \(\Theta\) 下，整个观测序列的总对数似然近似值：

\[ \ell(\Theta; \mathbf{r}) \approx \sum_{t=1}^{N} \ell_t(\Theta) \]

第五步：优化过程与最终校准

  1. 数值优化：我们的目标是找到参数 \(\Theta\)，使得上一步计算出的总对数似然函数 \(\ell(\Theta; \mathbf{r})\) 最大化。这是一个无约束（或有简单约束，如 \(\kappa, \theta, \sigma > 0, |\rho| \le 1\)）的非线性优化问题。
  2. 优化算法：通常使用梯度-based方法（如BFGS、共轭梯度法）或全局优化方法（如差分进化、模拟退火）来寻找最优参数集 \(\Theta^*\)：

\[ \Theta^* = \arg \max_{\Theta} \ell(\Theta; \mathbf{r}) \]

  1. 输出结果：优化算法收敛后，我们得到了一组参数 \(\Theta^* = \{ v_0^*, \theta^*, \kappa^*, \sigma^*, \rho^* \}\)，这组参数使得赫斯顿模型产生的动态，在最大似然的意义下，最“可能”生成了我们观测到的历史价格序列。

总结
赫斯顿模型校准的最大似然估计方法，本质上是通过滤波技术（如平方根无迹卡尔曼滤波）来处理隐藏状态变量，从而能够基于可观测的资产价格时间序列，递归地计算出模型参数的似然函数。最后通过数值优化最大化该似然函数，得到模型的最优参数。这种方法基于统计原理，能够有效利用历史数据，但计算复杂度较高，且对初始参数和优化算法比较敏感。它是连接赫斯顿模型理论与市场实际观测数据的一座重要桥梁。

赫斯顿模型校准的最大似然估计方法（Maximum Likelihood Estimation for Calibrating the Heston Model） 接下来，我将为您系统性地讲解如何利用最大似然估计方法校准赫斯顿模型。校准是指利用市场上观察到的期权价格等数据，来倒推赫斯顿模型参数的过程。 第一步：理解校准的目标与赫斯顿模型的参数 在讲解方法之前，我们先明确目标。 赫斯顿模型的核心动态 ：模型假设资产价格 \(S_ t\) 和其随机波动率 \(v_ t\) 遵循以下随机微分方程组： \[ \begin{aligned} dS_ t &= \mu S_ t dt + \sqrt{v_ t} S_ t dW_ t^S \\ dv_ t &= \kappa (\theta - v_ t) dt + \sigma \sqrt{v_ t} dW_ t^v \end{aligned} \] 其中， \(dW_ t^S dW_ t^v = \rho dt\)。 待校准的参数集合 ：\(\Theta = \{ v_ 0, \theta, \kappa, \sigma, \rho \}\)。 \(v_ 0\)：初始方差。 \(\theta\)：长期平均方差。 \(\kappa\)：均值回归速度（方差回归到 \(\theta\) 的快慢）。 \(\sigma\)：波动率的波动率（vol of vol）。 \(\rho\)：资产价格与波动率过程之间的瞬时相关系数。 校准的输入数据 ：通常是某一时刻（例如某一天收盘时）针对 同一标的资产 （如某个股票指数）的 一组期权市场价格 ，这些期权具有不同的行权价 \(K\) 和不同的到期日 \(T\)。 第二步：为什么选择最大似然估计？以及核心挑战 最大似然估计思想 ：在统计中，MLE的目标是找到一组参数 \(\Theta\)，使得在给定这组参数下，观测到当前实际市场数据的概率（似然度）最大。这是一种从数据中“学习”参数的原则性方法。 在赫斯顿模型中的直接挑战 ：我们无法直接观测到模型的核心状态变量——瞬时波动率 \(v_ t\)。我们只能观测到资产价格 \(S_ t\)（以及由 \(S_ t\) 衍生出的期权价格）。\(v_ t\) 是一个隐藏状态。 解决方案思路 ：我们需要一个方法，能够基于可观测的资产价格序列 \(\{ S_ 0, S_ 1, ..., S_ N \}\)（例如每日收盘价），来估计隐藏的波动率路径和模型参数。这就是所谓的“状态空间模型”滤波问题。 第三步：构建状态空间模型与似然函数框架 我们将校准问题转化为一个滤波与估计问题。 状态方程（隐含的，由模型定义） ：描述隐藏状态 \(v_ t\) 的演化，即赫斯顿模型的方差过程： \[ dv_ t = \kappa (\theta - v_ t) dt + \sigma \sqrt{v_ t} dW_ t^v \] 在离散时间（如每日）下，我们需要一个离散化的近似，例如欧拉离散化： \[ v_ {t+\Delta t} = v_ t + \kappa (\theta - v_ t) \Delta t + \sigma \sqrt{v_ t} \sqrt{\Delta t} \, Z_ t^v \] 其中 \(Z_ t^v \sim N(0,1)\)。 观测方程 ：描述我们能观测到什么。这里有两种主流思路： 思路A：基于资产收益率 。观测对象是资产的对数收益率 \(r_ t = \ln(S_ t/S_ {t-1})\)。在给定 \(v_ {t-1}\) 的条件下，根据赫斯顿模型动态，\(r_ t\) 近似服从一个均值为 \((\mu - \frac{1}{2}v_ {t-1})\Delta t\)、方差为 \(v_ {t-1}\Delta t\) 的正态分布，并且与驱动 \(v_ t\) 的随机项相关（相关系数为 \(\rho\)）。 思路B：基于期权价格 。观测对象是期权价格。这更为复杂，因为期权价格是隐藏状态 \(v_ t\) 和参数 \(\Theta\) 的非线性函数（通过特征函数或傅里叶反演得到）。 对于 纯时间序列校准 （仅使用历史标的资产价格），我们采用思路A。其观测方程可以写为： \[ r_ t = (\mu - \frac{1}{2}v_ {t-1})\Delta t + \sqrt{v_ {t-1}\Delta t} \, \epsilon_ t \] 其中， \(\begin{pmatrix} \epsilon_ t \\ Z_ t^v \end{pmatrix}\) 服从均值为0、协方差矩阵为 \(\begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{pmatrix}\) 的二维标准正态分布。 似然函数 ：我们的目标是计算在给定参数 \(\Theta\) 下，观测到整个历史收益率序列 \(\mathbf{r} = (r_ 1, r_ 2, ..., r_ N)\) 的联合概率密度（似然函数）\(L(\Theta; \mathbf{r})\)。 由于 \(v_ t\) 是隐藏的，这个联合密度需要对所有可能的波动率路径积分，这是一个高维积分，难以直接计算。 第四步：应用滤波技术近似似然函数——以平方根无迹卡尔曼滤波为例 为了解决隐藏状态问题，我们需要一个“滤波器”来递归地估计每一时刻的 \(v_ t\)，并同时计算“一步预测”的似然值。 卡尔曼滤波及其局限性 ：标准的卡尔曼滤波要求状态方程和观测方程都是线性的，且噪声为高斯分布。赫斯顿模型的状态方程中，随机项有 \(\sqrt{v_ t}\)，观测方程也可能非线性，这违背了线性假设。 推广：无迹卡尔曼滤波 ：UKF通过一种称为“无迹变换”的确定性采样方法来处理非线性。它选取一组精心设计的“Sigma点”来捕捉状态分布的均值和协方差，然后让这些点通过非线性方程传播，再重新组合得到变换后分布的统计量。 针对赫斯顿模型的SR-UKF流程 ： 初始化 ：设定初始状态（方差）的估计 \(\hat{v} {0|0}\) 和误差协方差 \(P {0|0}\)。 时间更新（预测） ： a. 根据 \(\hat{v} {t-1|t-1}\) 和 \(P {t-1|t-1}\) 生成一组Sigma点。 b. 将每个Sigma点通过赫斯顿方差过程的状态方程（离散化形式）进行传播。 c. 组合传播后的Sigma点，得到预测的状态 \(\hat{v} {t|t-1}\) 和预测误差协方差 \(P {t|t-1}\)。 测量更新（修正） ： a. 再次基于预测值生成一组新的Sigma点。 b. 将这些点通过观测方程（收益率方程）传播，得到预测的观测值（收益率）。 c. 计算预测观测值的均值、协方差，以及与状态的互协方差。 d. 当实际观测值 \(r_ t^{obs}\) 到来时，计算卡尔曼增益，并更新对当前状态 \(\hat{v} {t|t}\) 和协方差 \(P {t|t}\) 的估计。 计算单步似然 ：在得到预测的观测分布（均值为 \(\hat{r} {t|t-1}\)，方差为 \(S_ t\)）后，假设其服从正态分布，则实际观测值 \(r_ t^{obs}\) 的对数似然为： \[ \ell_ t = -\frac{1}{2} \left[ \ln(2\pi S_ t) + \frac{(r_ t^{obs} - \hat{r} {t|t-1})^2}{S_ t} \right ] \] 总对数似然 ：滤波器从 \(t=1\) 运行到 \(t=N\)，将每一步的对数似然累加，就得到在参数 \(\Theta\) 下，整个观测序列的总对数似然近似值： \[ \ell(\Theta; \mathbf{r}) \approx \sum_ {t=1}^{N} \ell_ t(\Theta) \] 第五步：优化过程与最终校准 数值优化 ：我们的目标是找到参数 \(\Theta\)，使得上一步计算出的总对数似然函数 \(\ell(\Theta; \mathbf{r})\) 最大化。这是一个无约束（或有简单约束，如 \(\kappa, \theta, \sigma > 0, |\rho| \le 1\)）的非线性优化问题。 优化算法 ：通常使用梯度-based方法（如BFGS、共轭梯度法）或全局优化方法（如差分进化、模拟退火）来寻找最优参数集 \(\Theta^ \)： \[ \Theta^ = \arg \max_ {\Theta} \ell(\Theta; \mathbf{r}) \] 输出结果 ：优化算法收敛后，我们得到了一组参数 \(\Theta^* = \{ v_ 0^ , \theta^ , \kappa^ , \sigma^ , \rho^* \}\)，这组参数使得赫斯顿模型产生的动态，在最大似然的意义下，最“可能”生成了我们观测到的历史价格序列。 总结 赫斯顿模型校准的最大似然估计方法，本质上是通过 滤波技术 （如平方根无迹卡尔曼滤波）来 处理隐藏状态变量 ，从而能够基于可观测的资产价格时间序列，递归地计算出模型参数的似然函数。最后通过 数值优化 最大化该似然函数，得到模型的最优参数。这种方法基于统计原理，能够有效利用历史数据，但计算复杂度较高，且对初始参数和优化算法比较敏感。它是连接赫斯顿模型理论与市场实际观测数据的一座重要桥梁。